例 如图2-42,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}$,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1) 求证:CE是⊙O的切线;
(2) 已知BC= 3,AC= 4,求CE和AD的长.
分析 (1) 由于点C在圆上,所以连接OC,只要证明OC⊥CE即可.已知CE⊥AD,只需证明OC//AE,进而转化为证明∠OCA= ∠EAC,这可由$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}$得到.(2) 从已知线段的长和所求线段的长可知涉及Rt△ABC和Rt△AEC.而这两个三角形显然不全等,这样就需从其余条件入手.由(1)分析可知:AC平分∠EAB,即点C在∠EAB的平分线上,这是解决本题的突破口.
证明 (1) 如图2-43,连接OC,
∵$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}$,
∴∠EAC= ∠CAB.
∵OA= OC,
∴∠CAB= ∠OCA.
∴∠EAC= ∠OCA.
∴OC//AE.
∴∠E+∠OCE= 180°.
又∵CE⊥AD,
∴∠E= 90°.
∴∠OCE= 90°,
即OC⊥EC.
∵点C在圆上,
∴CE是⊙O的切线.
解 (2) 如图2-43,作CF⊥AB,垂足为F.
由(1)知:AC平分∠EAB,
∴CE= CF.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB= 90°.
∵BC= 3,AC= 4,
∴AB= 5.
∴CE= CF= $\frac{12}{5}$.

连接CD,则CD= BC= 3.
在Rt△AEC中,AE= $\sqrt{16-\frac{144}{25}}= \frac{16}{5}$.
在Rt△DEC中,DE= $\sqrt{9-\frac{144}{25}}= \frac{9}{5}$.
∴AD= AE-DE= $\frac{16}{5}-\frac{9}{5}= \frac{7}{5}$.