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1. $ 2^{-3} $ 与 $ 2^3 $ 的关系是(
A.相等
B.绝对值相等
C.互为相反数
D.互为倒数
D
)A.相等
B.绝对值相等
C.互为相反数
D.互为倒数
答案
D
解析
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，$2^3=8$，$\frac{1}{8}×8=1$，所以$2^{-3}$与$2^3$互为倒数。
D
D
2. 计算 $ -2^2 + (-2)^2 - (-\frac{1}{2})^{-1} $ 的结果是(
A.2
B.-2
C.6
D.10
A
)A.2
B.-2
C.6
D.10
答案
A
解析
$-2^{2} + (-2)^{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} = -4 + 4 - (-2) = 0 + 2 = 2$
A
A
3. 若 $ 4^{-3} × 4^{-1} × 4^0 = 4^p $,则 $ p $ 的值为
-4
.答案
-4
解析
$4^{-3} × 4^{-1} × 4^{0} = 4^{-3 + (-1) + 0} = 4^{-4}$，所以$p = -4$。
题型 1 计算：
(1) $ (2ab^2c^{-3})^{-2} ÷ (a^{-2}b)^3 $；
(2) $ | -1 | + (-2)^2 + (7 - \pi)^0 - (\frac{1}{3})^{-1} $.
(1) $ (2ab^2c^{-3})^{-2} ÷ (a^{-2}b)^3 $；
(2) $ | -1 | + (-2)^2 + (7 - \pi)^0 - (\frac{1}{3})^{-1} $.
答案
$(1)$ 计算$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}÷(a^{-2}b)^{3}$
解：
根据幂的运算法则：$(xy)^n=x^ny^n$，$(x^m)^n = x^{mn}$，$x^m÷ x^n=x^{m - n}$。
先计算$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}$：
$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}=2^{-2}a^{-2}(b^{2})^{-2}(c^{-3})^{-2}$
根据$(x^m)^n = x^{mn}$可得：$2^{-2}a^{-2}(b^{2})^{-2}(c^{-3})^{-2}=\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^{6}$。
再计算$(a^{-2}b)^{3}$：
$(a^{-2}b)^{3}=(a^{-2})^{3}b^{3}=a^{-6}b^{3}$。
然后进行除法运算：
$\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^{6}÷(a^{-6}b^{3})=\frac{1}{4}a^{-2-(-6)}b^{-4 - 3}c^{6}$
根据$x^m÷ x^n=x^{m - n}$可得：$\frac{1}{4}a^{-2-(-6)}b^{-4 - 3}c^{6}=\frac{1}{4}a^{4}b^{-7}c^{6}=\frac{a^{4}c^{6}}{4b^{7}}$。
$(2)$ 计算$\vert - 1\vert+(-2)^{2}+(7-\pi)^{0}-(\frac{1}{3})^{-1}$
解：
根据绝对值的性质$\vert -x\vert=x$（$x\gt0$），可得$\vert - 1\vert = 1$；
根据乘方的定义$(-2)^{2}=(-2)×(-2)=4$；
根据零指数幂$a^0 = 1$（$a\neq0$），可得$(7-\pi)^{0}=1$；
根据负指数幂$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$），可得$(\frac{1}{3})^{-1}=3$。
将上述结果代入原式：
$\vert - 1\vert+(-2)^{2}+(7-\pi)^{0}-(\frac{1}{3})^{-1}=1 + 4+1 - 3=3$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{a^{4}c^{6}}{4b^{7}}}$；$(2)$$\boldsymbol{3}$。
解：
根据幂的运算法则：$(xy)^n=x^ny^n$，$(x^m)^n = x^{mn}$，$x^m÷ x^n=x^{m - n}$。
先计算$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}$：
$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}=2^{-2}a^{-2}(b^{2})^{-2}(c^{-3})^{-2}$
根据$(x^m)^n = x^{mn}$可得：$2^{-2}a^{-2}(b^{2})^{-2}(c^{-3})^{-2}=\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^{6}$。
再计算$(a^{-2}b)^{3}$：
$(a^{-2}b)^{3}=(a^{-2})^{3}b^{3}=a^{-6}b^{3}$。
然后进行除法运算：
$\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^{6}÷(a^{-6}b^{3})=\frac{1}{4}a^{-2-(-6)}b^{-4 - 3}c^{6}$
根据$x^m÷ x^n=x^{m - n}$可得：$\frac{1}{4}a^{-2-(-6)}b^{-4 - 3}c^{6}=\frac{1}{4}a^{4}b^{-7}c^{6}=\frac{a^{4}c^{6}}{4b^{7}}$。
$(2)$ 计算$\vert - 1\vert+(-2)^{2}+(7-\pi)^{0}-(\frac{1}{3})^{-1}$
解：
根据绝对值的性质$\vert -x\vert=x$（$x\gt0$），可得$\vert - 1\vert = 1$；
根据乘方的定义$(-2)^{2}=(-2)×(-2)=4$；
根据零指数幂$a^0 = 1$（$a\neq0$），可得$(7-\pi)^{0}=1$；
根据负指数幂$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$），可得$(\frac{1}{3})^{-1}=3$。
将上述结果代入原式：
$\vert - 1\vert+(-2)^{2}+(7-\pi)^{0}-(\frac{1}{3})^{-1}=1 + 4+1 - 3=3$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{a^{4}c^{6}}{4b^{7}}}$；$(2)$$\boldsymbol{3}$。
题型 2 用两种方法计算 $ (a^2b^{-1})^3 \cdot (a^{-3}b)^2 $.
