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5. 用分数表示除法算式的商,并比较每组中两个商的大小。
$\begin{cases}3 ÷ 7 = \frac{(
$\frac{(
$\begin{cases}3 ÷ 7 = \frac{(
3
)}{(7
)} \\ 4 ÷ 9 = \frac{(4
)}{(9
)}\end{cases} $ $\begin{cases}5 ÷ 6 = \frac{(5
)}{(6
)} \\ 7 ÷ 8 = \frac{(7
)}{(8
)}\end{cases} $ $\begin{cases}13 ÷ 4 = \frac{(13
)}{(4
)} \\ 19 ÷ 6 = \frac{(19
)}{(6
)}\end{cases} $$\frac{(
3
)}{(7
)} ◯ \frac{(4
)}{(9
)}$ $\frac{(5
)}{(6
)} ◯ \frac{(7
)}{(8
)}$ $\frac{(13
)}{(4
)} ◯ \frac{(19
)}{(6
)}$$\frac{3}{7} ＜ \frac{4}{9}$；$\frac{5}{6} ＜ \frac{7}{8}$；$\frac{13}{4} ＞\frac{19}{6}$
答案
$\begin{cases}3 ÷ 7 = \frac{(3)}{(7)} \\4 ÷ 9 = \frac{(4)}{(9)} \end{cases}$ $\frac{3}{7} ◯ \frac{4}{9}$中，$\frac{3}{7}=\frac{27}{63}$，$\frac{4}{9}=\frac{28}{63}$，所以$\frac{3}{7} ＜ \frac{4}{9}$；
$\begin{cases}5 ÷ 6 = \frac{(5)}{(6)} \\7 ÷ 8 = \frac{(7)}{(8)} \end{cases}$ $\frac{5}{6}◯ \frac{7}{8}$中，$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$，$\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$，所以$\frac{5}{6} ＜ \frac{7}{8}$；
$\begin{cases}13 ÷ 4 = \frac{(13)}{(4)} \\19 ÷ 6 = \frac{(19)}{(6)} \end{cases}$ $\frac{13}{4} ◯ \frac{19}{6}$中，$\frac{13}{4}=\frac{39}{12}$，$\frac{19}{6}=\frac{38}{12}$，所以$\frac{13}{4} ＞\frac{19}{6}$。
答案为：
$\begin{cases}3 ÷ 7 = \frac{(3)}{(7)} \\4 ÷ 9 = \frac{(4)}{(9)} \end{cases}$ $\frac{3}{7} ＜ \frac{4}{9}$；
$\begin{cases}5 ÷ 6 = \frac{(5)}{(6)} \\7 ÷ 8 = \frac{(7)}{(8)} \end{cases}$ $\frac{5}{6} ＜ \frac{7}{8}$；
$\begin{cases}13 ÷ 4 = \frac{(13)}{(4)} \\19 ÷ 6 = \frac{(19)}{(6)} \end{cases}$ $\frac{13}{4} ＞\frac{19}{6}$。
$\begin{cases}5 ÷ 6 = \frac{(5)}{(6)} \\7 ÷ 8 = \frac{(7)}{(8)} \end{cases}$ $\frac{5}{6}◯ \frac{7}{8}$中，$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$，$\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$，所以$\frac{5}{6} ＜ \frac{7}{8}$；
$\begin{cases}13 ÷ 4 = \frac{(13)}{(4)} \\19 ÷ 6 = \frac{(19)}{(6)} \end{cases}$ $\frac{13}{4} ◯ \frac{19}{6}$中，$\frac{13}{4}=\frac{39}{12}$，$\frac{19}{6}=\frac{38}{12}$，所以$\frac{13}{4} ＞\frac{19}{6}$。
答案为：
$\begin{cases}3 ÷ 7 = \frac{(3)}{(7)} \\4 ÷ 9 = \frac{(4)}{(9)} \end{cases}$ $\frac{3}{7} ＜ \frac{4}{9}$；
$\begin{cases}5 ÷ 6 = \frac{(5)}{(6)} \\7 ÷ 8 = \frac{(7)}{(8)} \end{cases}$ $\frac{5}{6} ＜ \frac{7}{8}$；
