登录
【典型例题1】下列关于x的式子：
①$\dfrac{x - 1}{5} = 5$；②$\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x - 1}$；③$x^{2} + \dfrac{1}{x}$；④$\dfrac{x}{\pi} - 2x = - 1$；⑤$\dfrac{2}{x - 3} = 2$,其中是分式方程的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$\dfrac{x - 1}{5} = 5$；②$\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x - 1}$；③$x^{2} + \dfrac{1}{x}$；④$\dfrac{x}{\pi} - 2x = - 1$；⑤$\dfrac{2}{x - 3} = 2$,其中是分式方程的有(
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
①$\dfrac{x - 1}{5} = 5$，分母中不含未知数，是整式方程；
②$\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x - 1}$，分母中含未知数，是分式方程；
③$x^{2} + \dfrac{1}{x}$，不是方程，是一个代数式；
④$\dfrac{x}{\pi} - 2x = -1$，分母中不含未知数，是整式方程；
⑤$\dfrac{2}{x - 3} = 2$，分母中含未知数，是分式方程。
分式方程为②和⑤，共2个。
②$\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x - 1}$，分母中含未知数，是分式方程；
③$x^{2} + \dfrac{1}{x}$，不是方程，是一个代数式；
④$\dfrac{x}{\pi} - 2x = -1$，分母中不含未知数，是整式方程；
⑤$\dfrac{2}{x - 3} = 2$，分母中含未知数，是分式方程。
分式方程为②和⑤，共2个。
1. 下列关于x的方程：
①$\dfrac{x - 1}{2} + 3 = x$；②$4x + \dfrac{2}{x} + 8 = 0$；③$- \dfrac{6}{x + 3} = 5$；④$x^{2} - 9x = 2$；⑤$\dfrac{1}{x} = 2$,其中是分式方程的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$\dfrac{x - 1}{2} + 3 = x$；②$4x + \dfrac{2}{x} + 8 = 0$；③$- \dfrac{6}{x + 3} = 5$；④$x^{2} - 9x = 2$；⑤$\dfrac{1}{x} = 2$,其中是分式方程的有(
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
分式方程是分母中含有未知数的方程。①分母为2，不含未知数，不是分式方程；②分母含x，是分式方程；③分母含x+3，是分式方程；④是整式方程中的一元二次方程，不是分式方程；⑤分母含x，是分式方程。故②③⑤是分式方程，共3个。
【典型例题2】解分式方程：
(1)$\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{2}{x - 1} + 1$；
(2)$\dfrac{3 - x}{x - 4} = \dfrac{1}{4 - x} - 2$
【解】(1)方程两边乘$(x + 2)(x - 1)$,得$x(x - 1) = 2(x + 2) + (x + 2)(x - 1)$,
解得$x = - \dfrac{1}{2}$。
检验：当$x = - \dfrac{1}{2}$时,$(x + 2)(x - 1) \neq 0$,所以,原分式方程的解为$x = - \dfrac{1}{2}$。
(2)方程两边乘$(x - 4)$,得$3 - x = - 1 - 2(x - 4)$,解得$x = 4$。
检验：当$x = 4$时,$x - 4 = 0$,
因此$x = 4$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
(1)$\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{2}{x - 1} + 1$；
(2)$\dfrac{3 - x}{x - 4} = \dfrac{1}{4 - x} - 2$
【解】(1)方程两边乘$(x + 2)(x - 1)$,得$x(x - 1) = 2(x + 2) + (x + 2)(x - 1)$,
解得$x = - \dfrac{1}{2}$。
检验：当$x = - \dfrac{1}{2}$时,$(x + 2)(x - 1) \neq 0$,所以,原分式方程的解为$x = - \dfrac{1}{2}$。
(2)方程两边乘$(x - 4)$,得$3 - x = - 1 - 2(x - 4)$,解得$x = 4$。
检验：当$x = 4$时,$x - 4 = 0$,
