19. 如图所示,一次函数$y_1 = kx + 1(k\neq0)与二次函数y_2 = ax^2+bx - 2(a\neq0)$的图象交于A,B两点,点A的坐标为(1,0),且抛物线的对称轴是直线$x= -1.5$.求：

(1)k和a,b的值.
(2)不等式$kx + 1＞ax^2+bx - 2$的解集.

【解析】：本题可根据一次函数与二次函数的性质，结合已知条件来求解$k$、$a$、$b$的值，再根据函数图象求解不等式的解集。
（1）求$k$和$a$、$b$的值
求$k$的值：
已知一次函数$y_1 = kx + 1(k\neq0)$的图象过点$A(1,0)$，将点$A(1,0)$代入一次函数$y_1 = kx + 1$中，可得：
$0 = k×1 + 1$，即$k + 1 = 0$，解得$k = -1$。
求$a$、$b$的值：
因为二次函数$y_2 = ax^2 + bx - 2(a\neq0)$的图象过点$A(1,0)$，且抛物线的对称轴是直线$x = -1.5$。
将点$A(1,0)$代入二次函数$y_2 = ax^2 + bx - 2$中，可得$a×1^2 + b×1 - 2 = 0$，即$a + b - 2 = 0$ ①。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，已知抛物线对称轴是直线$x = -1.5$，则$-\frac{b}{2a} = -1.5$，即$b = 3a$ ②。
将②代入①可得：$a + 3a - 2 = 0$，即$4a - 2 = 0$，$4a = 2$，解得$a = \frac{1}{2}$。
把$a = \frac{1}{2}$代入②得：$b = 3×\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
综上，$k = -1$，$a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{3}{2}$。
（2）求不等式$kx + 1＞ax^2 + bx - 2$的解集
不等式$kx + 1＞ax^2 + bx - 2$的解集，就是一次函数$y_1 = kx + 1$的图象在二次函数$y_2 = ax^2 + bx - 2$图象上方时$x$的取值范围。
由（1）可知一次函数为$y_1 = -x + 1$，二次函数为$y_2 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2$。
联立两个函数的解析式$\begin{cases}y = -x + 1\\y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2\end{cases}$，即$-x + 1 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2$，移项化为标准的一元二次方程形式为$\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - 3 = 0$，两边同时乘以$2$得$x^2 + 5x - 6 = 0$，因式分解为$(x + 6)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = -6$，$x_2 = 1$。
结合函数图象可知，一次函数$y_1 = -x + 1$的图象在二次函数$y_2 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2$图象上方时，$x$的取值范围是$-6＜x＜1$。
【答案】：
(1)$k = -1$，$a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{3}{2}$；
(2)$-6＜x＜1$。

20. 如图1所示的风筝筝面可以抽象成图2的筝形ABCD,$AB = AD$,$CB = CD$,风筝的骨架由3条竹棒AC,BD,EF组成,其中E,F分别是CB和CD的中点.现有一根总长为90 cm的竹棒可截成三段用于做风筝的骨架.为合理利用筝面ABCD的材料,小组同学进行了如下探究：

(1)设筝面ABCD的面积为s($cm^2$),骨架BD的长度为x(cm),求s关于x的函数表达式.
(2)在图3中画出(1)中s关于x的函数图象.
(3)利用图象分析,当骨架AC的长度大于BD的长度且筝面的面积超过432 $cm^2$时,求骨架BD的长度范围.

1. （1）
解：因为$AB = AD$，$CB = CD$，所以$AC\perp BD$（等腰三角形三线合一）。
设$AC$与$BD$相交于点$O$，则$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$。
已知竹棒总长为$90cm$，$BD = x$，$EF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}x$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），所以$AC + BD+EF=90$，即$AC + x+\frac{1}{2}x = 90$，则$AC=90 - \frac{3}{2}x$。
所以$S=\frac{1}{2}(90-\frac{3}{2}x)x$，展开得$S =-\frac{3}{4}x^{2}+45x$。
又因为$AC=90 - \frac{3}{2}x\gt0$，$x\gt0$，由$90-\frac{3}{2}x\gt0$得$x\lt60$，所以$0\lt x\lt60$。
2. （2）
对于二次函数$y =-\frac{3}{4}x^{2}+45x$，其对称轴为$x =-\frac{45}{2×(-\frac{3}{4})}=30$，当$x = 30$时，$S=-\frac{3}{4}×30^{2}+45×30=-\frac{3}{4}×900 + 1350=-675 + 1350 = 675$；当$x = 0$时，$S = 0$；当$x = 60$时，$S=-\frac{3}{4}×60^{2}+45×60=-\frac{3}{4}×3600+2700=-2700 + 2700 = 0$。根据这些点$(0,0)$，$(30,675)$，$(60,0)$画出二次函数$S =-\frac{3}{4}x^{2}+45x(0\lt x\lt60)$的图象（图象为开口向下的抛物线的一部分）。

3. （3）
解：由$AC\gt BD$，即$90-\frac{3}{2}x\gt x$，移项得$90\gt x+\frac{3}{2}x$，$90\gt\frac{5}{2}x$，解得$x\lt36$。
又由$S\gt432$，即$-\frac{3}{4}x^{2}+45x\gt432$，两边同时乘以$-\frac{4}{3}$得$x^{2}-60x + 576\lt0$。
对于一元二次方程$x^{2}-60x + 576 = 0$，根据求根公式$x=\frac{60\pm\sqrt{60^{2}-4×576}}{2}=\frac{60\pm\sqrt{3600 - 2304}}{2}=\frac{60\pm\sqrt{1296}}{2}=\frac{60\pm36}{2}$。
则$x_{1}=\frac{60 + 36}{2}=48$，$x_{2}=\frac{60 - 36}{2}=12$。
所以不等式$x^{2}-60x + 576\lt0$的解集为$12\lt x\lt48$。
结合$x\lt36$，所以$12\lt x\lt36$。
综上，（1）$S =-\frac{3}{4}x^{2}+45x(0\lt x\lt60)$；（3）$12\lt x\lt36$。