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已知把二次三项式$x^{2}-4x + m分解因式后有一个因式是x + 3$,求其另一个因式及$m$的值.
答案
设另一个因式为$x + a$，则$x^2 - 4x + m=(x + 3)(x + a)$。
展开右边得：$x^2 + (3 + a)x + 3a$。
比较系数：
一次项系数：$3 + a=-4$，解得$a=-7$。
常数项：$m=3a=3×(-7)=-21$。
故另一个因式为$x - 7$，$m=-21$。
答案：另一个因式是$x - 7$，$m$的值为$-21$。
展开右边得：$x^2 + (3 + a)x + 3a$。
比较系数：
一次项系数：$3 + a=-4$，解得$a=-7$。
常数项：$m=3a=3×(-7)=-21$。
故另一个因式为$x - 7$，$m=-21$。
答案：另一个因式是$x - 7$，$m$的值为$-21$。
1. 分别写出下列各多项式的公因式：
(1)$3x^{3}y^{4}+12x^{2}y$：
(2)$ax^{3}y + axy^{3}-4ax^{2}y^{2}$：
(3)$m(x - y)+n(y - x)$：
(1)$3x^{3}y^{4}+12x^{2}y$：
$3x^{2}y$
；(2)$ax^{3}y + axy^{3}-4ax^{2}y^{2}$：
$axy$
；(3)$m(x - y)+n(y - x)$：
$(x - y)$
.答案
(1) $3x^{2}y$
(2)$axy$
(3)$(x - y)$
(2)$axy$
(3)$(x - y)$
解析
(1) 对于多项式 $3x^{3}y^{4} + 12x^{2}y$，
首先观察各项的系数，发现可以提取公因数$3$，
接着观察各项中$x$的指数，发现最小指数为$2$，因此可以提取$x^{2}$，
再观察各项中$y$的指数，发现最小指数为$1$，因此可以提取$y$，
综合以上观察，可以提取的公因式为 $3x^{2}y$。
(2) 对于多项式 $ax^{3}y + axy^{3} - 4ax^{2}y^{2}$，
首先观察各项的系数和字母部分，发现所有项都含有$a$，
接着观察各项中$x$的指数，发现最小指数为$1$，
再观察各项中$y$的指数，发现最小指数为$1$，
综合以上观察，可以提取的公因式为 $axy$。
(3) 对于多项式 $m(x - y) + n(y - x)$，
首先注意到$y - x = -(x - y)$，
因此，可以将多项式重写为 $m(x - y) - n(x - y)$，
接着观察，发现所有项都含有$(x - y)$，
因此，可以提取的公因式为 $(x - y)$。
首先观察各项的系数，发现可以提取公因数$3$，
接着观察各项中$x$的指数，发现最小指数为$2$，因此可以提取$x^{2}$，
再观察各项中$y$的指数，发现最小指数为$1$，因此可以提取$y$，
综合以上观察，可以提取的公因式为 $3x^{2}y$。
(2) 对于多项式 $ax^{3}y + axy^{3} - 4ax^{2}y^{2}$，
首先观察各项的系数和字母部分，发现所有项都含有$a$，
接着观察各项中$x$的指数，发现最小指数为$1$，
再观察各项中$y$的指数，发现最小指数为$1$，
综合以上观察，可以提取的公因式为 $axy$。
(3) 对于多项式 $m(x - y) + n(y - x)$，
首先注意到$y - x = -(x - y)$，
因此，可以将多项式重写为 $m(x - y) - n(x - y)$，
接着观察，发现所有项都含有$(x - y)$，
因此，可以提取的公因式为 $(x - y)$。
2. 分解因式：
(1)$x^{2}-3x = $
(2)$x^{2}-2x+(x - 2)= $
(1)$x^{2}-3x = $
$x(x - 3)$
；(2)$x^{2}-2x+(x - 2)= $
$(x - 2)(x + 1)$
.答案
(1) $x(x - 3)$
(2) $(x - 2)(x + 1)$
(2) $(x - 2)(x + 1)$
解析
(1) 对于 $x^{2} - 3x$，观察两项，发现都含有 $x$，因此可以提取公因式 $x$：
$x^{2} - 3x = x × x - 3 × x = x(x - 3)$
(2) 对于 $x^{2} - 2x + (x - 2)$，先对前两项提取公因式 $x$，然后再观察是否可以进行进一步的因式分解。合并同类项后得到：
$x^{2} - 2x + x - 2 = x^{2} - x - 2$
接着，对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解，发现可以提取公因式（x-2）的部分（通过十字相乘法或者直接观察）：
$x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$
