5. (2024 江北区期末) 数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了我国数学发展史上圆周率研究的新纪元。某同学在学习“割圆术”的过程中,作了一个如图所示的圆内接正十二边形。若 $ \odot O $ 的半径为 $ 1 $,则这个圆内接正十二边形的面积为()

A.$ 3 $
B.$ \pi $
C.$ 4 $
D.$ 2\pi $

A

圆内接正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为圆心角，大小为$360°÷12 = 30°$，腰长为圆的半径$r = 1$。
每个等腰三角形的面积为$S_{\triangle}=\frac{1}{2}r^2\sin30°=\frac{1}{2}×1^2×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
正十二边形的面积为$12× S_{\triangle}=12×\frac{1}{4}=3$。

6. (2025 广州阶段练习) 如图,在正五边形 $ ABCDE $ 中,经过 $ C $,$ D $ 两点的 $ \odot O $ 分别与 $ AB $,$ AE $ 相切于点 $ M $,$ N $,连接 $ CM $,$ CN $,求 $ \angle MCN $ 的度数。

36°

连接OM、ON、OA。
∵AB、AE与⊙O相切于M、N，∴OM⊥AB，ON⊥AE，OM=ON=r。
∵∠BAE=108°（正五边形内角），OA平分∠BAE，∴∠OAM=∠OAN=54°。
在四边形OMAN中，∠OMA=∠ONA=90°，∴∠MON=360°-90°-90°-108°=72°。
∵C在⊙O上，∴∠MCN为圆周角，其所对弧为MN。
∵弧MN所对圆心角为∠MON=72°，∴∠MCN=1/2∠MON=36°。

新知梳理
1. 弧长公式:在半径为 $ R $ 的圆中,$ n^{\circ} $ 圆心角所对的弧长 $ l = $ .
思考 $ l = \frac{n}{360} × $ $ = \frac{n\pi R}{180} $.
2. 扇形的面积公式:在半径为 $ R $ 的圆中,$ n^{\circ} $ 圆心角所对的扇形面积 $ S = $ .
思考 由 $ S = \frac{n\pi R^{2}}{360} $ 怎样推出 $ S = \frac{1}{2}lR $? 其中,$ l $ 为扇形的弧长;扇形面积的另一个计算公式 $ S = \frac{1}{2}lR $ 与哪个图形的面积公式类似?

1. $ \frac{n\pi R}{180} $；$ 2\pi R $
2. $ \frac{n\pi R^2}{360} $；将 $ l = \frac{n\pi R}{180} $ 代入 $ S = \frac{n\pi R^2}{360} $ 可得 $ S = \frac{1}{2}lR $；三角形面积公式

1. 弧长公式：在半径为 $ R $ 的圆中，圆的周长为 $ 2\pi R $，$ n^{\circ} $ 圆心角所对的弧长占整个圆周长的比例为 $ \frac{n}{360} $，所以弧长 $ l = \frac{n\pi R}{180} $。思考中，$ l = \frac{n}{360} × 2\pi R = \frac{n\pi R}{180} $。
2. 扇形面积公式：在半径为 $ R $ 的圆中，圆的面积为 $ \pi R^2 $，$ n^{\circ} $ 圆心角所对的扇形面积占整个圆面积的比例为 $ \frac{n}{360} $，所以扇形面积 $ S = \frac{n\pi R^2}{360} $。将弧长公式 $ l = \frac{n\pi R}{180} $ 变形为 $ n\pi R = 180l $，代入扇形面积公式可得 $ S = \frac{180l × R}{360} = \frac{1}{2}lR $。扇形面积公式 $ S = \frac{1}{2}lR $ 与三角形面积公式 $ S = \frac{1}{2}ah $（其中 $ a $ 为底，$ h $ 为高）类似，可将扇形的弧长 $ l $ 看作底，半径 $ R $ 看作高。

例1 $ 120^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是 $ 6\pi $,则此弧所在圆的半径是()
A.3
B.4
C.9
D.18
名师导引 根据弧长计算公式,已知弧长、圆心角、半径三个量中的两个量,可求第三个量.

C

设此弧所在圆的半径为$r$，根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数），已知$n = 120^{\circ}$，$l = 6\pi$，则$6\pi = \frac{120\pi r}{180}$，化简得$6\pi = \frac{2\pi r}{3}$，两边同时除以$\pi$得$6 = \frac{2r}{3}$，解得$r = 9$。

变式训练 一个扇形的圆心角是 $ 120^{\circ} $,面积为 $ 3\pi cm^{2} $,那么这个扇形的半径是 $ cm $.

3

设扇形半径为$r$cm，圆心角$n = 120^{\circ}$，面积$S = 3\pi$cm²。根据扇形面积公式$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$，得$3\pi = \frac{120\pi r^{2}}{360}$，化简得$3\pi = \frac{\pi r^{2}}{3}$，两边同除以$\pi$得$3 = \frac{r^{2}}{3}$，解得$r^{2}=9$，$r = 3$（$r=-3$舍去）。

例2 (2025 育才阶段练习改编)如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC = 2 $,在斜边 $ AB $ 上取中点 $ O $,使得以点 $ O $ 为圆心,$ OA $ 为半径的弧,刚好经过点 $ A $,$ B $,$ C $,又以点 $ C $ 为圆心,$ AC $ 为半径画弧,求图中阴影部分的面积.

名师导引 弓形的面积可以转化为扇形面积与三角形面积的和或差.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(2²+2²)=2√2，
O为AB中点，∴OA=OB=OC=AB/2=√2，
以O为圆心，OA为半径的圆是△ABC外接圆，半径r=√2，
该圆中，AB为直径，对应的扇形OAB（半圆）面积：
S扇形O= (180°/360°)πr²= (1/2)π(√2)²=π，
△ABC面积：S△ABC= (1/2)AC·BC= (1/2)×2×2=2，
阴影部分为弓形（扇形OAB与△ABC的差），
∴S阴影=S扇形O - S△ABC=π - 2。
π - 2