$\begin{cases}13 ÷ 4 = \frac{(13)}{(4)} \\19 ÷ 6 = \frac{(19)}{(6)} \end{cases}$ $\frac{13}{4} ＞\frac{19}{6}$。
6. 张师傅、李师傅、王师傅分别要完成同样多的一批零件,工作了一天后,张师傅完成了$\frac{3}{5}$,李师傅完成了$\frac{4}{7}$,王师傅完成了$\frac{5}{8}$,谁做得快些？
答案
为比较张师傅、李师傅、王师傅谁做得快些，需比较$\frac{3}{5}$、$\frac{4}{7}$、$\frac{5}{8}$的大小。
先对$\frac{3}{5}$和$\frac{4}{7}$比较，$5$和$7$的最小公倍数是$35$，$\frac{3}{5}=\frac{3×7}{5×7}=\frac{21}{35}$，$\frac{4}{7}=\frac{4×5}{7×5}=\frac{20}{35}$，因为$\frac{21}{35}＞\frac{20}{35}$，所以$\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$。
再比较$\frac{3}{5}$和$\frac{5}{8}$，$5$和$8$的最小公倍数是$40$，$\frac{3}{5}=\frac{3×8}{5×8}=\frac{24}{40}$，$\frac{5}{8}=\frac{5×5}{8×5}=\frac{25}{40}$，因为$\frac{24}{40}＜\frac{25}{40}$，所以$\frac{3}{5}＜\frac{5}{8}$不成立（即$\frac{5}{8}＞\frac{3}{5}$），结合前面$\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$，可得$\frac{5}{8}＞\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$。
因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$，所以王师傅做得快些。
先对$\frac{3}{5}$和$\frac{4}{7}$比较，$5$和$7$的最小公倍数是$35$，$\frac{3}{5}=\frac{3×7}{5×7}=\frac{21}{35}$，$\frac{4}{7}=\frac{4×5}{7×5}=\frac{20}{35}$，因为$\frac{21}{35}＞\frac{20}{35}$，所以$\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$。
再比较$\frac{3}{5}$和$\frac{5}{8}$，$5$和$8$的最小公倍数是$40$，$\frac{3}{5}=\frac{3×8}{5×8}=\frac{24}{40}$，$\frac{5}{8}=\frac{5×5}{8×5}=\frac{25}{40}$，因为$\frac{24}{40}＜\frac{25}{40}$，所以$\frac{3}{5}＜\frac{5}{8}$不成立（即$\frac{5}{8}＞\frac{3}{5}$），结合前面$\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$，可得$\frac{5}{8}＞\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$。
因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{5}＞\frac{4}{7}$，所以王师傅做得快些。
7. 斗潭站是10路和15路公交车的起点站,15路车每9分发一辆车,10路车每6分发一辆车。早上7时这两路车同时发车后,下次同时发车是在什么时候？
答案
答题区：
求$9$和$6$的最小公因数（这里实际是求最小公倍数，题目背景是找下次同时发车时间，需用最小公倍数法）：
$9$的倍数：$9,18,27,36,…$
$6$的倍数：$6,12,18,24,…$
$9$和$6$的最小公倍数是$18$。
$7$时$+ 18$分$ = 7$时$18$分。
答：下次同时发车是在$7$时$18$分。
求$9$和$6$的最小公因数（这里实际是求最小公倍数，题目背景是找下次同时发车时间，需用最小公倍数法）：
$9$的倍数：$9,18,27,36,…$
$6$的倍数：$6,12,18,24,…$
$9$和$6$的最小公倍数是$18$。
$7$时$+ 18$分$ = 7$时$18$分。
答：下次同时发车是在$7$时$18$分。
8. 淘气要把两根长度分别是21cm和15cm的小棒截成同样长的小棒且没有剩余(每根小棒的长度是整厘米数),每根小棒最长是多少厘米？一共可以截成多少段这样的小棒？
答案
第一步：求21和15的最大公因数
21的因数：1，3，7，21
15的因数：1，3，5，15
公因数：1，3
最大公因数：3
第二步：计算每根小棒最长长度