也可以看成先整理括号内：$x^{2} - 2x + x - 2=x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1)$
$x^{2} - 3x = x × x - 3 × x = x(x - 3)$
(2) 对于 $x^{2} - 2x + (x - 2)$，先对前两项提取公因式 $x$，然后再观察是否可以进行进一步的因式分解。合并同类项后得到：
$x^{2} - 2x + x - 2 = x^{2} - x - 2$
接着，对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解，发现可以提取公因式（x-2）的部分（通过十字相乘法或者直接观察）：
$x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$
也可以看成先整理括号内：$x^{2} - 2x + x - 2=x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1)$
3. 在多项式$-12ab^{3}c - 8a^{3}b$中应提取的公因式是
$-4ab$
.答案
$-4ab$
解析
首先，观察多项式$-12ab^{3}c - 8a^{3}b$的两项，找出它们的系数的最大公约数，以及相同字母的最小幂次。
系数的最大公约数为$4$（因为$12$和$8$的最大公约数是$4$，且存在负号时可提取$-4$，通常提取前导负号外的最大公约数，此处题目要求提取公因式，可提取$-4$相关形式，根据常规教学提取$4$或$-4$均算正确公因式形式的一部分，本题按提取正系数外形式分析）的适当符号形式，考虑到第一项为负，通常可以提取$-4$使得括号内形式更简洁，但公因式的核心在于因子部分，$4$或$-4$配合后续因子均表示提取了公因式，这里按核心因子分析。
对于字母部分，$a$在两项中的最小幂次为$1$，$b$的最小幂次为$1$，而$c$只出现在第一项中，所以不应包含在公因式中。
综合以上分析，应提取的公因式是$-4ab$（因为两项都含有$a$，$b$，且系数部分可以提取$-4$使得剩余部分更简洁）。
系数的最大公约数为$4$（因为$12$和$8$的最大公约数是$4$，且存在负号时可提取$-4$，通常提取前导负号外的最大公约数，此处题目要求提取公因式，可提取$-4$相关形式，根据常规教学提取$4$或$-4$均算正确公因式形式的一部分，本题按提取正系数外形式分析）的适当符号形式，考虑到第一项为负，通常可以提取$-4$使得括号内形式更简洁，但公因式的核心在于因子部分，$4$或$-4$配合后续因子均表示提取了公因式，这里按核心因子分析。
对于字母部分，$a$在两项中的最小幂次为$1$，$b$的最小幂次为$1$，而$c$只出现在第一项中，所以不应包含在公因式中。
综合以上分析，应提取的公因式是$-4ab$（因为两项都含有$a$，$b$，且系数部分可以提取$-4$使得剩余部分更简洁）。
4. 若多项式$x^{2}-ax - 1可分解为(x - 2)(x + b)$,则$a - b = $
1
.答案
1
解析
根据题意，多项式$x^{2} - ax - 1$可分解为$(x - 2)(x + b)$，
展开$(x - 2)(x + b)$得到：
$x^{2} + (b - 2)x - 2b$
由于两个多项式相等，它们的对应项系数必须相等。
因此，有：
$b - 2 = -a$
$-2b = -1$
从第二个方程，得到：
$b = \frac{1}{2}$
将$b = \frac{1}{2}$代入第一个方程，得到：
$\frac{1}{2} - 2 = -a$
$a = \frac{3}{2}$
计算$a - b$：
$a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$
展开$(x - 2)(x + b)$得到：
$x^{2} + (b - 2)x - 2b$
由于两个多项式相等，它们的对应项系数必须相等。
因此，有：
$b - 2 = -a$
$-2b = -1$
从第二个方程，得到：
$b = \frac{1}{2}$
将$b = \frac{1}{2}$代入第一个方程，得到：
$\frac{1}{2} - 2 = -a$
$a = \frac{3}{2}$
计算$a - b$：
$a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$
5. 下列从左到右的变形属于因式分解的是(
A.$(x + 1)(x - 1)= x^{2}-1$
B.$m^{2}-2m - 3 = m(m - 2)-3$
C.$x^{2}-5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
D.$(a - b)(x - y)= (b - a)(y - x)$
C
)A.$(x + 1)(x - 1)= x^{2}-1$
B.$m^{2}-2m - 3 = m(m - 2)-3$
