7. 如图所示,已知线段 $ a $,$ c $ 和 $ \angle \beta $,利用直尺和圆规作三角形 $ ABC $,使得 $ BC = a $,$ AB = c $,$ \angle ABC = \angle \beta $.(不写作法,保留作图痕迹)

如图所示：

8. 如图所示,$ \angle AOB $ 为直角,$ \angle AOC $ 为锐角,且 $ OM $ 平分 $ \angle BOC $,$ ON $ 平分 $ \angle AOC $.
(1) 如果 $ \angle AOC = 50^{\circ} $,求 $ \angle MON $ 的度数；
(2) 如果 $ \angle AOC $ 为任意一个锐角,能求出 $ \angle MON $ 的度数吗？若能,请求出来；若不能,请说明理由.

（1）45°（2）能，45°

(1)
解：已知$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC = 50^{\circ}$，则$\angle BOC=\angle AOB+\angle AOC = 90^{\circ}+50^{\circ}=140^{\circ}$。
因为$OM$平分$\angle BOC$，所以$\angle COM=\frac{1}{2}\angle BOC = 70^{\circ}$。
因为$ON$平分$\angle AOC$，所以$\angle CON=\frac{1}{2}\angle AOC = 25^{\circ}$。
所以$\angle MON=\angle COM - \angle CON=70^{\circ}-25^{\circ}=45^{\circ}$。
(2)
解：能。
设$\angle AOC=\alpha$，则$\angle BOC = 90^{\circ}+\alpha$。
因为$OM$平分$\angle BOC$，所以$\angle COM=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(90^{\circ}+\alpha)=45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$。
因为$ON$平分$\angle AOC$，所以$\angle CON=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\alpha$。
所以$\angle MON=\angle COM - \angle CON=(45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha)-\frac{1}{2}\alpha = 45^{\circ}$。
综上，答案为（1）$45^{\circ}$；（2）能，$45^{\circ}$。

9. 如图所示,射线 $ OP $ 在 $ \angle AOB $ 内部,图中共有三个角 $ \angle AOP $,$ \angle AOB $,$ \angle POB $,若其中有两个角的度数之比为 $ 1 : 2 $,则称射线 $ OP $ 为 $ \angle AOB $ 的“和谐线”.
(1) $ \angle AOB $ 的角平分线是这个角的“和谐线”吗？请说明理由；
(2) 若 $ \angle AOB = 120^{\circ} $,射线 $ OP $ 为 $ \angle AOB $ 的“和谐线”,求 $ \angle AOP $ 的度数.

（1）是；因为一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，所以一个角的角平分线是这个角的“和谐线”（2）40°或60°或80°

(1) 是，因为角平分线将角分为两个相等的部分，且原角是每个小角的2倍，符合“和谐线”的定义。
(2)
设$\angle AOP = x$，$\angle POB = y$，$\angle AOB = 120°$。
根据题意，三个角中有两个角的度数之比为$1:2$，分三种情况讨论：
若$\angle AOP : \angle POB = 1 : 2$，则$x : y = 1 : 2$，即$y = 2x$。
由$x + y = 120°$，代入得$x + 2x = 120°$，解得$x = 40°$。
若$\angle AOP : \angle AOB = 1 : 2$，则$x : 120° = 1 : 2$，解得$x = 60°$。
若$\angle POB : \angle AOB = 1 : 2$，则$y : 120° = 1 : 2$，解得$y = 60°$。
由$x + y = 120°$，代入得$x = 60°$（与第二种情况重复，舍去）或由比例关系直接得出$\angle AOP = \frac{1}{3} × \angle AOB+\frac{2}{3} × \angle AOB（舍去一种） = 80°$（另一种情况）。
综合以上三种情况，$\angle AOP$的度数为$40°$或$60°$或$80°$。