练习 抛物线 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点是点 $ D $,则以点 $ A,B,C,D $ 为顶点的四边形的面积是。

1. 求抛物线与x轴交点A、B：令$y=0$，则$(x-1)^2-4=0$，解得$x=3$或$x=-1$，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
2. 求抛物线与y轴交点C：令$x=0$，则$y=(0-1)^2-4=-3$，故$C(0,-3)$。
3. 求顶点D坐标：由$y=(x-1)^2-4$，得顶点$D(1,-4)$。
4. 计算四边形面积：采用分割法，连接$AD$，将四边形$ABCD$分为$\triangle ABD$和$\triangle ADC$。
$\triangle ABD$：底$AB=3-(-1)=4$，高为$D$到x轴距离$4$，面积$S_1=\frac{1}{2}×4×4=8$。
$\triangle ADC$：使用坐标公式$S=\frac{1}{2}|x_A(y_D-y_C)+x_D(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_D)|$，代入得$\frac{1}{2}|(-1)(-4+3)+1(-3-0)+0(0+4)|=\frac{1}{2}|1-3|=1$。
四边形面积$S=S_1+S_2=8+1=9$。
9

例 1 已知二次函数 $ y = -(x - 1)^2 + 4 $。
(1) 写出该函数的顶点坐标和对称轴；
(2) 求出该函数的图象与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴的交点坐标；
(3) 在下面的直角坐标系上,用描点法画出该二次函数的图象；
(4) 观察图象,当 $ y ＜ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围是____；当 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小时,$ x $ 的取值范围是____。

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名师导引 画二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象时,一般应先描出顶点、与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴的交点及它关于对称轴的对称点,再画图；求与 $ x $ 轴的交点坐标的方法：令 $ y = 0 $,建立一元二次方程求解。
(1) 顶点坐标：；对称轴：直线。
(2) 与$x$轴交点坐标为；与$y$轴交点坐标为。
(3) 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ |
描点、连线画出图象（图略）。
(4) 观察图象,当 $ y ＜ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围是；当 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小时,$ x $ 的取值范围是。

(1) 顶点坐标：$(1,4)$；对称轴：直线$x = 1$。
(2) 令$y = 0$，则$-(x - 1)^2 + 4 = 0$，
即$(x - 1)^2 = 4$，
$x - 1 = \pm2$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$，
所以与$x$轴交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
令$x = 0$，则$y = -(0 - 1)^2 + 4 = 3$，
所以与$y$轴交点坐标为$(0,3)$。
(3) 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ |
描点、连线画出图象（图略）。
(4) $x ＜ -1$或$x ＞ 3$；$x ＞ 1$。

(1) (2024 梅县一模) 对于二次函数 $ y = -(x - 1)^2 + 2 $,下列说法错误的是()
A.对称轴是直线 $ x = 1 $
B.顶点坐标是 $ (1,2) $
C.当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.当 $ x = 1 $ 时,函数 $ y $ 取最小值为 $ 2 $

D

二次函数 $ y = -(x - 1)^2 + 2 $ 的标准形式为 $ y = a(x - h)^2 + k $，其中 $ a = -1 $，$ h = 1 $，$ k = 2 $。
A选项：对称轴是直线 $ x = h = 1 $，正确。
B选项：顶点坐标是 $ (h, k) = (1, 2) $，正确。
C选项：由于 $ a = -1 ＜ 0 $，抛物线开口向下，当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，正确。
D选项：当 $ x = 1 $ 时，函数 $ y $ 取最大值 $ 2 $，而非最小值，错误。

(2) 已知点 $ A(4,y_1) $,$ B(\sqrt{2},y_2) $,$ C(-2,y_3) $ 都在二次函数 $ y = (x + 2)^2 - 1 $ 的图象上,则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系是。

