1. 若$\frac{a}{b}= \frac{2}{9}$,则$\frac{a + b}{b}= $.

$\frac{11}{9}$

因为$\frac{a}{b}=\frac{2}{9}$，所以$\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{2}{9}+1=\frac{11}{9}$

2. 已知线段$AB = 6$,点$C是它的黄金分割点(AC ＞ CB)$,则$CB = $.

$9 - 3\sqrt{5}$

根据黄金分割的定义，若点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC ＞ CB$，则有：
$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
已知$AB = 6$，代入上式得：
$AC = AB × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 6 × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 3\sqrt{5} - 3$，
由线段的长度关系，我们有：
$CB = AB - AC = 6 - (3\sqrt{5} - 3) = 9 - 3\sqrt{5}$，
故答案为：$9 - 3\sqrt{5}$。

3. 如图,$D$,$E分别是\triangle ABC的AB$,$AC$边上的点,$DE// BC$,则下列各式错误的是()

A.$\frac{AD}{DB}= \frac{AE}{EC}$
B.$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AD}{DB}= \frac{DE}{BC}$
D.$\frac{AB}{DB}= \frac{AC}{EC}$

C

由于 $DE // BC$，根据平行线性质，有$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，得到：
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$
A. $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
由于 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，可以推导出 $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$，所以A是正确的。
B. $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$
由于 $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$，可以推导出 $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$，所以B是正确的。
C. $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$
由于 $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$，但 $\frac{AD}{AB} \neq \frac{AD}{DB}$，所以C是错误的。
D. $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$
由于 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，可以推导出 $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$（通过交叉相乘和重新排列），所以D是正确的。

4. 如图,$\triangle ABC$中,$AE交BC于点D$,$\angle C= \angle E$,$AD:DE = 3:5$,$AE = 8$,$BD = 4$,则$DC$的长等于()

A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{20}{3}$
D.$\frac{17}{4}$

A

∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE（对顶角相等），
∴△ADC∽△BDE（AA相似）。
∵AD:DE=3:5，AE=8，设AD=3k，DE=5k，
则3k+5k=8，解得k=1，∴AD=3，DE=5。
由相似三角形对应边成比例得：AD/BD=DC/DE。
∵AD=3，BD=4，DE=5，设DC=x，
∴3/4=x/5，解得x=15/4。

5. 如图,已知$\angle ABC= \angle CDB = 90^{\circ}$,$AC = a$,$BC = b$,当$BD与a$,$b$之间满足怎样的关系式时,$\triangle ABC与\triangle CDB$相似？

$BD=\frac{b^2}{a}$或$BD=\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。

解答：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AC=a$（斜边），$BC=b$（直角边），则由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{a^2-b^2}$。
在$Rt\triangle CDB$中，$\angle CDB=90°$，设$BD=x$（所求边），斜边为$BC=b$。
情况1：$\triangle ABC \sim \triangle CDB$
此时斜边对应斜边，直角边对应直角边，即$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BD}$。
代入得：$\frac{a}{b}=\frac{b}{x}$，解得$x=\frac{b^2}{a}$，即$BD=\frac{b^2}{a}$。
情况2：$\triangle ABC \sim \triangle BDC$
此时直角边对应直角边，斜边对应斜边，即$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}$。
代入得：$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{x}=\frac{a}{b}$，解得$x=\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，即$BD=\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。
综上，$BD=\frac{b^2}{a}$或$BD=\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是内角平分线,点$E在AC$边上,且$\angle AED= \angle ADB$.求证：(1)$\triangle ABD\backsim\triangle ADE$.(2)$AD^{2}= AB\cdot AE$.

(1)
$\because AD$是$BC$上角平分线，
$\therefore \angle BAD = \angle DAE$，
$\because \angle AED = \angle ADB$，
根据两角对应相等，两三角形相似，
$\therefore \triangle ABD \backsim \triangle ADE$。
(2)
由(1)得$\triangle ABD \backsim \triangle ADE$，
$\therefore \frac{AB}{AD} = \frac{AD}{AE}$，
$\therefore AD^{2} = AB \cdot AE$。