8. 小明从正面观察如图所示的两个物体,正确的是()

C

从正面观察，左边圆柱的正视图是长方形，右边正方体的正视图是正方形，且两者左右排列，无重叠。A为俯视图特征，B为叠加视图，D为单一圆柱视图，C符合要求。

9. 在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x^{2} - 4x + 5 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,则该抛物线关于点 $ C $ 成中心对称的抛物线的表达式为()
A.$ y = -x^{2} - 4x + 5 $
B.$ y = x^{2} + 4x + 5 $
C.$ y = -x^{2} + 4x - 5 $
D.$ y = -x^{2} - 4x - 5 $

A

1.首先求原抛物线与$y$轴的交点C的坐标。
令$x = 0$，则$y = 0^{2} - 4 × 0 + 5 = 5$，所以点C的坐标为$(0,5)$。
2.设新抛物线上任意一点$P(x,y)$，则点$P$关于点$C(0,5)$的中心对称点为$P^{\prime }(-x,10 - y)$，且点$P^{\prime }$在原抛物线$y = x^{2} - 4x + 5$上。
3.把$P^{\prime }(-x,10 - y)$代入原抛物线方程$y = x^{2} - 4x + 5$中，得到$10 - y=(-x)^{2}-4×(-x)+5$。
4.化简该方程：
$10 - y=x^{2}+4x + 5$，
移项可得$y=-x^{2}-4x + 5$。

10. 如图是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c \, (a \neq 0) $ 的部分图象,该函数图象的对称轴是直线 $ x = 1 $,图象与 $ y $ 轴交点的纵坐标是 2,则下列结论：① $ 2a + b = 0 $；②方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 一定有一个根在 $ -2 $ 和 $ -1 $ 之间；③方程 $ ax^{2} + bx + c - \frac{3}{2} = 0 $ 一定有两个不相等的实数根；④ $ b - a ＜ 2 $. 其中,正确结论的个数有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

①由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$得$-b=2a$，即$2a+b=0$，①正确；②由图像知抛物线与x轴一个交点在$(2,3)$，对称轴$x=1$，则另一交点为$2-x_1$（$2＜x_1＜3$），故另一交点在$(-1,0)$，不在$-2$和$-1$之间，②错误；③方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$即$y=\frac{3}{2}$与抛物线交点，抛物线顶点纵坐标$-a+2$（$a＜0$），则顶点在$y=2$上方，故与$y=\frac{3}{2}$有两交点，③正确；④$b=-2a$，$b-a=-3a$，$a＜0$，当$a=-1$时，$b-a=3＞2$，④错误。正确结论为①③，共2个。

11. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,则 $ a $ $ 0 $,$ b $ $ 0 $,$ c $ $ 0 $,$ \Delta $ $ 0 $.(填“$ ＞ $”或“$ ＜ $”)

【解析】：抛物线开口向下，所以$a\lt0$；对称轴在$y$轴右侧，$-\frac{b}{2a}\gt0$，又$a\lt0$，则$b\gt0$；抛物线与$y$轴交于负半轴，所以$c\lt0$；抛物线与$x$轴有两个交点，所以$\Delta\gt0$。
【答案】：$\lt$，$\gt$，$\lt$，$\gt$

12. 某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为 $ 1 \, m $ 处达到最高,高度为 $ 3 \, m $,水柱落地处到池中心的水距离也为 $ 3 \, m $,那么水管的设计高度应为 .

$\frac{9}{4}$（或 $2.25$ 的分数表示形式，具体为题目要求是否化为分数，本题答案按分数给出）

由题意可知，抛物线水柱的顶点为 $(1,3)$，且过点 $(3,0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0,h)$。设抛物线的顶点式为 $y=a(x-1)^{2}+3$。将点 $(3,0)$ 代入方程，得 $0=a(3-1)^{2}+3$，即 $0=4a+3$，解得 $a=-\frac{3}{4}$。因此，抛物线的方程为 $y=-\frac{3}{4}(x-1)^{2}+3$。将 $x=0$代入方程，得 $y=-\frac{3}{4}(0-1)^{2}+3=-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}=2.25$，即水管的设计高度为 $\frac{9}{4} \, m$（或 $2.25 \, m$），化为分数形式为 $\frac{9}{4} \, m$，符合题目要求。

13. 若抛物线的对称轴是直线 $ x = 1 $,抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,已知点 $ B $ 的坐标为 $ (\sqrt{3}, 0) $,则点 $ A $ 的坐标为 .

$(2 - \sqrt{3},0)$

已知抛物线的对称轴为直线$x = 1$，这表示抛物线上任意两点关于对称轴对称时，它们的横坐标到对称轴的距离相等。
设点$A$的坐标为$(x, 0)$，由于点$B$的坐标为$(\sqrt{3}, 0)$，且点$A$和点$B$关于对称轴$x = 1$对称，根据对称性，有：
$\frac{x + \sqrt{3}}{2} = 1$，
解这个方程，得到：
$x + \sqrt{3} = 2$，
$x = 2 - \sqrt{3}$，
由于$2 - \sqrt{3} \lt \sqrt{3}$不成立（实际上$2 - \sqrt{3} \lt \sqrt{3}$是数学上的正确判断，但在此处我们关注的是解出的$x$值即为点$A$的横坐标，且该值小于$\sqrt{3}$并不影响我们确定点$A$的位置），且我们已知点$B$的横坐标为$\sqrt{3}$，因此点$A$位于点$B$的左侧。
所以，点$A$的坐标为$(2 - \sqrt{3}, 0)$。

14. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ AB = 4 $,$ E $ 是 $ BC $ 上一点,$ F $ 是 $ CD $ 上一点,且 $ AE = AF $. 设 $ S_{\triangle AEF} = y $,$ EC = x $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式是 .

y=-1/2x²+4x

在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠B=∠D=90°。
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF。
∵EC=x，BC=4，
∴BE=4-x，
∴DF=4-x。
∵CD=4，
∴FC=CD-DF=4-(4-x)=x，即FC=EC=x。
正方形ABCD面积为4×4=16。
S△ABE=S△ADF=1/2×AB×BE=1/2×4×(4-x)=8-2x。
S△ECF=1/2×EC×FC=1/2×x×x=1/2x²。
∴S△AEF=16-2×(8-2x)-1/2x²=16-16+4x-1/2x²=-1/2x²+4x。
即y=-1/2x²+4x。