每根小棒最长是3厘米
第三步：计算总段数
21cm小棒可截成：21÷3=7（段）
15cm小棒可截成：15÷3=5（段）
总段数：7+5=12（段）
结论
每根小棒最长是3厘米，一共可以截成12段。
21的因数：1，3，7，21
15的因数：1，3，5，15
公因数：1，3
最大公因数：3
第二步：计算每根小棒最长长度
每根小棒最长是3厘米
第三步：计算总段数
21cm小棒可截成：21÷3=7（段）
15cm小棒可截成：15÷3=5（段）
总段数：7+5=12（段）
结论
每根小棒最长是3厘米，一共可以截成12段。
9. 右图中阴影部分的面积是最大正方形面积的$\frac{(
1
)}{(4
)}$。答案
假设大正方形的边长为$a$，中间中等正方形的边长为$b$，阴影部分小正方形的边长为$c$。
根据图形可知，大正方形的边长$a$等于中间正方形的对角线长度，即$a = \sqrt{2}b$，所以$b=\frac{a}{\sqrt{2}}$；
中间正方形的边长$b$等于阴影部分小正方形的对角线长度，即$b = \sqrt{2}c$，所以$c = \frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$。
大正方形面积$S_{大}=a^{2}$。
阴影部分小正方形面积$S_{阴}=c^{2}=(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}÷1=\frac{1}{4}×\frac{a^{2}}{1}=\frac{1}{2}×\frac{a^{2}}{2}$（从面积占比角度，通过几何关系分析，阴影部分面积是大正方形面积的$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$）。
所以阴影部分的面积是最大正方形面积的$\frac{1}{4}÷1=\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$可理解为将大正方形平均分成$4$份，阴影部分占$1$份），即$\frac{1}{4}$中的分子为$1$，分母为$4$。
故答案依次为：$1$；$4$。
根据图形可知，大正方形的边长$a$等于中间正方形的对角线长度，即$a = \sqrt{2}b$，所以$b=\frac{a}{\sqrt{2}}$；
中间正方形的边长$b$等于阴影部分小正方形的对角线长度，即$b = \sqrt{2}c$，所以$c = \frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$。
大正方形面积$S_{大}=a^{2}$。
阴影部分小正方形面积$S_{阴}=c^{2}=(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}÷1=\frac{1}{4}×\frac{a^{2}}{1}=\frac{1}{2}×\frac{a^{2}}{2}$（从面积占比角度，通过几何关系分析，阴影部分面积是大正方形面积的$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$）。
所以阴影部分的面积是最大正方形面积的$\frac{1}{4}÷1=\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$可理解为将大正方形平均分成$4$份，阴影部分占$1$份），即$\frac{1}{4}$中的分子为$1$，分母为$4$。
故答案依次为：$1$；$4$。
10. 你能找到比$\frac{1}{4}$大,又比$\frac{1}{3}$小的分数吗？你是怎么找到的？请写出思考过程。
答案
能找到。
步骤1：将$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{3}$通分，找公分母。4和3的最小公倍数是12，$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$，分子3和4相邻，无中间分数。
步骤2：扩大公分母，取24（12×2）。$\frac{1}{4}=\frac{6}{24}$，$\frac{1}{3}=\frac{8}{24}$。
步骤3：6和8之间有整数7，故$\frac{7}{24}$是符合条件的分数。
结论：$\frac{7}{24}$（答案不唯一）。
步骤1：将$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{3}$通分，找公分母。4和3的最小公倍数是12，$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$，分子3和4相邻，无中间分数。
步骤2：扩大公分母，取24（12×2）。$\frac{1}{4}=\frac{6}{24}$，$\frac{1}{3}=\frac{8}{24}$。
步骤3：6和8之间有整数7，故$\frac{7}{24}$是符合条件的分数。
结论：$\frac{7}{24}$（答案不唯一）。
