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1. 如图,在周长为 10 m 的长方形窗户上钉一块宽为1 m 的长方形遮阳布,使透光部分正好是一个正方形,则钉好后透光面积为( )
A.$4\ m^2$
B.$9\ m^2$
C.$16\ m^2$
D.$25\ m^2$
A.$4\ m^2$
B.$9\ m^2$
C.$16\ m^2$
D.$25\ m^2$
答案
A
解析
设正方形的边长为$x\ m$，则长方形窗户的长为$x\ m$，宽为$(x - 1)\ m$。
根据长方形周长公式可得：$2[x + (x - 1)] = 10$
解得：$x = 3$
透光面积为：$x^2 = 3^2 = 9\ m^2$
1
根据长方形周长公式可得：$2[x + (x - 1)] = 10$
解得：$x = 3$
透光面积为：$x^2 = 3^2 = 9\ m^2$
1
2. 用 4 个一样的长方形和一个小的正方形(如图)拼成一个大的正方形。大正方形的面积是 100 平方米,小正方形的面积是 16 平方米,则长方形的短边长为( )
A.1米
B.2米
C.3米
D.4米
A.1米
B.2米
C.3米
D.4米
答案
C
解析
设长方形的长为$a$米，短边长为$b$米。
大正方形面积为$100$平方米，边长为$\sqrt{100}=10$米，故$a + b = 10$。
小正方形面积为$16$平方米，边长为$\sqrt{16}=4$米，故$a - b = 4$。
联立方程：
$\begin{cases}a + b = 10 \\a - b = 4\end{cases}$
解得$b = 3$。
C
大正方形面积为$100$平方米，边长为$\sqrt{100}=10$米，故$a + b = 10$。
小正方形面积为$16$平方米，边长为$\sqrt{16}=4$米，故$a - b = 4$。
联立方程：
$\begin{cases}a + b = 10 \\a - b = 4\end{cases}$
解得$b = 3$。
C
3. 一个容积为 500 mL 的瓶子,正放时水的高度为14 cm,把瓶盖拧紧后倒置,无水部分的高度为 6 cm,这个瓶子里的水有( )
A.280 mL
B.300 mL
C.320 mL
D.350 mL
A.280 mL
B.300 mL
C.320 mL
D.350 mL
答案
D
解析
设瓶子底面积为$S$。
正放时水的体积：$14S$
倒置时无水部分体积：$6S$
瓶子容积：$14S + 6S=20S=500\,mL$
$S = 25\,cm^2$
水的体积：$14×25 = 350\,mL$
D
正放时水的体积：$14S$
倒置时无水部分体积：$6S$
瓶子容积：$14S + 6S=20S=500\,mL$
$S = 25\,cm^2$
水的体积：$14×25 = 350\,mL$
D
4. 一个标志性建筑的底面呈长方形,长是宽的 2 倍,在其四周铺上花岗岩,形成一个宽为 3 米的长方形框(如图所示)。已知铺这个框恰好用了 504 块边长为 0.5 米的正方形花岗岩(接缝处忽略不计)。若设此标志性建筑底面长方形的宽为 $x$ 米,给出下列方程:
①$4× 3(2x + 3)= 0.5× 0.5× 504$;
②$2× 3(2x + 6)+2× 3x= 0.5× 0.5× 504$;
③$(x + 6)(2x + 6)-2x\cdot x= 0.5× 0.5× 504$,
其中正确的是( )
A.②
B.③
C.②③
D.①②③
①$4× 3(2x + 3)= 0.5× 0.5× 504$;
②$2× 3(2x + 6)+2× 3x= 0.5× 0.5× 504$;
③$(x + 6)(2x + 6)-2x\cdot x= 0.5× 0.5× 504$,
其中正确的是( )
A.②
B.③
C.②③
D.①②③
答案
C
解析
标志性建筑底面宽为$x$米，则长为$2x$米。花岗岩框面积为$0.5×0.5×504 = 126$平方米。
对于②：框可看作两个长为$2x + 6$、宽为3的长方形和两个长为$x$、宽为3的长方形，面积和为$2×3(2x + 6)+2×3x$，方程成立。
对于③：大长方形长为$2x + 6$、宽为$x + 6$，面积为$(x + 6)(2x + 6)$，减去建筑底面面积$2x\cdot x$得框面积，方程成立。
①中$4×3(2x + 3)$计算错误，不符合框面积构成。
正确的是②③。
C
对于②：框可看作两个长为$2x + 6$、宽为3的长方形和两个长为$x$、宽为3的长方形，面积和为$2×3(2x + 6)+2×3x$，方程成立。
对于③：大长方形长为$2x + 6$、宽为$x + 6$，面积为$(x + 6)(2x + 6)$，减去建筑底面面积$2x\cdot x$得框面积，方程成立。
①中$4×3(2x + 3)$计算错误，不符合框面积构成。
正确的是②③。
C
5. 如图,一个正方形先剪去宽为 4 的长方形,再剪去宽为 5 的长方形,且剪下来的两个长方形面积相等,则原正方形的面积为 ______ 。
答案
400
解析
设原正方形的边长为$x$。
第一个长方形的长为$x$，宽为$4$，面积为$4x$。
第二个长方形的长为$x - 4$，宽为$5$，面积为$5(x - 4)$。
因为两个长方形面积相等，所以$4x = 5(x - 4)$。
解得$4x = 5x - 20$，$x = 20$。
原正方形的面积为$20^2 = 400$。
400
第一个长方形的长为$x$，宽为$4$，面积为$4x$。
第二个长方形的长为$x - 4$，宽为$5$，面积为$5(x - 4)$。
因为两个长方形面积相等，所以$4x = 5(x - 4)$。
解得$4x = 5x - 20$，$x = 20$。
原正方形的面积为$20^2 = 400$。
400
6. 如图,将一个正方形纸片先剪去一个宽为 6 cm 的长条①后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 8 cm 的长条②,若长条①和②面积恰好相等,则这个正方形纸片的面积是 ______ 。
答案
576 cm²
解析
设正方形纸片的边长为$x\ cm$。
长条①的面积为$6x\ cm^2$。
剪去长条①后，剩下长方形的长为$x\ cm$，宽为$(x - 6)\ cm$，则长条②的面积为$8(x - 6)\ cm^2$。
由长条①和②面积相等，可得方程：$6x = 8(x - 6)$
解方程：
$\begin{aligned}6x&=8x - 48\\8x - 6x&=48\\2x&=48\\x&=24\end{aligned}$
正方形纸片的面积为$x^2 = 24^2 = 576\ cm^2$。
576 cm²
长条①的面积为$6x\ cm^2$。
剪去长条①后，剩下长方形的长为$x\ cm$，宽为$(x - 6)\ cm$，则长条②的面积为$8(x - 6)\ cm^2$。
由长条①和②面积相等，可得方程：$6x = 8(x - 6)$
解方程：
$\begin{aligned}6x&=8x - 48\\8x - 6x&=48\\2x&=48\\x&=24\end{aligned}$
正方形纸片的面积为$x^2 = 24^2 = 576\ cm^2$。
576 cm²
