7. 元旦联欢会上,同学们玩抢凳子游戏,在与$A$,$B$,$C$三名同学距离相等的位置放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.如果将$A$,$B$,$C三名同学所在位置看作\triangle ABC$的三个顶点,那么凳子应该放在$\triangle ABC$的()
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点
D.三边垂直平分线的交点

D

要使凳子到三个顶点$A$，$B$，$C$的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。所以到三个顶点距离相等的点就是三角形三边垂直平分线的交点。而三边中线的交点是三角形的重心；三条角平分线的交点是三角形的内心；三边上高的交点是三角形的垂心，均不符合要求。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,$EF垂直平分AC$,交$AC于点F$,交$BC于点E$,且$BD = DE$,连结$AE$.
(1) 求证：$AB = EC$.
(2) 若$\triangle ABC的周长为32\mathrm{cm}$,$AC = 12\mathrm{cm}$,求$DC$的长.
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(1)见证明过程；(2)10cm。

(1)证明：
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=DE\\ ∠ADB=∠ADE\\ AD=AD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴AB=AE，
∴AB=EC。
(2)解：
∵△ABC周长为32cm，AC=12cm，
∴AB+BC+AC=32，即AB+BC=32-12=20cm。
设BD=DE=x，由(1)知AB=EC，设AB=EC=y，
则BC=BD+DE+EC=x+x+y=2x+y，
∴AB+BC=y+(2x+y)=2x+2y=20，
∴x+y=10。
∵DC=DE+EC=x+y，
∴DC=10cm。

9. 如图 1,在四边形$ABCD$中,$AD = CD$,$AB = CB$.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
【性质探究】
(1) 如图 1,连结筝形$ABCD的对角线AC$,$BD交于点O$,试探究筝形$ABCD$的性质,并填空.
对角线$AC$,$BD$的位置关系是：；$AO与CO$的数量关系是：.
【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝,她先固定中间的“十字架”,再确定四周.

(第9题)
(2) ①如图 2,从数学的角度看,秀秀确定“十字架”对角线$EG和HF$时应满足的条件是；
②借助图 2 以及①中所写条件,说明四边形$EHGF$是个“筝形”.

【应用拓展】
(3) 在“筝形”风筝$EHGF$中,已知$EG = 60\mathrm{cm}$,$HF = 40\mathrm{cm}$,求“筝形”风筝$EHGF$的面积.

(1) 垂直；AO=CO
(2)① EG垂直平分HF（或HF垂直平分EG）
② ∵EG垂直平分HF，∴EH=EF，GH=GF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴四边形EHGF是筝形。
(3) 1200cm²