12. 如图,在△ABC 中,AB= 8,AC= 6,则边 BC 上的中线 AD 长的取值范围是.

$1\lt AD\lt 7$

延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=ED \\ ∠ADC=∠EDB \\ CD=BD\end{array}\right.$
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴BE=AC=6。
在△ABE中，AB=8，BE=6，
根据三角形三边关系：AB-BE＜AE＜AB+BE，
即$8 - 6 ＜ AE ＜ 8 + 6$，
$2 ＜ AE ＜ 14$。
∵AE=2AD，
∴$1 ＜ AD ＜ 7$。
$1\lt AD\lt 7$

13. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,BC= 2 cm,CD⊥AB,在 AC 上取一点 E,使 EC= BC,过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F.若 EF= 5 cm,则 AE 的长为cm.

3

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD。
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°=∠ACB。
∵EC=BC，
∴△FEC≌△ACB（ASA），
∴AC=EF=5cm。
∵EC=BC=2cm，
∴AE=AC-EC=5-2=3cm。
3

14. 如图,在△ABC 中,AB＜BC,在 BC 上截取 BD= BA,作∠ABC 的平分线与 AD 相交于点 P,连接 PC.若△ABC 的面积为 3,则△BPC 的面积为______.

∵BA=BD，BP平分∠ABC，
∴AP=PD（等腰三角形三线合一），
∴P为AD中点，
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}$S_△ABD，S_△CPD=$\frac{1}{2}$S_△ACD，
∴S_△BPC=S_△BPD+S_△CPD=$\frac{1}{2}$(S_△ABD+S_△ACD)=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵S_△ABC=3，
∴S_△BPC=$\frac{3}{2}$．
$\frac{3}{2}$

15. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 10 cm,BC= 5 cm,一条线段 PQ= AB,P,Q 两点分别在线段 AC 和 AC 的垂线 AX 上移动,则当 AP 的长为cm 时,△ABC 和△APQ 全等.

5或10

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，PQ=AB，P在AC上，Q在AX上（AX⊥AC）。
情况一：当△ABC≌△QPA时，AP=BC=5cm。
情况二：当△ABC≌△PQA时，AP=AC=10cm。
5或10

16. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AD 平分∠CAB,BC= 8 cm,BD= 5 cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.

3

过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$。
因为$BC = 8\,cm$，$BD = 5\,cm$，所以$CD=BC - BD=8 - 5=3\,cm$。
由于$\angle C = 90^\circ$，$AD$平分$\angle CAB$，根据角平分线的性质，$DE=CD$。
因此，点$D$到直线$AB$的距离$DE=3\,cm$。
3

17. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A,B 的坐标分别为(2,0),(2,4),以 A,B,P 为顶点的三角形与△ABO 全等,写出一个符合条件的点 P 的坐标:.(写出一个即可)

(4,0)

首先确定△ABO的顶点坐标：O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)。计算得OA=2，AB=4，OB=2√5，且△ABO为直角三角形，直角顶点为A。
要使△ABP与△ABO全等，AB为公共边（长度4），需考虑对应关系。当AB对应AB，AP对应OA（长度2），BP对应OB（2√5）时，点P可在AB右侧（与O对称）。A(2,0)向右2个单位得P(4,0)，此时AP=2，BP=√[(4-2)²+(0-4)²]=2√5，满足△ABP≌△ABO。

18. 如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB= 90°,△ABC 的角平分线 AD,BE 相交于点 P,过点 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延长线于点 F,交 AC 于点 H,有下列结论:① ∠APB= 135°;② PF= PA;③ AH+BD= AB;④ 连接 CP,则 CP 平分∠ACB.其中正确的是______.(填序号)

①②③④

①在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则∠CAB+∠CBA=90°。AD，BE是角平分线，所以∠PAB+∠PBA=1/2(∠CAB+∠CBA)=45°，故∠APB=180°-45°=135°。
②∠APB=135°，则∠FPB=∠APB-∠APF=135°-90°=45°，∠DPB=180°-∠APB=45°，所以∠FPB=∠DPB。BE平分∠CBA，∠PBF=∠PBD，BP=BP，△PBF≌△PBD(ASA)，得PF=PD。∠F+∠FPC=90°，∠CAD+∠ADC=90°，∠FPC=∠APH=∠ADC(对顶角及三角形内角和)，所以∠F=∠CAD=∠BAD，∠PAF=∠BAD+∠BAF，∠PFA=∠F，又∠APF=∠APB-∠BPF=90°，AP=AP，△APF≌△APD(AAS)，得PF=PA。
③由②知△PBF≌△PBD，得BD=BF。△APF≌△APD，得AH=AF。AF+BF=AB，所以AH+BD=AB。
④P是△ABC角平分线交点，即内心，所以CP平分∠ACB。
正确的是①②③④。