解：由②，得 x = 。③
把③代入①，得 3(-15 - 4z) - 5z = 6 。
解得 z = 。
把 z = -3 代入③，得 x = 。
∴ 原方程组的解为$ \begin{cases} x = $, \\ z = $. \end{cases} $

解：将 x = -3 ， y = -1 代入②，得 -12 + b = -2 。所以 b = 。
将 x = 4 ， y = 3 代入①，得 4a + 3 = 15 。所以 a = 。
所以原方程组为$ \begin{cases} $$, ③ \\ 4x - 10y = -2. ④ \end{cases} ③×10 + ④，$得 34x = 148 。所以 x = 。将$ x = \frac{74}{17} $代入③，得$ 3×\frac{74}{17} + y = 15 。$所以 y = 。则$ x + 6y = \frac{74}{17} + \frac{198}{17} = $。

(1) 由②，得 $ x = -15 - 4z $。③
把③代入①，得 $ 3(-15 - 4z) - 5z = 6 $。
解得 $ z = -3 $。
把 $ z = -3 $ 代入③，得 $ x = -3 $。
∴ 原方程组的解为 $ \begin{cases} x = -3, \\ z = -3. \end{cases} $
(2) 方法一. 将 $ x = -3 $，$ y = -1 $ 代入②，
得 $ -12 + b = -2 $。所以 $ b = 10 $。
将 $ x = 4 $，$ y = 3 $ 代入①，得 $ 4a + 3 = 15 $。
所以 $ a = 3 $。
所以原方程组为 $ \begin{cases} 3x + y = 15, ③ \\ 4x - 10y = -2. ④ \end{cases} $
③×10 + ④，得 $ 34x = 148 $。所以 $ x = \frac{74}{17} $。
将 $ x = \frac{74}{17} $ 代入③，得 $ 3×\frac{74}{17} + y = 15 $。
所以 $ y = \frac{33}{17} $。则 $ x + 6y = \frac{74}{17} + \frac{198}{17} = 16 $。
方法二. 将 $ x = -3 $，$ y = -1 $ 代入②，
得 $ -12 + b = -2 $。所以 $ b = 10 $。
将 $ x = 4 $，$ y = 3 $ 代入①，得 $ 4a + 3 = 15 $。
所以 $ a = 3 $。
所以原方程组为 $ \begin{cases} 3x + y = 15, ③ \\ 4x - 10y = -2. ④ \end{cases} $
由④，得 $ 2x - 5y = -1 $。⑤
由③ - ⑤，得 $ x + 6y = 16 $。

12. 国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动. 班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买). 其中笔记本每本3元,碳素笔每支2元,共花费28元,试求共有几种购买方案.

设购买笔记本 $ x $ 本，碳素笔 $ y $ 支。
根据题意，得 $ 3x + 2y = 28 $。
∴ $ y = 14 - \frac{3}{2}x $。
∵ $ x $，$ y $ 均为正整数，
∴ $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 11 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 8 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 6, \\ y = 5 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 8, \\ y = 2 \end{cases} $
答：共有 4 种购买方案。