1. 约分
(1)定义：根据的基本性质,把一个分式的分子与分母的约去,叫作分式的约分；
(2)最简分式：分子与分母没有的分式,叫作最简分式。
2. 通分
(1)定义：根据的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式的的分式,叫作分式的通分；
(2)最简公分母：一般取各分母的所有因式的次幂的作公分母,它叫作最简公分母。

1.(1)分式，公因式；(2)公因式；2.(1)分式，相等，同分母；(2)最高，积

1. (1) 根据分式的基本性质，约分是把分子与分母的公因式约去。
(2) 最简分式定义为分子与分母没有公因式的分式。
2. (1) 根据分式的基本性质，通分是把异分母分式化为与原分式相等的同分母分式。
(2) 最简公分母是取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母。

【例 1】约分：
(1)$\frac{10a^{3}bc}{-5a^{2}b^{3}c^{2}}$；(2)$\frac{a^{2}b - 5ab}{a^{2} - 25}$。

(1)
$\begin{aligned} \frac{10a^{3}bc}{-5a^{2}b^{3}c^{2}} &= -\frac{10}{5} × \frac{a^{3}}{a^{2}} × \frac{b}{b^{3}} × \frac{c}{c^{2}} \\ &= -2 × a^{3-2} × b^{1-3} × c^{1-2} \\ &= -2 × a × b^{-2} × c^{-1} \\ &= -\frac{2a}{b^{2}c} \end{aligned}$
(2)
首先对分子进行因式分解，提取公因式 $ab$，得到：
$a^{2}b - 5ab = ab(a - 5)$
接着对分母进行因式分解，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，得到：
$a^{2} - 25 = (a + 5)(a - 5)$
于是原式可以表示为：
$\begin{aligned} \frac{a^{2}b - 5ab}{a^{2} - 25} &= \frac{ab(a - 5)}{(a + 5)(a - 5)} \\ &= \frac{ab}{a + 5} \end{aligned}$

(1)约分针对的是分式的分子和分母,而不是其中的某些项,因此一定要把分子和分母化为乘积的形式；
(2)分子、分母是多项式时,一般先将多项式因式分解,再进行约分；
(3)约分一定要约到分子和分母没有公因式为止。

答案略

1. 下列约分正确的是()

A.$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{3}$
B.$\frac{x + y}{x + y} = 0$
C.$\frac{2xy^{2}}{4x^{2}y} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{a + b}{x(a + b)} = \frac{1}{x}$

D

选项A：同底数幂相除，底数不变指数相减，$\frac{x^{6}}{x^{2}}=x^{6-2}=x^{4}$，A错误；选项B：分子分母相同（不为0），约分结果为1，B错误；选项C：分子分母同时约去$2xy$，$\frac{2xy^{2}}{4x^{2}y}=\frac{y}{2x}$，C错误；选项D：分子分母同时约去$(a + b)$（$a + b\neq0$），结果为$\frac{1}{x}$，D正确。

2. 下列分式不是最简分式的是()
A.$\frac{9a^{2}}{4b}$
B.$\frac{1}{a - b}$
C.$\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$
D.$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x - y}$

D

选项A：分母为$4b$，分子为$9a^2$，分子分母无公因式（$a,b$无关），所以$\frac{9a^{2}}{4b}$是最简分式。
选项B：分母为$a - b$，分子为$1$，分子分母无公因式，所以$\frac{1}{a - b}$是最简分式。
选项C：分子$x^2 + y^2$无法分解因式，分母为$x + y$，分子分母无公因式，所以$\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$是最简分式。
选项D：分子$x^2 - 2xy + y^2$可分解为$(x - y)^2$，分母为$x - y$，分子分母有公因式$x - y$，因此$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x - y}$不是最简分式。

3. $\frac{3x^{2} + 3xy}{6x^{2}} = \frac{x + y}{( )}$,其中括号内的式子为()
A.$3x$
B.$6x$
C.$2$
D.$2x$

D

原式 $\frac{3x^{2} + 3xy}{6x^{2}}$ 可以分解为 $\frac{3x(x + y)}{6x^{2}}$，
进一步化简得 $\frac{x + y}{2x}$，
与题目中的 $\frac{x + y}{( )}$ 对比，可知括号内应为 $2x$。

4. 约分：
(1)$\frac{24a^{2}b}{-4ab}$；(2)$\frac{2a^{2} - ab}{2a^{2}b - ab^{2}}$。

(1)
$\frac{24a^{2}b}{-4ab}$
$=\frac{24÷4\cdot a^{2}÷ a\cdot b÷ b}{-4÷4}$
$ = -6a$
(2)
$\frac{2a^{2} - ab}{2a^{2}b - ab^{2}}$
$=\frac{a(2a - b)}{ab(2a - b)}$
$=\frac{1}{b}$

【例 2】通分：
(1)$\frac{a - b}{a^{2}b}$,$\frac{2a - b}{a^{3}}$；
(2)$\frac{2}{3x^{2}(x - y)}$,$\frac{1}{2x - 2y}$,$\frac{3}{4xy}$。

(1)最简公分母为$a^{3}b$
$\frac{a - b}{a^{2}b}=\frac{(a - b)\cdot a}{a^{3}b}=\frac{a^{2}-ab}{a^{3}b}$
$\frac{2a - b}{a^{3}}=\frac{(2a - b)\cdot b}{a^{3}b}=\frac{2ab - b^{2}}{a^{3}b}$
(2)分母因式分解：$2x - 2y = 2(x - y)$，最简公分母为$12x^{2}y(x - y)$
$\frac{2}{3x^{2}(x - y)}=\frac{2\cdot4y}{12x^{2}y(x - y)}=\frac{8y}{12x^{2}y(x - y)}$
$\frac{1}{2(x - y)}=\frac{1\cdot6x^{2}y}{12x^{2}y(x - y)}=\frac{6x^{2}y}{12x^{2}y(x - y)}$
$\frac{3}{4xy}=\frac{3\cdot3x(x - y)}{12x^{2}y(x - y)}=\frac{9x(x - y)}{12x^{2}y(x - y)}=\frac{9x^{2}-9xy}{12x^{2}y(x - y)}$