4. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为 $(1,1)$,$(3,1)$,$(3,3)$,$(1,3)$。若抛物线 $y= ax^{2}$ 与正方形有公共点,则实数 $a$ 的取值范围是()

A.$\frac{1}{9}\leqslant a\leqslant 3$
B.$\frac{1}{9}\leqslant a\leqslant 1$
C.$\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant 3$
D.$\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant 1$

A

正方形的x范围为[1,3]，y范围为[1,3]。抛物线y=ax²，a＜0时在第一象限y为负，无交点，故a＞0。抛物线在x∈[1,3]上单调递增，y范围为[a,9a]。要与正方形有公共点，需[a,9a]与[1,3]有交集。当a最小时，9a=1（x=3时y=1），得a=1/9；当a最大时，a=3（x=1时y=3），得a=3。故1/9≤a≤3。

5. 已知抛物线 $y= ax^{2}(a＜0)$ 经过点 $A(-1,y_{1})$,$B(2,y_{2})$,$C(3,y_{3})$,则()
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
C.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
D.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$

A

因为抛物线$y=ax^2$（$a＜0$），所以抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。点$A(-1,y_1)$关于$y$轴的对称点为$(1,y_1)$。比较各点到对称轴的距离，$|1|=1$，$|2|=2$，$|3|=3$，距离越近，函数值越大。所以$y_1＞y_2＞y_3$。

6. 已知 $A(m,2)$,$B(n,2)$ 是二次函数 $y= ax^{2}$ 的图象上的两点,当 $x= m+n$ 时,$y$ 的值是。

0

因为点$A(m,2)$，$B(n,2)$在二次函数$y = ax^2$的图象上，所以$2 = am^2$，$2 = an^2$，即$am^2 = an^2$。因为$a \neq 0$，所以$m^2 = n^2$，则$m = n$或$m = -n$。由于$A$、$B$是不同的两点（若$m = n$则两点重合），所以$m = -n$，即$m + n = 0$。当$x = m + n = 0$时，$y = a×0^2 = 0$。

7. 已知二次函数 $y= ax^{2}$,当 $x= 2$ 时,$y= 1$。
(1)填空：$a=$；
(2)当 $-2\leqslant x\leqslant 4$ 时,直接写出 $y$ 的最小值与最大值。

(1)
已知二次函数$y = ax^{2}$，当$x = 2$时，$y = 1$，将$x = 2$，$y = 1$代入$y = ax^{2}$中，可得$1=a×2^{2}$，即$4a = 1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
(2)
由(1)知二次函数为$y=\frac{1}{4}x^{2}$，其图象开口向上，对称轴为$y$轴（$x = 0$）。
当$-2\leqslant x\leqslant4$时，
当$x = 0$时，$y$取得最小值，$y_{min}=0$；
当$x = 4$时，$y=\frac{1}{4}×4^{2}=4$，即$y$取得最大值$y_{max}=4$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{1}{4}$；(2)$y$的最小值是$0$，最大值是$4$。