9. 先化简,再求值：$(x + y)^2 + x(x - 2y)$,其中$x = 1$,$y = -2$.

6

$(x + y)^2 + x(x - 2y)$
$=x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy$
$=2x^2 + y^2$
当$x = 1$，$y = -2$时，
$2x^2 + y^2 = 2×1^2 + (-2)^2 = 2×1 + 4 = 2 + 4 = 6$

10. 先化简,再求值：$(a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b)^2$,其中$a = -3$,$b = \frac{1}{3}$.

解题步骤：
1. 化简原式
$ \begin{aligned} (a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b)^2 &= a^2 - (3b)^2 + (a^2 - 6ab + 9b^2) \\ &= a^2 - 9b^2 + a^2 - 6ab + 9b^2 \\ &= 2a^2 - 6ab \end{aligned} $
2. 代入 $a = -3$，$b = \frac{1}{3}$
$ \begin{aligned} 2a^2 - 6ab &= 2(-3)^2 - 6(-3)\left(\frac{1}{3}\right) \\ &= 2 × 9 + 6 × 3 × \frac{1}{3} \\ &= 18 + 6 \\ &= 24 \end{aligned} $
最终结论：
$\boxed{24}$

11. (2025·南昌)已知多项式$A = mx - 3$,$B = 2x + n$,$A与B的乘积中不含有x$项,常数项是$-3$.
(1)求$m$,$n$的值；
(2)求$A \cdot B - B^2$的值.

(1)
首先，$A\cdot B=(mx - 3)(2x + n)$
$=mx×(2x)+mx× n-3×(2x)-3× n$
$=2mx^{2}+mnx - 6x-3n$
$=2mx^{2}+(mn - 6)x-3n$
因为$A$与$B$的乘积中不含有$x$项，常数项是$-3$，所以可得：
$\begin{cases}mn - 6 = 0\\-3n=-3\end{cases}$
由$-3n = - 3$，解得$n = 1$
把$n = 1$代入$mn - 6 = 0$，得$m×1-6 = 0$，解得$m = 6$
(2)
因为$A = 6x - 3$，$B = 2x + 1$
所以$A\cdot B-B^{2}=B(A - B)$
$A - B=(6x - 3)-(2x + 1)$
$=6x - 3-2x - 1$
$=4x - 4$
则$A\cdot B - B^{2}=(2x + 1)(4x - 4)$
$=2x×(4x)+2x×(-4)+1×(4x)+1×(-4)$
$=8x^{2}-8x + 4x-4$
$=8x^{2}-4x - 4$
综上，$m = 6$，$n = 1$；$A\cdot B - B^{2}=8x^{2}-4x - 4$。

12. 如图所示,某中学校园内有一个长为$(4a + b)m$,宽为$(3a + b)m$的长方形小广场,学校计划在中间留一块边长为$(a + b)m$的正方形场地修建一座雕像,并将空余场地(阴影部分)进行绿化. 求绿化的面积(用含$a$,$b$的代数式表示).

绿化面积 = 长方形面积 - 正方形面积
长方形面积 = (4a + b)(3a + b) = 12a² + 4ab + 3ab + b² = 12a² + 7ab + b²
正方形面积 = (a + b)² = a² + 2ab + b²
绿化面积 = (12a² + 7ab + b²) - (a² + 2ab + b²) = 11a² + 5ab
答：绿化的面积为(11a² + 5ab)m².

13. 下列计算不正确的是()
A.$(2a^2b) ÷ (ab) = 2a$
B.$(2a^2b)^2 ÷ (a^2b^2) = 4ab$
C.$(8x^3 - 4x^2) ÷ (4x) = 2x^2 - x$
D.$(2a^3 - a^2) ÷ a^2 = 2a - 1$

B

A. $(2a^{2}b) ÷ (ab)$
根据单项式除以单项式的法则，分别将系数和同底数幂相除，
$(2a^{2}b) ÷ (ab)=2a^{2 - 1}b^{1 - 1}=2a$，该选项计算正确。
B. 先计算$(2a^{2}b)^{2}$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(2a^{2}b)^{2}=2^{2}(a^{2})^{2}b^{2}=4a^{4}b^{2}$，
再计算$4a^{4}b^{2}÷(a^{2}b^{2})$，根据单项式除以单项式的法则，$4a^{4}b^{2}÷(a^{2}b^{2}) = 4a^{4 - 2}b^{2 - 2}=4a^{2}\neq4ab$，该选项计算错误。
C. $(8x^{3}-4x^{2})÷(4x)$
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，
$(8x^{3}-4x^{2})÷(4x)=8x^{3}÷(4x)-4x^{2}÷(4x)=2x^{2}-x$，该选项计算正确。
D. $(2a^{3}-a^{2})÷ a^{2}$
根据多项式除以单项式的法则，$(2a^{3}-a^{2})÷ a^{2}=2a^{3}÷ a^{2}-a^{2}÷ a^{2}=2a - 1$，该选项计算正确。

14. 若长方形面积是$2a^2 - 2ab + 6a$,一边长为$2a$,则这个长方形的周长是()
A.$6a - 2b + 6$
B.$2a - 2b + 6$
C.$6a - 2b$
D.$3a - b + 3$

A

设长方形的面积为 $2a^2 - 2ab + 6a$，一边长为 $2a$，则另一边长为 $\frac{2a^2 - 2ab + 6a}{2a} = a - b + 3$。
周长为 $2 × (2a + a - b + 3) = 2 × (3a - b + 3) = 6a - 2b + 6$。

15. 与单项式$-3a^2b的积是6a^3b^2 - 2a^2b^2 + 9a^2b$的多项式是.

-2ab+$\frac{2}{3}$b - 3（按照题目要求这里应写为多项式表达式形式，若以规范答案格式要求此处填写该多项式）

设所求多项式为$A$，根据题意有$A× (-3a^{2}b)=6a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{2}+9a^{2}b$，则$A = \frac{6a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{2}+9a^{2}b}{-3a^{2}b}$。
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加，即：
$A=\frac{6a^{3}b^{2}}{-3a^{2}b}-\frac{2a^{2}b^{2}}{-3a^{2}b}+\frac{9a^{2}b}{-3a^{2}b}=-2ab+\frac{2}{3}b - 3$

16. (2024·凉山)计算：$[(x + 2y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)] ÷ (4y)$.

$x + 2y$

$\begin{aligned}&[(x + 2y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)] ÷ (4y)\\=&[x^2 + 4xy + 4y^2 - (x^2 - 4y^2)] ÷ (4y)\\=&[x^2 + 4xy + 4y^2 - x^2 + 4y^2] ÷ (4y)\\=&(4xy + 8y^2) ÷ (4y)\\=&4xy ÷ 4y + 8y^2 ÷ 4y\\=&x + 2y\end{aligned}$