12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为 30°,则顶角的度数为.

60°或120°

当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，顶角与30°角互余，顶角为90°-30°=60°；当为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，顶角的邻补角与30°角互余，顶角邻补角为90°-30°=60°，顶角为180°-60°=120°。

13. 如图,在△ABC 中,AB = AC,AD 是 BC 边上的高,E,F 是 AD 的三等分点.若△ABC 的面积为$ 12 cm^2,$则图中阴影部分的面积是$cm^2.$

4

∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD是△ABC的中线（等腰三角形三线合一），则S_△ABD=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=6cm²。
∵E，F是AD的三等分点，∴AE=EF=FD。
在△ABD中，AE=EF=FD，三个小三角形△ABE、△BEF、△BFD等底同高（以BD为底，高分别为AE、EF、FD），故面积相等，每个面积为6÷3=2cm²，同理△ACE、△CEF、△CFD面积也均为2cm²。
阴影部分为△BEF和△CEF，面积和为2+2=4cm²。

14. 在 3×2 的正方形网格中,格点 A,B 的位置如图所示,在其他格点中确定一点 C,使△ABC 是轴对称图形,则符合条件的点 C 位置的个数是.

4

在3×2正方形网格中，要使△ABC为轴对称图形，需考虑△ABC为等腰三角形（轴对称三角形必为等腰三角形），分三种情况：①AC=BC（C在AB垂直平分线上）；②AC=AB（C以A为圆心AB长为半径的格点）；③BC=AB（C以B为圆心AB长为半径的格点）。通过网格分析，AB垂直平分线上有2个格点，AC=AB有1个格点，BC=AB有1个格点，共4个符合条件的格点C。

15. 如图,等腰△ABC 的底边 BC 长为 6,面积是 18,腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC,AB 边于 E,F 点.若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则△CDM 周长的最小值为.

9

∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=CD=3。
∵S△ABC=18，BC=6，∴1/2×BC×AD=18，即1/2×6×AD=18，解得AD=6。
∵EF是AC的垂直平分线，∴M在EF上时，MA=MC（垂直平分线性质）。
△CDM周长=CD+DM+CM=3+DM+MA，要使周长最小，需DM+MA最小。
∵A、D为定点，M在EF上，且A、D在EF两侧，∴DM+MA最小值为AD=6（两点之间线段最短）。
∴△CDM周长最小值=3+6=9。

16. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 9,∠BAC = 120°,AD 是△ABC 的中线,AE 是∠BAD 的平分线,DF//AB,交 AE 的延长线于点 F,则 DF 的长为.

9/2

∵AB=AC=9，∠BAC=120°，∴△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=30°．
∵AD是中线，由等腰三角形“三线合一”得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°．
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=9，∴AD=AB×1/2=9/2（30°角所对直角边是斜边一半）．
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=30°．
∵DF//AB，∴∠F=∠BAE=30°（内错角相等）．
在△ADF中，∠DAF=∠DAE=30°，∠F=30°，∴∠DAF=∠F，故AD=DF．
∴DF=AD=9/2．

17. (8 分)如图,已知点 M,N 和∠AOB,求作一点 P,使 P 到点 M,N 的距离相等,且到∠AOB 两边的距离也相等.

1. 作线段 $MN$ 的垂直平分线 $EF$：
分别以点 $M$、$N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线 $EF$，则 $EF$ 是线段 $MN$ 的垂直平分线。
2. 作 $\angle AOB$ 的角平分线 $OG$：
以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $OA$、$OB$ 于两点，再分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在 $\angle AOB$ 内部相交于一点，过点 $O$ 和这个交点作射线 $OG$，则 $OG$ 是 $\angle AOB$ 的角平分线。
3. 直线 $EF$ 与射线 $OG$ 的交点 $P$ 即为所求作的点。
理由：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以点 $P$ 在 $EF$ 上，则 $PM = PN$；根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点 $P$ 在 $OG$ 上，则点 $P$ 到 $\angle AOB$ 两边的距离相等。