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7. 已知等腰三角形的两边长分别为$a$,$b$,且$a$,$b满足\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$,则此等腰三角形的周长为(
A.$7或8$
B.$6或10$
C.$6或7$
D.$7或10$
A
)。A.$7或8$
B.$6或10$
C.$6或7$
D.$7或10$
答案
A
解析
因为$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$，且$\sqrt{2a - 3b + 5} \geq 0$，$(2a + 3b - 13)^2 \geq 0$，所以$\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\ 2a + 3b - 13 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = 3\end{cases}$。
情况一：若$a = 2$为腰长，则三边长为$2$，$2$，$3$，$2 + 2 ＞ 3$，能构成三角形，周长为$2 + 2 + 3 = 7$。
情况二：若$b = 3$为腰长，则三边长为$3$，$3$，$2$，$3 + 2 ＞ 3$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 2 = 8$。
故此等腰三角形的周长为$7$或$8$。
A
情况一：若$a = 2$为腰长，则三边长为$2$，$2$，$3$，$2 + 2 ＞ 3$，能构成三角形，周长为$2 + 2 + 3 = 7$。
情况二：若$b = 3$为腰长，则三边长为$3$，$3$，$2$，$3 + 2 ＞ 3$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 2 = 8$。
故此等腰三角形的周长为$7$或$8$。
A
8. 已知关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}2x + 3y = k,\\x + 2y = -1\end{cases} $的解互为相反数,则$k$的值是
-1
。答案
- 1
解析
因为方程组的解互为相反数，所以$x + y = 0$，即$x=-y$。
将$x=-y$代入$x + 2y=-1$，得$-y + 2y=-1$，解得$y=-1$。
则$x=-y=1$。
把$x=1$，$y=-1$代入$2x + 3y=k$，得$2×1 + 3×(-1)=k$，即$2 - 3=k$，解得$k=-1$。
$-1$
将$x=-y$代入$x + 2y=-1$，得$-y + 2y=-1$，解得$y=-1$。
则$x=-y=1$。
把$x=1$，$y=-1$代入$2x + 3y=k$，得$2×1 + 3×(-1)=k$，即$2 - 3=k$，解得$k=-1$。
$-1$
9. 已知$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases} 是关于x$,$y的方程组\begin{cases}ax + by = 5,\\bx + ay = 1\end{cases} $的解,则$a - b$的值是
4
。答案
4
解析
将$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + by = 5\\bx + ay = 1\end{cases}$，得：
$\begin{cases}2a + b = 5 & (1)\\2b + a = 1 & (2)\end{cases}$
$(1) - (2)$得：$(2a + b) - (a + 2b) = 5 - 1$
$2a + b - a - 2b = 4$
$a - b = 4$
4
$\begin{cases}2a + b = 5 & (1)\\2b + a = 1 & (2)\end{cases}$
$(1) - (2)$得：$(2a + b) - (a + 2b) = 5 - 1$
$2a + b - a - 2b = 4$
$a - b = 4$
4
10. 已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}ax - by = 4,\\2x + 3y = 4\end{cases} 与\begin{cases}ax + by = 2,\\4x - 3y = 2\end{cases} $的解相同,那么$a + b = $
$\frac{3}{2}$
。答案
$\frac{3}{2}$
解析
因为两个方程组的解相同，所以联立不含$a$、$b$的方程：$\begin{cases}2x + 3y = 4 \\4x - 3y = 2\end{cases}$
将两式相加：$2x + 3y + 4x - 3y = 4 + 2$，得$6x = 6$，解得$x = 1$
把$x = 1$代入$2x + 3y = 4$：$2×1 + 3y = 4$，$3y = 2$，解得$y = \frac{2}{3}$
将$x = 1$，$y = \frac{2}{3}$代入含$a$、$b$的方程：$\begin{cases}a×1 - b×\frac{2}{3} = 4 \\a×1 + b×\frac{2}{3} = 2\end{cases}$
两式相加：$a - \frac{2}{3}b + a + \frac{2}{3}b = 4 + 2$，得$2a = 6$，解得$a = 3$
两式相减：$(a - \frac{2}{3}b) - (a + \frac{2}{3}b) = 4 - 2$，得$-\frac{4}{3}b = 2$，解得$b = -\frac{3}{2}$
所以$a + b = 3 + (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}$
