11. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,如果$\sin A= \frac{2}{3}$,$BC= 4$,那么$AB$的长为.

6

在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据正弦函数的定义，$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$，已知$\sin A = \frac{2}{3}$，$BC = 4$，设$AB = x$，则$\frac{4}{x} = \frac{2}{3}$，通过交叉相乘可得$2x = 12$，解得$x = 6$。

12. 社团活动课上,九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如图,他们在$B处测得旗杆顶部A的仰角为60^{\circ}$,$BC= 6\ m$,则旗杆$AC$的高度为$m$.

$6\sqrt{3}$

在直角三角形$ABC$中，已知$\angle B = 60^{\circ}$，$BC = 6m$。
根据三角函数的定义，$\tan B = \frac{AC}{BC}$。
所以，$AC = BC \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 60^{\circ} = 6\sqrt{3}（m）$。

13. 计算:$4\sin^{2}45^{\circ}-2\tan 30^{\circ}\cos 30^{\circ}=$.

$1$

首先，根据特殊角度的三角函数值，知道 $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
将这些值代入原式 $4\sin^{2}45^{\circ}-2\tan 30^{\circ}\cos 30^{\circ}$，得到：
$4 × \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= 4 × \frac{1}{2} - 2 × \frac{1}{2}$
$= 2 - 1$
$= 1$

14. 在正方形网格中,$\triangle ABC$的位置如图所示,则$\sin\angle ABC$的值为.

$\frac{\sqrt{10}}{10}$　　

15. 如图,在矩形$ABCD$中,$E是边AD$上一点,$EF\perp AC于点F$.若$\tan\angle BAC= 2$,$EF= 1$,则$AE$的长为.

$\sqrt{5}$

在矩形$ABCD$中，$\angle B = 90^{\circ}$，
因为$\tan\angle BAC = 2$，
设$BC = 2x$，$AB = x$。
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=\sqrt{5}x$。
因为$AD// BC$，
所以$\angle EAF=\angle ACB$。
因为$EF\perp AC$，
在$Rt\triangle AEF$和$Rt\triangle CAB$中，$\angle AFE=\angle B = 90^{\circ}$，$\angle EAF=\angle ACB$，
所以$Rt\triangle AEF\sim Rt\triangle CAB$。
则$\frac{EF}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
已知$EF = 1$，$AB = x$，$AC=\sqrt{5}x$，$AE$为所求，
代入可得$\frac{1}{x}=\frac{AE}{\sqrt{5}x}$，
解得$AE=\sqrt{5}$。

16. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 4$,$G为\triangle ABC$的重心.如果$GC= 2$,那么$\sin\angle GCB$的值是.

$\frac{2}{3}$

本题可通过构造直角三角形，利用重心的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义来求解$\sin\angle GCB$的值。
1. 延长$CG$交$AB$于点$D$，因为$G$为$\triangle ABC$的重心，根据重心的性质可知，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是$2:1$，所以$CD$为$\triangle ABC$的中线，且$CG = 2GD$，已知$GC = 2$，则$GD = 1$，那么$CD=CG + GD = 3$。
2. 在直角三角形$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$AB$中点，根据直角三角形斜边中线定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$CD=\frac{1}{2}AB$，则$AB = 2CD = 6$。
3. 已知$AC = 4$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
4. 过点$G$作$GE\perp BC$于点$E$，因为$GD$为$\triangle ABC$的中线，$GE// AC$（都垂直于$BC$），根据相似三角形的性质，$\triangle GED\sim\triangle ACD$，且相似比为$GD:CD = 1:3$，所以$\frac{GE}{AC}=\frac{GD}{CD}=\frac{1}{3}$，已知$AC = 4$，则$GE=\frac{4}{3}$。
5. 在$Rt\triangle GEC$中，已知$GC = 2$，$GE=\frac{4}{3}$，根据正弦函数的定义$\sin\alpha=\frac{对边}{斜边}$，可得$\sin\angle GCB=\frac{GE}{GC}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$。

17. 将图①所示的七巧板拼成图②所示的四边形$ABCD$,连接$AC$,则$\tan\angle CAB$的值为.

$\frac12$　　

18. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A= \angle ABC= 90^{\circ}$,$DB平分\angle ADC$.若$AD= 1$,$CD= 3$,则$\sin\angle ABD$的值是______.

√6/6

以A为原点，AD为y轴，AB为x轴建立坐标系，设A(0,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(b,c)。
∵∠A=∠ABC=90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB，C(b,c)。
∵CD=3，∴√[b²+(c-1)²]=3，即b²+(c-1)²=9...(1)。
∵DB平分∠ADC，向量DA=(0,-1)，DB=(b,-1)，DC=(b,c-1)，由角平分线向量夹角余弦值相等得：
(DA·DB)/(|DA||DB|)=(DC·DB)/(|DC||DB|)，即1/√(b²+1)=[b²-(c-1)]/(3√(b²+1))，化简得b²-(c-1)=3...(2)。
联立(1)(2)，解得c=3，b²=5，∴DB=√(b²+1)=√6。
在Rt△ABD中，sin∠ABD=AD/BD=1/√6=√6/6。

19. (本小题8分)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AB= 2$.请你添加一个条件,设计一道解直角三角形的题目(不用计算器计算),并作出图形,解这个直角三角形.

答题卡：
条件：$\angle A = 30^{\circ}$。
图形：
在直角三角形$ABC$中，直角$C$在下方，斜边$AB$水平放置，$AB = 2$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$\angle B = 60^{\circ}$，$BC$为较短的直角边，$AC$为较长的直角边。
解直角三角形：
$\angle B=90^{\circ}-\angle A = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
$BC = AB×\sin A=2×\sin30^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1$。
$AC = AB×\cos A = 2×\cos30^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。