C.$x^{2}-5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
D.$(a - b)(x - y)= (b - a)(y - x)$
答案
C
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A，是整式的乘法，不是因式分解；
选项B，$m(m - 2)-3$ 不是几个整式的积的形式，不是因式分解；
选项C，$x^{2}-5x + 6=(x - 2)(x - 3)$，是把多项式化为两个整式的积的形式，是因式分解；
选项D，只是改变了式子中因式的符号，不是因式分解。
选项A，是整式的乘法，不是因式分解；
选项B，$m(m - 2)-3$ 不是几个整式的积的形式，不是因式分解；
选项C，$x^{2}-5x + 6=(x - 2)(x - 3)$，是把多项式化为两个整式的积的形式，是因式分解；
选项D，只是改变了式子中因式的符号，不是因式分解。
6. 利用因式分解简便计算$57×99 + 44×99 - 99$,下列各计算正确的是(
A.$99×(57 + 44)= 99×101 = 9999$
B.$99×(57 + 44 - 1)= 99×100 = 9900$
C.$99×(57 + 44 + 1)= 99×102 = 10098$
D.$99×(57 + 44 - 99)= 99×2 = 198$
B
)A.$99×(57 + 44)= 99×101 = 9999$
B.$99×(57 + 44 - 1)= 99×100 = 9900$
C.$99×(57 + 44 + 1)= 99×102 = 10098$
D.$99×(57 + 44 - 99)= 99×2 = 198$
答案
B
解析
原式=99×57 + 99×44 - 99×1=99×(57 + 44 - 1)=99×100=9900
7. 已知$x^{2}-2x - 3 = 0$,则$2x^{2}-4x$的值为(
A.$-6$
B.$6$
C.$-2或6$
D.$-2或30$
B
)A.$-6$
B.$6$
C.$-2或6$
D.$-2或30$
答案
B
解析
由$x^{2}-2x - 3 = 0$得$x^{2}-2x=3$，则$2x^{2}-4x=2(x^{2}-2x)=2×3=6$
8. 整式$a^{2}(a^{2}-1)-a^{2}+1$的值(
A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.结果的符号不能确定
A
)A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.结果的符号不能确定
答案
A
解析
原式$a^{2}(a^{2} - 1) - a^{2} + 1$
$=a^{2}(a^{2} - 1)-(a^{2} - 1)$
对式子提取公因式$(a^{2}-1)$可得：
$=(a^{2} - 1)(a^{2}-1)$
$=(a^{2}-1)^{2}$
$=(a - 1)^{2}(a + 1)^{2}$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(a - 1)^{2}\geqslant0$，$(a + 1)^{2}\geqslant0$，那么$(a - 1)^{2}(a + 1)^{2}\geqslant0$，即原式的值不是负数。
$=a^{2}(a^{2} - 1)-(a^{2} - 1)$
对式子提取公因式$(a^{2}-1)$可得：
$=(a^{2} - 1)(a^{2}-1)$
$=(a^{2}-1)^{2}$
$=(a - 1)^{2}(a + 1)^{2}$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(a - 1)^{2}\geqslant0$，$(a + 1)^{2}\geqslant0$，那么$(a - 1)^{2}(a + 1)^{2}\geqslant0$，即原式的值不是负数。
9. 已知长方形的长、宽分别为$a$,$b$,周长为$16$,面积为$15$,则$a^{2}b + ab^{2}$的值为(
A.$120$
B.$128$
C.$240$
D.$250$
A
)A.$120$
B.$128$
C.$240$
D.$250$
答案
A
解析
根据题意，长方形的周长为$16$，即$2(a + b) = 16$，可得$a + b = 8$。
面积为$15$，即$a × b = 15$。
所求表达式为$a^2b + ab^2$，可提取公因式$ab$，得到$ab(a + b)$。
将$a + b = 8$和$ab = 15$代入，得$15 × 8 = 120$。
面积为$15$，即$a × b = 15$。
所求表达式为$a^2b + ab^2$，可提取公因式$ab$，得到$ab(a + b)$。
将$a + b = 8$和$ab = 15$代入，得$15 × 8 = 120$。
