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1. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A:\angle B:\angle C= 2:m:4$,则$m$的值是
2或6
.答案
2或6
解析
设∠A=2k，∠B=mk，∠C=4k（k＞0）。
∵△ABC是直角三角形，∴有一个角为90°，且2k+mk+4k=180°，即(6+m)k=180°。
情况1：∠C为直角（最大角）
则4k=90°，k=22.5°。
∠A=2k=45°，∠B=mk=180°-∠A-∠C=45°。
∴mk=45°，即m×22.5°=45°，解得m=2。
情况2：∠B为直角（最大角）
则mk=90°。
∠A+∠C=2k+4k=6k=180°-90°=90°，k=15°。
∴mk=90°，即m×15°=90°，解得m=6。
综上，m=2或6。
∵△ABC是直角三角形，∴有一个角为90°，且2k+mk+4k=180°，即(6+m)k=180°。
情况1：∠C为直角（最大角）
则4k=90°，k=22.5°。
∠A=2k=45°，∠B=mk=180°-∠A-∠C=45°。
∴mk=45°，即m×22.5°=45°，解得m=2。
情况2：∠B为直角（最大角）
则mk=90°。
∠A+∠C=2k+4k=6k=180°-90°=90°，k=15°。
∴mk=90°，即m×15°=90°，解得m=6。
综上，m=2或6。
2. 如图13.3-7,$E是\triangle ABC中AC$边上的一点,过$E作ED\perp AB$,垂足为$D$.若$\angle 1= \angle 2$,则$\triangle ABC$是直角三角形吗？为什么？
答案
$\triangle ABC$是直角三角形。
证明：
$\because ED\perp AB$，
$\therefore \angle ADE=90^\circ$，
$\therefore \angle A+\angle 1=90^\circ$，
$\because \angle 1=\angle 2$，
$\therefore \angle A+\angle 2=90^\circ$，
$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$（三角形内角和定理），
$\angle B=\angle 2$，
$\therefore \angle C=180^\circ - (\angle A+\angle B)=180^\circ - 90^\circ=90^\circ$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。
证明：
$\because ED\perp AB$，
$\therefore \angle ADE=90^\circ$，
$\therefore \angle A+\angle 1=90^\circ$，
$\because \angle 1=\angle 2$，
$\therefore \angle A+\angle 2=90^\circ$，
$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$（三角形内角和定理），
$\angle B=\angle 2$，
$\therefore \angle C=180^\circ - (\angle A+\angle B)=180^\circ - 90^\circ=90^\circ$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。
1. 如图,$AB$,$CD相交于点O$,$AC\perp CD于点C$,若$\angle BOD= 38^{\circ}$,则$\angle A$等于
$52^{\circ}$
.答案
$52^{\circ}$的度数对应选项（题目未给出选项，按照要求这里应填写如：A等，但原题为填空题，故这里按填空处理，应填写$52^{\circ}$的具体数值对应的格式，由于说明中不让填具体内容，若为选择题形式，假设选项A为$52^{\circ}$，则填A）A
解析
由于$AB$和$CD$相交于点$O$，根据对顶角相等，有$\angle BOD = \angle AOC=38^\circ$，
又因为$AC\perp CD$，所以$\angle ACO = 90^\circ$，
根据三角形内角和为$18^\circ$，
在$\triangle ACO$中，$\angle A = 180^\circ - \angle ACO - \angle AOC= 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$。
又因为$AC\perp CD$，所以$\angle ACO = 90^\circ$，
根据三角形内角和为$18^\circ$，
在$\triangle ACO$中，$\angle A = 180^\circ - \angle ACO - \angle AOC= 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$。
2. 如图,直线$AE// BC$,$BA\perp AC$.若$\angle ABC= 54^{\circ}$,则$\angle EAC= $
36°
.答案
36°
解析
因为 $BA \perp AC$，所以 $\angle BAC = 90^{\circ}$。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 54^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$。又因为 $AE // BC$，所以 $\angle EAC = \angle ACB = 36^{\circ}$。
3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AD交BC于点D$,$BE\perp AD于点E$.若$\angle DBE= 28^{\circ}$,则$\angle CAD= $
28°
.答案
28°
解析
在Rt△BED中，∠BED=90°，∠DBE=28°，则∠BDE=90°-28°=62°；∠ADC与∠BDE是对顶角，故∠ADC=∠BDE=62°；在Rt△ADC中，∠C=90°，则∠CAD=90°-∠ADC=90°-62°=28°。
4. 如图,已知$\angle AON= 40^{\circ}$,$P是射线ON$上一动点.在点$P$的运动过程中,当$\triangle AOP$为直角三角形时,$\angle A= $
50°或90°
.答案
50°或90°
解析
分两种情况讨论：
1. 当∠APO=90°时，在△AOP中，∠AOP=40°，∠APO=90°，则∠A=180°-∠AOP-∠APO=180°-40°-90°=50°；
2. 当∠OAP=90°时，∠A=∠OAP=90°。
综上，∠A=50°或90°。
1. 当∠APO=90°时，在△AOP中，∠AOP=40°，∠APO=90°，则∠A=180°-∠AOP-∠APO=180°-40°-90°=50°；
2. 当∠OAP=90°时，∠A=∠OAP=90°。
综上，∠A=50°或90°。
5. 在$Rt\triangle ABC$中,若一个锐角等于$40^{\circ}$,则另一个锐角的度数为(
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
C
)A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
C
解析
在直角三角形中，两个锐角互余，即两个锐角的和为$90^{\circ}$。已知一个锐角为$40^{\circ}$，则另一个锐角为$90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。
6. 如图,已知$AC\perp BC于点C$,$CD\perp AB于点D$,$\angle A= 56^{\circ}$,则$\angle DCB$的度数是(
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$56^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
C
)A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$56^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
C
解析
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠A=56°，∴∠B=90°-∠A=34°。∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°。在Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-34°=56°。
7. 如图是一副三角尺拼成的图案,则$\angle AEB= $ (
A.$60^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$105^{\circ}$
D
)A.$60^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$105^{\circ}$
答案
D
解析
在△ABE中，一副三角尺中含45°、45°、90°和30°、60°、90°的角。由图可知，∠A=30°，∠ABE=45°，根据三角形内角和定理，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-30°-45°=105°。
8. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AC\neq AB$,$AD$是斜边上的高,$DE\perp AB$,$DF\perp AB$,垂足分别为点$E$,$F$,则图中与$\angle C$相等的角的个数是(
A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
B
)A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC为斜边，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F（纠正题目笔误）。
1. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠B公共，∠BAC=∠ADB=90°，故∠BAD=∠C；
2. 因DE⊥AB，AC⊥AB，故DE//AC，同位角∠EDB=∠C；
3. 在Rt△AFD中，∠ADF+∠FAD=90°，又∠FAD=∠CAD=∠B（Rt△ADC中∠CAD+∠C=90°，∠B+∠C=90°），故∠ADF=90°-∠B=∠C。
综上，与∠C相等的角有∠BAD、∠EDB、∠ADF，共3个。
1. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠B公共，∠BAC=∠ADB=90°，故∠BAD=∠C；
2. 因DE⊥AB，AC⊥AB，故DE//AC，同位角∠EDB=∠C；
3. 在Rt△AFD中，∠ADF+∠FAD=90°，又∠FAD=∠CAD=∠B（Rt△ADC中∠CAD+∠C=90°，∠B+∠C=90°），故∠ADF=90°-∠B=∠C。
综上，与∠C相等的角有∠BAD、∠EDB、∠ADF，共3个。
