7. 如图,D是等边三角形ABC的边AB上的一点,且AD：DB= 2：3,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在边AC和BC上,求CE：CF的值.

$7:8$

设等边三角形$ABC$的边长为$5k$，则$AD=2k$，$DB=3k$，$AC=BC=5k$。设$CE=x$，$CF=y$，由折叠性质得$DE=CE=x$，$DF=CF=y$，且$\angle EDF=\angle C=60^\circ$。
在$\triangle ADE$中，$\angle A=60^\circ$，故$\angle ADE+\angle AED=120^\circ$。因$\angle EDF=60^\circ$，则$\angle ADE+\angle FDB=180^\circ-\angle EDF=120^\circ$，从而$\angle AED=\angle FDB$。
同理，在$\triangle BDF$中，$\angle B=60^\circ$，$\angle BDF+\angle BFD=120^\circ$，故$\angle ADE=\angle BFD$。
因此，$\triangle ADE\sim\triangle BFD$（AA相似）。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{BD}=\frac{DE}{DF}$。
其中$BF=BC-CF=5k-y$，$AE=AC-CE=5k-x$，$AD=2k$，$BD=3k$，$DE=x$，$DF=y$，代入得$\frac{2k}{5k-y}=\frac{5k-x}{3k}=\frac{x}{y}$。
设$\frac{x}{y}=t$，则$x=ty$。由$\frac{5k-x}{3k}=t$得$5k-ty=3kt$，即$5k=t(3k+y)$；由$\frac{2k}{5k-y}=t$得$2k=t(5k-y)$。
联立$\frac{2k}{5k-y}=\frac{5k}{3k+y}$，解得$7y=19k$，进而$t=\frac{7}{8}$。
故$CE:CF=7:8$。

8. 如图,在△ABC中,AB= 12,AC= 15,D为AC上一点,CD= 2/3AC,在边AB上找一点E,使得△ADE与△ABC相似,求AE的长.

∵ $CD= \frac{2}{3} AC$，$AC=15$
∴ $CD=10$，$AD=5$
① 当$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$时，$\triangle ADE\sim \triangle ABC$
即$\frac{AE}{15}=\frac{5}{12}$
解得：$AE=\frac{25}{4}$
② 当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时，$\triangle ADE\sim \triangle ACB$
即$\frac{AE}{12}=\frac{5}{15}$
解得：$AE=4$
∴ 当$AE=\frac{25}{4}$或$4$时，$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似。

9. 我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形. 若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫作这个三角形的“内似线”.
(1)等边三角形“内似线”的条数为；
(2)如图,在△ABC中,AB= AC,点D在AC上,且BD= BC= AD,求证：BD是△ABC的“内似线”；

(3)在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 12,BC= 5,点E,F分别在边AC,BC上,且EF是△ABC的“内似线”,求EF的长.

(1) 3
(2) 设∠A=x，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x，∠BDC=2x，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2x，∴x+2x+2x=180°，x=36°，∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°，∠DBC=36°，BD平分∠ABC，内心在BD上。∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△BCD∽△ACB，BD过内心，∴BD是“内似线”。
(3) 建立坐标系，C(0,0)，A(0,12)，B(5,0)，内心I(2,2)，E(0,e)，F(f,0)，EF过I，方程y=(-e/f)x+e，2=(-2e/f)+e，e=2f/(f-2)。
情况1：△ECF∽△ACB，e/12=f/5，e=12f/5，12f/5=2f/(f-2)，f=17/6，e=34/5，EF=√[(17/6)²+(34/5)²]=221/30。
情况2：△ECF∽△BCA，e/5=f/12，e=5f/12，5f/12=2f/(f-2)，f=34/5＞5（舍）。
EF=221/30