答案
1. 方法一：
先根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$计算：
$(a^{2}b^{-1})^{3}=a^{2×3}b^{-1×3}=a^{6}b^{-3}$，$(a^{-3}b)^{2}=a^{-3×2}b^{2}=a^{-6}b^{2}$。
再根据同底数幂相乘公式$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$计算：
$(a^{2}b^{-1})^{3}\cdot(a^{-3}b)^{2}=a^{6}b^{-3}\cdot a^{-6}b^{2}$。
$a^{6}\cdot a^{-6}\cdot b^{-3}\cdot b^{2}=a^{6+( - 6)}b^{-3 + 2}$。
因为$a^{6+( - 6)}=a^{0}=1(a\neq0)$，$b^{-3 + 2}=b^{-1}=\frac{1}{b}$，所以结果为$\frac{1}{b}$。
2. 方法二：
先根据积的乘方公式$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$计算：
$(a^{2}b^{-1})^{3}\cdot(a^{-3}b)^{2}=\frac{(a^{2})^{3}}{b^{3}}\cdot\frac{b^{2}}{(a^{3})^{2}}$。
再根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$计算：
$\frac{a^{6}}{b^{3}}\cdot\frac{b^{2}}{a^{6}}$。
然后根据分式乘法法则$\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}$（这里$m = a^{6}$，$n = b^{3}$，$p = b^{2}$，$q = a^{6}$）：
$\frac{a^{6}\cdot b^{2}}{b^{3}\cdot a^{6}}$。
约去$a^{6}$，根据同底数幂相除公式$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$（这里$a = b$，$m = 2$，$n = 3$），$\frac{b^{2}}{b^{3}}=b^{2-3}=b^{-1}=\frac{1}{b}$。
综上，$(a^{2}b^{-1})^{3}\cdot(a^{-3}b)^{2}=\frac{1}{b}$。
先根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$计算：
$(a^{2}b^{-1})^{3}=a^{2×3}b^{-1×3}=a^{6}b^{-3}$，$(a^{-3}b)^{2}=a^{-3×2}b^{2}=a^{-6}b^{2}$。
再根据同底数幂相乘公式$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$计算：
$(a^{2}b^{-1})^{3}\cdot(a^{-3}b)^{2}=a^{6}b^{-3}\cdot a^{-6}b^{2}$。
$a^{6}\cdot a^{-6}\cdot b^{-3}\cdot b^{2}=a^{6+( - 6)}b^{-3 + 2}$。
因为$a^{6+( - 6)}=a^{0}=1(a\neq0)$，$b^{-3 + 2}=b^{-1}=\frac{1}{b}$，所以结果为$\frac{1}{b}$。
2. 方法二：
先根据积的乘方公式$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$计算：
$(a^{2}b^{-1})^{3}\cdot(a^{-3}b)^{2}=\frac{(a^{2})^{3}}{b^{3}}\cdot\frac{b^{2}}{(a^{3})^{2}}$。
再根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$计算：
$\frac{a^{6}}{b^{3}}\cdot\frac{b^{2}}{a^{6}}$。
然后根据分式乘法法则$\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}$（这里$m = a^{6}$，$n = b^{3}$，$p = b^{2}$，$q = a^{6}$）：
$\frac{a^{6}\cdot b^{2}}{b^{3}\cdot a^{6}}$。
约去$a^{6}$，根据同底数幂相除公式$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$（这里$a = b$，$m = 2$，$n = 3$），$\frac{b^{2}}{b^{3}}=b^{2-3}=b^{-1}=\frac{1}{b}$。
综上，$(a^{2}b^{-1})^{3}\cdot(a^{-3}b)^{2}=\frac{1}{b}$。
题型 3 已知 $ 3^m = \frac{1}{27} $,$ (\frac{1}{2})^n = 16 $,求 $ m^n $ 的值.
