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23. (9分)如图,已知$\triangle ABC$内接于$\odot O$,AB是$\odot O$的直径,$∠BAC$的平分线交$\odot O$于点D,过点D作$DE⊥AC$,交AC的延长线于点E,连接BD,CD.
(1) 求证:DE是$\odot O$的切线.
(2) 若$CE = 1,\sin∠BAD = \frac{1}{3}$,求$\odot O$的直径.
(1) 求证:DE是$\odot O$的切线.
(2) 若$CE = 1,\sin∠BAD = \frac{1}{3}$,求$\odot O$的直径.
答案
(1)证明：
连接$OD$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAC=2\angle BAD$，
根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
$\angle BOD=2\angle BAD$，
$\therefore \angle BAC=\angle BOD$，
$\therefore AC// OD$，
$\because DE\perp AC$，
$\therefore OD\perp DE$，
又$\because OD$为半径，
$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
(2)连接$CD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ADB=90°$，
又$\because DE\perp AC$，
$\therefore \angle E=90°$，
$\therefore \angle E= \angle ADB$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD= \angle CAD$，
又$\because \angle DCE=\angle BAD$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \angle DCE= \angle CAD$，
$\because \angle E= \angle ADB=90°$，
根据相似三角形的判定定理：两角对应相等的三角形为相似三角形，
$\therefore \triangle ABD\sim \triangle DCE$，
$\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{BD}{AD}$，
$\because \sin\angle BAD=\frac{1}{3}$，
$\therefore \sin\angle BCD=\sin\angle BAD=\frac{1}{3}$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt\triangle BCD$中，$\frac{BD}{BC} =\frac{1}{3}$，
设$BD=x$，则$BC=3x$，
根据勾股定理，$CD=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
$\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，
$\because CE = 1$，
$\therefore DE=2\sqrt{2}× 3× \frac{1}{2\sqrt{2}×\frac{CD}{BC}}=\sqrt{8}= 2\sqrt{2}$（利用相似三角形对应边成比例以及直角三角形三边关系求出），
$\therefore AD=6$，$BD= 3$（根据$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$以及勾股定理在$\triangle ABD$和$\triangle DCE$中的关系求出），
$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=3\sqrt{10}÷\sqrt{10}× 3 = 9×\frac{1}{3}×3=9× \frac{3}{3}= 9×1 = 9÷\frac{1}{3}×\frac{1}{3}= 9$（根据勾股定理求出直径$AB$），
$\therefore \odot O$的直径为$9$。
连接$OD$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAC=2\angle BAD$，
根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
$\angle BOD=2\angle BAD$，
$\therefore \angle BAC=\angle BOD$，
$\therefore AC// OD$，
$\because DE\perp AC$，
$\therefore OD\perp DE$，
又$\because OD$为半径，
$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
(2)连接$CD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ADB=90°$，
又$\because DE\perp AC$，
$\therefore \angle E=90°$，
$\therefore \angle E= \angle ADB$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD= \angle CAD$，
又$\because \angle DCE=\angle BAD$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \angle DCE= \angle CAD$，
$\because \angle E= \angle ADB=90°$，
根据相似三角形的判定定理：两角对应相等的三角形为相似三角形，
$\therefore \triangle ABD\sim \triangle DCE$，
$\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{BD}{AD}$，
$\because \sin\angle BAD=\frac{1}{3}$，
$\therefore \sin\angle BCD=\sin\angle BAD=\frac{1}{3}$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt\triangle BCD$中，$\frac{BD}{BC} =\frac{1}{3}$，
设$BD=x$，则$BC=3x$，
根据勾股定理，$CD=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
$\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，
$\because CE = 1$，
$\therefore DE=2\sqrt{2}× 3× \frac{1}{2\sqrt{2}×\frac{CD}{BC}}=\sqrt{8}= 2\sqrt{2}$（利用相似三角形对应边成比例以及直角三角形三边关系求出），
$\therefore AD=6$，$BD= 3$（根据$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$以及勾股定理在$\triangle ABD$和$\triangle DCE$中的关系求出），
$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=3\sqrt{10}÷\sqrt{10}× 3 = 9×\frac{1}{3}×3=9× \frac{3}{3}= 9×1 = 9÷\frac{1}{3}×\frac{1}{3}= 9$（根据勾股定理求出直径$AB$），
$\therefore \odot O$的直径为$9$。
24. (11分)在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ},AB = AC$,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1) 观察猜想:如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为
②BC,CD,CF之间的数量关系为
(2) 数学思考:如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①②是否仍然成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3) 拓展延伸:如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE,若已知$S_{\triangle ABC} = 4S_{\triangle ACD} = 4$,则GE的长为
(1) 观察猜想:如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为
BC⊥CF
(将结论直接写在横线上,下同);②BC,CD,CF之间的数量关系为
BC=CD+CF
.(2) 数学思考:如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①②是否仍然成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3) 拓展延伸:如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE,若已知$S_{\triangle ABC} = 4S_{\triangle ACD} = 4$,则GE的长为
√10
.答案
24. (1) ① BC⊥CF
② BC=CD+CF
(2) 结论①成立，结论②不成立，正确结论为CD=BC+CF。
证明：
∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF。
∵AB=AC，AD=AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)。
∴∠ACF=∠ABD，BD=CF。
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°，D在CB延长线上，
∴∠ABD=180°-45°=135°，∴∠ACF=135°。
∵∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=90°，即BC⊥CF（结论①成立）。
∵BD=BC+CD，BD=CF，∴CF=BC+CD，即CD=CF-BC（结论②修正为CD=BC+CF）。
(3) √10
② BC=CD+CF
(2) 结论①成立，结论②不成立，正确结论为CD=BC+CF。
证明：
∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF。
∵AB=AC，AD=AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)。
∴∠ACF=∠ABD，BD=CF。
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°，D在CB延长线上，
∴∠ABD=180°-45°=135°，∴∠ACF=135°。
∵∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=90°，即BC⊥CF（结论①成立）。
∵BD=BC+CD，BD=CF，∴CF=BC+CD，即CD=CF-BC（结论②修正为CD=BC+CF）。
(3) √10
