1. 已知$a^{x}= m$,$a^{y}= n$,则$a^{x+y}$的值为()
A.$mn$
B.$\frac {m}{n}$
C.$m + n$
D.以上都不对

A

因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$a^{x+y}=a^x \cdot a^y$。已知$a^x = m$，$a^y = n$，则$a^{x+y}=m \cdot n = mn$。

2. 如果$(9^{n})^{2}= 3^{16}$,那么$n$的值为()
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

B

根据幂的乘方运算法则，$(a^{m})^{n} = a^{m × n}$，所以$(9^{n})^{2} = (3^{2})^{2n} = 3^{4n}$。
已知$3^{4n} = 3^{16}$，根据同底数幂相等的性质，得到$4n = 16$。
解这个方程，得到$n = 4$。

3. 下列计算正确的是()

A.$(\frac {1}{10})^{100}×10^{101}= \frac {1}{10}$
B.$(\frac {2}{3})^{100}×(-\frac {3}{2})^{100}= -1$
C.$(\frac {1}{9})^{101}×9^{100}= 9$
D.$(\frac {2}{5})^{99}×(-\frac {5}{2})^{100}= \frac {5}{2}$

D

A. $(\frac{1}{10})^{100}×10^{101}=(\frac{1}{10})^{100}×10^{100}×10=(\frac{1}{10}×10)^{100}×10=1^{100}×10=10$，A错误；
B. $(\frac{2}{3})^{100}×(-\frac{3}{2})^{100}=[\frac{2}{3}×(-\frac{3}{2})]^{100}=(-1)^{100}=1$，B错误；
C. $(\frac{1}{9})^{101}×9^{100}=(\frac{1}{9})^{100}×\frac{1}{9}×9^{100}=(\frac{1}{9}×9)^{100}×\frac{1}{9}=1^{100}×\frac{1}{9}=\frac{1}{9}$，C错误；
D. $(\frac{2}{5})^{99}×(-\frac{5}{2})^{100}=(\frac{2}{5})^{99}×(-\frac{5}{2})^{99}×(-\frac{5}{2})=[\frac{2}{5}×(-\frac{5}{2})]^{99}×(-\frac{5}{2})=(-1)^{99}×(-\frac{5}{2})=(-1)×(-\frac{5}{2})=\frac{5}{2}$，D正确。

4. 已知$2^{a}= 4$,$2^{b}= 16$,则$2^{a + b + 1}$的值为.

128

因为$2^{a}=4$，$2^{b}=16$，所以$2^{a + b + 1}=2^{a} × 2^{b} × 2^{1}=4×16×2=128$

5. 若$x^{2n}= 3$,则$(3x^{3n})^{2}= $.

243

因为$x^{2n}=3$，所以$(3x^{3n})^{2}=9x^{6n}=9(x^{2n})^{3}=9×3^{3}=9×27=243$

6. (1)若$x^{3m}= 2$,则$x^{9m}$的值为.
(2)若$x^{n}= 2$,$y^{n}= 3$,则$(xy)^{2n}= $.
(3)若$3^{m}×9^{m}= 3^{12}$,则$m= $.
(4)若$2x + 3y - 3 = 0$,则$4^{x}·8^{y}= $.

(1) 8
(2) 36
(3) 4
(4) 8

(1) 根据幂的乘方性质，$x^{9m} = (x^{3m})^3$，已知 $x^{3m} = 2$，则 $x^{9m} = 2^3 = 8$。
(2) 根据积的乘方性质，$(xy)^{2n} = x^{2n} \cdot y^{2n} = (x^n)^2 \cdot (y^n)^2$，已知 $x^n = 2$，$y^n = 3$，则 $(xy)^{2n} = 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36$。
(3) 根据同底数幂的乘法性质，$3^m × 9^m = 3^m × (3^2)^m = 3^m × 3^{2m} = 3^{3m}$，已知 $3^{3m} = 3^{12}$，则 $3m = 12$，解得 $m = 4$。
(4) 根据同底数幂的乘法性质，$4^x \cdot 8^y = (2^2)^x \cdot (2^3)^y = 2^{2x} \cdot 2^{3y} = 2^{2x + 3y}$，已知 $2x + 3y - 3 = 0$，则 $2x + 3y = 3$，所以 $2^{2x + 3y} = 2^3 = 8$。

7. (1)若$3^{x}= 4$,$9^{y}= 7$,求$3^{x + 2y}$的值；
(2)已知$x^{2n}= 3$,求$(x^{3n})^{2}$的值；
(3)若$4a + 3b = 3$,求$9^{2a}·27^{b}$；
(4)已知$3×9^{m}×27^{m}= 3^{21}$,求$m$的值.