答案
1. 首先，根据指数运算法则求解$m$的值：
已知$3^{m}=\frac{1}{27}$，因为$\frac{1}{27}=3^{-3}$（根据$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0,p\in N^{*})$，这里$a = 3$，$p = 3$），所以$3^{m}=3^{-3}$。
根据指数函数$y = a^{x}(a\gt0,a\neq1)$的性质，当$a^{x}=a^{y}$时，$x = y$，则$m=-3$。
2. 然后，根据指数运算法则求解$n$的值：
已知$(\frac{1}{2})^{n}=16$，因为$16 = 2^{4}$，且$(\frac{1}{2})^{n}=2^{-n}$（根据$(\frac{1}{a})^{p}=a^{-p}(a\neq0,p\in N^{*})$，这里$a = 2$，$p = n$），所以$2^{-n}=2^{4}$。
根据指数函数$y = a^{x}(a\gt0,a\neq1)$的性质，当$a^{x}=a^{y}$时，$x = y$，则$-n = 4$，即$n=-4$。
3. 最后，计算$m^{n}$的值：
把$m=-3$，$n = - 4$代入$m^{n}$，得到$m^{n}=(-3)^{-4}$。
根据$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0,p\in N^{*})$，这里$a=-3$，$p = 4$，则$(-3)^{-4}=\frac{1}{(-3)^{4}}$。
又因为$(-3)^{4}=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$，所以$\frac{1}{(-3)^{4}}=\frac{1}{81}$。
综上，$m^{n}$的值为$\frac{1}{81}$。
已知$3^{m}=\frac{1}{27}$，因为$\frac{1}{27}=3^{-3}$（根据$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0,p\in N^{*})$，这里$a = 3$，$p = 3$），所以$3^{m}=3^{-3}$。
根据指数函数$y = a^{x}(a\gt0,a\neq1)$的性质，当$a^{x}=a^{y}$时，$x = y$，则$m=-3$。
2. 然后，根据指数运算法则求解$n$的值：
已知$(\frac{1}{2})^{n}=16$，因为$16 = 2^{4}$，且$(\frac{1}{2})^{n}=2^{-n}$（根据$(\frac{1}{a})^{p}=a^{-p}(a\neq0,p\in N^{*})$，这里$a = 2$，$p = n$），所以$2^{-n}=2^{4}$。
根据指数函数$y = a^{x}(a\gt0,a\neq1)$的性质，当$a^{x}=a^{y}$时，$x = y$，则$-n = 4$，即$n=-4$。
3. 最后，计算$m^{n}$的值：
把$m=-3$，$n = - 4$代入$m^{n}$，得到$m^{n}=(-3)^{-4}$。
根据$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0,p\in N^{*})$，这里$a=-3$，$p = 4$，则$(-3)^{-4}=\frac{1}{(-3)^{4}}$。
又因为$(-3)^{4}=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$，所以$\frac{1}{(-3)^{4}}=\frac{1}{81}$。
综上，$m^{n}$的值为$\frac{1}{81}$。
1. 下列各数中,是负数的是(
A.$ -(-3) $
B.$ (-3)^0 $
C.$ (-3)^{-2} $
D.$ (-3)^3 $
D
)A.$ -(-3) $
B.$ (-3)^0 $
C.$ (-3)^{-2} $
D.$ (-3)^3 $
答案
D
解析
A.$-(-3)=3$
B.$(-3)^0=1$
C.$(-3)^{-2}=\dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac{1}{9}$
D.$(-3)^3=-27$
D
B.$(-3)^0=1$
C.$(-3)^{-2}=\dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac{1}{9}$
D.$(-3)^3=-27$
D
2. 将式子 $ 2^{-1}x^{-3}y^2 $ 化为只含有正整数指数幂的形式：
$\frac{y^{2}}{2x^{3}}$
.答案
$\frac{y^{2}}{2x^{3}}$
3. (1) 计算：$ (-2x^{-2}y^3z)^2 ÷ (-xy^2z^{-2})^{-3} $.
(2) 计算：$ (a + b)^{-4} \cdot (a + b)^2 ÷ (a + b) $.
(2) 计算：$ (a + b)^{-4} \cdot (a + b)^2 ÷ (a + b) $.
答案
(1)原式$=4x^{-4}y^{6}z^{2}÷(-x^{-3}y^{-6}z^{6})=-4x^{-1}y^{12}z^{-4}=- \frac{4y^{12}}{xz^{4}}. (2)(a+b)^{-4}·(a+b)^{2}÷(a+b)=(a+b)^{-4+2-1}=(a+b)^{-3}= \frac{1}{(a+b)^{3}}.$