因此$x = 4$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
答案
(1)
方程两边同乘$(x + 2)(x - 1)$得：
$x(x - 1)=2(x + 2)+(x + 2)(x - 1)$
$x^{2}-x = 2x+4+x^{2}+x - 2$
$x^{2}-x-x^{2}-3x - 2 = 0$
$-4x-2 = 0$
$-4x=2$
解得$x =-\dfrac{1}{2}$
检验：当$x =-\dfrac{1}{2}$时，$(x + 2)(x - 1)=\left(-\dfrac{1}{2}+2\right)×\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)=\dfrac{3}{2}×\left(-\dfrac{3}{2}\right)\neq0$
所以原分式方程的解为$x =-\dfrac{1}{2}$
(2)
方程两边同乘$(x - 4)$得：
$3 - x=-1-2(x - 4)$
$3 - x=-1-2x + 8$
$-x+2x=-1 + 8 - 3$
$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 4=0$
所以$x = 4$是增根，原分式方程无解
方程两边同乘$(x + 2)(x - 1)$得：
$x(x - 1)=2(x + 2)+(x + 2)(x - 1)$
$x^{2}-x = 2x+4+x^{2}+x - 2$
$x^{2}-x-x^{2}-3x - 2 = 0$
$-4x-2 = 0$
$-4x=2$
解得$x =-\dfrac{1}{2}$
检验：当$x =-\dfrac{1}{2}$时，$(x + 2)(x - 1)=\left(-\dfrac{1}{2}+2\right)×\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)=\dfrac{3}{2}×\left(-\dfrac{3}{2}\right)\neq0$
所以原分式方程的解为$x =-\dfrac{1}{2}$
(2)
方程两边同乘$(x - 4)$得：
$3 - x=-1-2(x - 4)$
$3 - x=-1-2x + 8$
$-x+2x=-1 + 8 - 3$
$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 4=0$
所以$x = 4$是增根，原分式方程无解
2. 解下列方程：
(1)$\dfrac{x - 2}{x + 3} - \dfrac{3}{x - 3} = 1$；
(2)$\dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{1 - x}{2 - x} - 3$。
(1)$\dfrac{x - 2}{x + 3} - \dfrac{3}{x - 3} = 1$；
(2)$\dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{1 - x}{2 - x} - 3$。
答案
(1)方程两边同乘最简公分母$(x + 3)(x - 3)$，得：
$(x - 2)(x - 3)-3(x + 3)=(x + 3)(x - 3)$
展开并化简：
$x^2-5x + 6-3x - 9=x^2-9$
$x^2-8x - 3=x^2-9$
移项合并：$-8x=-6$
解得：$x=\frac{3}{4}$
检验：当$x=\frac{3}{4}$时，$(x + 3)(x - 3)\neq0$，
$\therefore x=\frac{3}{4}$是原方程的解。
(2)原方程变形为：$\frac{1}{x - 2}=\frac{x - 1}{x - 2}-3$
方程两边同乘$(x - 2)$，得：
$1=x - 1-3(x - 2)$
展开并化简：
$1=x - 1-3x + 6$
$1=-2x + 5$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x - 2=0$，
$\therefore x=2$是增根，原方程无解。
(1)$x=\frac{3}{4}$；(2)无解
$(x - 2)(x - 3)-3(x + 3)=(x + 3)(x - 3)$
展开并化简：
$x^2-5x + 6-3x - 9=x^2-9$
$x^2-8x - 3=x^2-9$
移项合并：$-8x=-6$
解得：$x=\frac{3}{4}$
检验：当$x=\frac{3}{4}$时，$(x + 3)(x - 3)\neq0$，
$\therefore x=\frac{3}{4}$是原方程的解。
(2)原方程变形为：$\frac{1}{x - 2}=\frac{x - 1}{x - 2}-3$
方程两边同乘$(x - 2)$，得：
$1=x - 1-3(x - 2)$
展开并化简：
$1=x - 1-3x + 6$
$1=-2x + 5$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x - 2=0$，
$\therefore x=2$是增根，原方程无解。
(1)$x=\frac{3}{4}$；(2)无解