(1)
已知 $3^{x} = 4$，$9^{y} = 7$，
因为$9^{y} =(3^{2})^{y}=3^{2y}$，
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^{x + 2y}=3^{x}×3^{2y}$，
将$3^{x} = 4$，$3^{2y}=7$代入得：$3^{x + 2y}=4×7 = 28$。
(2)
已知 $x^{2n} = 3$，
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(x^{3n})^{2}=x^{6n}=(x^{2n})^{3}$，
将$x^{2n} = 3$代入得：$(x^{3n})^{2}=3^{3}=27$。
(3)
因为$9 = 3^{2}$，$27 = 3^{3}$，
所以$9^{2a}=(3^{2})^{2a}=3^{4a}$，$27^{b}=(3^{3})^{b}=3^{3b}$，
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$9^{2a}\cdot27^{b}=3^{4a}\cdot3^{3b}=3^{4a + 3b}$，
将$4a + 3b = 3$代入得：$9^{2a}\cdot27^{b}=3^{3}=27$。
(4)
因为$9 = 3^{2}$，$27 = 3^{3}$，
所以$9^{m}=(3^{2})^{m}=3^{2m}$，$27^{m}=(3^{3})^{m}=3^{3m}$，
则$3×9^{m}×27^{m}=3×3^{2m}×3^{3m}$，
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3×3^{2m}×3^{3m}=3^{1 + 2m+3m}=3^{1 + 5m}$，
因为$3×9^{m}×27^{m}=3^{21}$，所以$3^{1 + 5m}=3^{21}$，
则$1 + 5m = 21$，
移项可得$5m=21 - 1=20$，
解得$m = 4$。
综上，答案依次为：(1)$28$；(2)$27$；(3)$27$；(4)$4$。

8. 用简便方法计算：
(1)$-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{99}$；
(2)$2^{4}×4^{5}×(\frac {1}{8})^{4}$.

(1)
$-2^{100} × 0.5^{100} × (-1)^{99}$
$=-(2× 0.5)^{100}× (-1)$
$=-1^{100}× (-1)$
$=-1× (-1)$
$=1$
(2)
$2^{4} × 4^{5} × (\frac{1}{8})^{4}$
$=2^{4} × (2^{2})^{5} × (2^{-3})^{4}$
$=2^{4} × 2^{10} × 2^{-12}$
$=2^{4 + 10 - 12}$
$=2^{2}$
$= 4$

9. 已知$2^{a}= m$,$2^{b}= n$,$2^{c}= 2mn$,求$a$,$b$,$c$之间的数量关系.

因为$2^{a}=m$，$2^{b}=n$，所以$mn = 2^{a} × 2^{b}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{a} × 2^{b}=2^{a + b}$，即$mn=2^{a + b}$。
又因为$2^{c}=2mn$，所以$2^{c}=2×2^{a + b}$。
$2×2^{a + b}=2^{1 + a + b}$，故$2^{c}=2^{a + b + 1}$。
因为底数相同的幂相等，则指数相等，所以$c=a + b + 1$。
结论：$c=a + b + 1$

10. 在比较$2^{16}和3^{12}$的大小时,我们可以这样来处理：
$\because 2^{16}= (2^{4})^{4}= 16^{4}$,$3^{12}= (3^{3})^{4}= 27^{4}$,
$16 ＜ 27$,
$\therefore 16^{4} ＜ 27^{4}$,即$2^{16} ＜ 3^{12}$.
你能类似地比较下列各组数的大小吗？
(1)$2^{200}与3^{150}$；
(2)$3^{555}$,$4^{444}与5^{333}$.

(1) $\because 2^{200}=(2^4)^{50}=16^{50}$，$3^{150}=(3^3)^{50}=27^{50}$，
$16＜27$，
$\therefore 16^{50}＜27^{50}$，即$2^{200}＜3^{150}$.
(2) $\because 3^{555}=(3^5)^{111}=243^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}=256^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}=125^{111}$，
$125＜243＜256$，
$\therefore 125^{111}＜243^{111}＜256^{111}$，即$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$.