将两式相加：$2x + 3y + 4x - 3y = 4 + 2$，得$6x = 6$，解得$x = 1$
把$x = 1$代入$2x + 3y = 4$：$2×1 + 3y = 4$，$3y = 2$，解得$y = \frac{2}{3}$
将$x = 1$，$y = \frac{2}{3}$代入含$a$、$b$的方程：$\begin{cases}a×1 - b×\frac{2}{3} = 4 \\a×1 + b×\frac{2}{3} = 2\end{cases}$
两式相加：$a - \frac{2}{3}b + a + \frac{2}{3}b = 4 + 2$，得$2a = 6$，解得$a = 3$
两式相减：$(a - \frac{2}{3}b) - (a + \frac{2}{3}b) = 4 - 2$，得$-\frac{4}{3}b = 2$，解得$b = -\frac{3}{2}$
所以$a + b = 3 + (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}$
11. 如图,在$3×3$的网格内,填写了一些代数式和数。
- (1)图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等,请求出$x$,$y$的值；
(2)把满足(1)的其他$6$个数填入图②中的网格内。
- (1)图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等,请求出$x$,$y$的值；
(2)把满足(1)的其他$6$个数填入图②中的网格内。
答案
$(1)$ 求$x$，$y$的值
解：
根据“图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，可列方程组：
$\begin{cases}2x + 3 + 2 = 2 - 3 + 4y\\2x + 3 + 2 = 2x + y + 4y\end{cases}$
先化简第一个方程$2x + 3 + 2 = 2 - 3 + 4y$：
$2x+5=-1 + 4y$，移项可得$2x-4y=-6$，两边同时除以$2$得$x - 2y=-3$ $①$
再化简第二个方程$2x + 3 + 2 = 2x + y + 4y$：
$2x + 5 = 2x+5y$，移项可得$5y = 5$，解得$y = 1$。
把$y = 1$代入$①$式$x - 2×1=-3$，解得$x=-1$。
$(2)$
12. 【综合与实践】阅读下列解方程组的方法,然后回答问题：
解方程组：$\begin{cases}19x + 18y = 17,①\\17x + 16y = 15。$$②\end{cases} $
解：由①-②得2x + 2y = 2,
即x + y = 1,③
③×16得16x + 16y = 16,④
②-④得x = -1,从而可得y = 2。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -1,\\y = 2。$$\end{cases} (1)$请你模仿上面的解法解方程组：$\begin{cases}2029x + 2028y = 2027,①\\2027x + 2026y = 2025。$$②\end{cases} (2)$猜测关于x,y的方程组$\begin{cases}(a + 2)x + (a + 1)y = a,\b + 2)x + (b + 1)y = b\end{cases} (a\neq b)$的解是什么,并利用方程组的解加以验证。
解方程组：$\begin{cases}19x + 18y = 17,①\\17x + 16y = 15。$$②\end{cases} $
解：由①-②得2x + 2y = 2,
即x + y = 1,③
③×16得16x + 16y = 16,④
②-④得x = -1,从而可得y = 2。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -1,\\y = 2。$$\end{cases} (1)$请你模仿上面的解法解方程组：$\begin{cases}2029x + 2028y = 2027,①\\2027x + 2026y = 2025。$$②\end{cases} (2)$猜测关于x,y的方程组$\begin{cases}(a + 2)x + (a + 1)y = a,\b + 2)x + (b + 1)y = b\end{cases} (a\neq b)$的解是什么,并利用方程组的解加以验证。
答案
解:
(1)由① - ②得2x + 2y = 2,
即x + y = 1,③
③×2026得2026x + 2026y = 2026,④
② - ④得x = - 1,从而可得y = 2。
所以原方程组的解是{x = - 1,
y = 2}。
(2)猜测方程组的解是{x = - 1,
y = 2}。
验证:把{x = - 1,
y = 2}代入原方程组,
得{-(a + 2)+2(a + 1)=a,
-(b + 2)+2(b + 1)=b},
即{a = a,
b = b},方程组成立,
即{x = - 1,
y = 2}是原方程组的解。
(1)由① - ②得2x + 2y = 2,
即x + y = 1,③
③×2026得2026x + 2026y = 2026,④
② - ④得x = - 1,从而可得y = 2。
所以原方程组的解是{x = - 1,
y = 2}。
(2)猜测方程组的解是{x = - 1,
y = 2}。
验证:把{x = - 1,
y = 2}代入原方程组,
得{-(a + 2)+2(a + 1)=a,
-(b + 2)+2(b + 1)=b},
即{a = a,
b = b},方程组成立,
即{x = - 1,
y = 2}是原方程组的解。
