【例4】如图,在△ABC和△DEF中,∠B= ∠DEF,AB= DE,添加一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件可能是()

A.∠A= ∠D
B.AC//DF
C.BE= CF
D.AC= DF

D

因为∠B=∠DEF，AB=DE，
当∠A=∠D时，由ASA可得△ABC≌△DEF，A不符合题意；
当AC//DF时，∠ACB=∠F，由AAS可得△ABC≌△DEF，B不符合题意；
当BE=CF时，BC=EF，由SAS可得△ABC≌△DEF，C不符合题意；
当AC=DF时，不能证明△ABC≌△DEF，D符合题意。
D

【例5】如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为AB的中点,连结DE并延长交CB的延长线于点F,作EG⊥DF交CF于点G。求证：
(1)△ADE≌△BFE。
(2)DF平分∠ADG。

证明：
(1)
因为$AD // BC$，所以$\angle ADE = \angle BFE$。
因为$E$为$AB$的中点，所以$AE = BE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BFE$中，
$\begin{cases}\angle ADE = \angle BFE\\\angle AED = \angle BEF\\AE = BE\end{cases}$
所以$\triangle ADE \cong \triangle BFE(AAS)$。
(2)
因为$\triangle ADE \cong \triangle BFE$，所以$DE = FE$。
因为$GE \perp DF$，所以$\angle DEG = \angle FEG = 90^{\circ}$。
又因为$EG = EG$，所以$\triangle GDE \cong \triangle GFE(SAS)$，所以$\angle GDF = \angle F$。
由(1)知$\angle ADE = \angle F$，所以$\angle GDF = \angle ADE$，即$DF$平分$\angle ADG$。