4. 如图,□ABCD的周长为8 cm,∠B= 30°.设AB= x cm,□ABCD的面积为$y cm^2,$则y与x的函数解析式为；当x=时,y的值最大,最大值为.

$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$；$2$；$2$

由题意，平行四边形$ABCD$的周长为$8cm$，设$AB = xcm$，则$BC = \frac{8}{2} - x = (4 - x)cm$。
过$A$作$AH\bot BC$于$H$点，在$Rt\triangle ABH$中，$\angle B = 30^{\circ}$，根据正弦函数定义，$AH = AB×\sin B=\frac{1}{2}x$。
根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，这里底为$BC=(4 - x)cm$，高为$AH = \frac{1}{2}xcm$，所以$y=(4 - x)×\frac{1}{2}x$，即$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$。
对于二次函数$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$，其中$a =-\frac{1}{2}$，$b = 2$，$c = 0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x =-\frac{2}{2×(-\frac{1}{2})}=2$。
把$x = 2$代入$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$，得$y =-\frac{1}{2}×2^{2}+2×2 = 2$。

5. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 8 cm,BC= 6 cm.已知点P从点A处出发,沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动；点Q从点B处出发,沿边BC向点C以1 cm/s的速度移动.若点P,Q分别从点A,B同时出发,当△PBQ的面积最大时,运动时间为s.

2

设运动时间为$ t $秒，$ 0 \leq t \leq 4 $。
由题意得：$ AP = 2t \, cm $，则$ PB = AB - AP = 8 - 2t \, cm $；$ BQ = t \, cm $。
$\triangle PBQ$为直角三角形（$\angle B = 90°$），其面积$ S = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2}(8 - 2t)t = -t^2 + 4t $。
二次函数$ S = -t^2 + 4t $中，$ a = -1 ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴为$ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 × (-1)} = 2 $。
$ t = 2 $在$ 0 \leq t \leq 4 $范围内，此时$ S $最大。

6. 学校要围一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成,如图,已知墙长42 m,篱笆长80 m.设垂直于墙的边的长为x m,平行于墙的边BC的长为y m,围成的矩形花圃的面积为$S m^2.$

(1) 求y与x,S与x的关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2) 围成的矩形花圃的面积能否为$750 m^2？$若能,求出x的值.
(3) 围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.

(1)
根据题意，$2x + y = 80$，则$y = 80 - 2x$。
因为墙长$42m$，所以$0\lt y\leqslant42$，即$0\lt80 - 2x\leqslant42$，
解$80 - 2x\gt0$得$x\lt40$，解$80 - 2x\leqslant42$得$x\geqslant19$，
所以自变量$x$的取值范围是$19\leqslant x\lt40$。
$S = xy=x(80 - 2x)= - 2x^{2}+80x$，$19\leqslant x\lt40$。
(2)
当$S = 750$时，$-2x^{2}+80x = 750$，
即$2x^{2}-80x + 750 = 0$，$x^{2}-40x + 375 = 0$，
$(x - 15)(x - 25)=0$，
解得$x_{1}=15$（舍去，因为$15\lt19$），$x_{2}=25$。
所以能，$x$的值为$25$。
(3)
$S = - 2x^{2}+80x=-2(x - 20)^{2}+800$，
因为$a = - 2\lt0$，对称轴为$x = 20$，
又因为$19\leqslant x\lt40$，
当$x = 20$时，$S$有最大值，$S_{最大值}=800$。
所以存在，最大值为$800m^{2}$，此时$x$的值为$20$。