解题步骤：
1. 确定二次函数的顶点式及对称轴
二次函数为 $ y = (x + 2)^2 - 1 $，其顶点式为 $ y = a(x - h)^2 + k $，其中 $ h = -2 $，$ k = -1 $。对称轴为直线 $ x = h = -2 $。
2. 计算各点到对称轴的距离
点 $ A(4, y_1) $：到对称轴 $ x = -2 $ 的距离为 $ |4 - (-2)| = 6 $；
点 $ B(\sqrt{2}, y_2) $：到对称轴 $ x = -2 $ 的距离为 $ |\sqrt{2} - (-2)| = \sqrt{2} + 2 \approx 3.414 $；
点 $ C(-2, y_3) $：到对称轴 $ x = -2 $ 的距离为 $ |-2 - (-2)| = 0 $。
3. 根据二次函数性质比较函数值大小
该函数 $ a = 1 ＞ 0 $，开口向上，在对称轴右侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，且距离对称轴越远，函数值越大。
距离大小关系：$ 0 ＜ \sqrt{2} + 2 ＜ 6 $，因此 $ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $。
结论：
$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $

例 2
(1) 将抛物线 $ y = 2x^2 $ 先向右平移 $ 4 $ 个单位长度,再向上平移 $ 3 $ 个单位长度,得到抛物线。
(2) 将抛物线 $ y = -2(x - 3)^2 + 1 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度,再向下平移 $ 3 $ 个单位长度,得到抛物线。
(3) (2024 泸州一模) 已知抛物线 $ y = -3(x - 1)^2 + 1 $,若将 $ x $ 轴向下平移 $ 1 $ 个单位长度、$ y $ 轴向左平移 $ 2 $ 个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为。
名师导引 理清图象平移规律是解决此问题的关键,抓住顶点的变化规律：左加右减,上加下减。

(1)$y = 2(x - 4)^{2} + 3$；
(2)$y = -2(x - 1)^{2} - 2$；
(3)$y = -3(x - 3)^{2} + 2$。

(1)
原抛物线$y = 2x^{2}$的顶点坐标为$(0,0)$。
根据“左加右减，上加下减”的原则，向右平移$4$个单位长度，顶点横坐标变为$0 + 4 = 4$；再向上平移$3$个单位长度，顶点纵坐标变为$0 + 3 = 3$。
平移后抛物线的顶点坐标为$(4,3)$，所以平移后抛物线的表达式为$y = 2(x - 4)^{2} + 3$。
(2)
原抛物线$y = -2(x - 3)^{2} + 1$的顶点坐标为$(3,1)$。
向左平移$2$个单位长度，顶点横坐标变为$3 - 2 = 1$；再向下平移$3$个单位长度，顶点纵坐标变为$1 - 3 = -2$。
平移后抛物线的顶点坐标为$(1,-2)$，所以平移后抛物线的表达式为$y = -2(x - 1)^{2} - 2$。
(3)
将$x$轴向下平移$1$个单位长度、$y$轴向左平移$2$个单位长度，相当于把抛物线向上平移$1$个单位长度、向右平移$2$个单位长度。
原抛物线$y = -3(x - 1)^{2} + 1$的顶点坐标为$(1,1)$。
向右平移$2$个单位长度，顶点横坐标变为$1 + 2 = 3$；向上平移$1$个单位长度，顶点纵坐标变为$1 + 1 = 2$。
所以在新平面直角坐标系中，抛物线的表达式为$y = -3(x - 3)^{2} + 2$。

变式训练 在平面直角坐标系中,将抛物线 $ y = x^2 - 4 $ 先向右平移 $ 2 $ 个单位长度,再向上平移 $ 2 $ 个单位长度,得到的抛物线的解析式是()
A.$ y = (x + 2)^2 + 2 $
B.$ y = (x - 2)^2 - 2 $
C.$ y = (x - 2)^2 + 2 $
D.$ y = (x + 2)^2 - 2 $

B

原抛物线解析式为$y=x^2 - 4$，顶点坐标为$(0,-4)$。向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为$0 + 2 = 2$；向上平移2个单位长度，顶点纵坐标变为$-4 + 2 = -2$。平移后抛物线顶点坐标为$(2,-2)$，解析式为$y=(x - 2)^2 - 2$。