16. 定义:若一个三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”,这三个正整数叫作一组勾股数,如:3,4,5是一组勾股数.
(1)判断8,15,17是不是一组勾股数,并说明理由;
(2)在研究直角三角形的勾股数时,哲学家柏拉图曾指出:如果$n$表示大于1的整数,$x = 2n$,$y = n^{2}-1$,$z = n^{2}+1$,那么以$x$,$y$,$z$为三边的三角形为直角三角形(即$x$,$y$,$z$为勾股数),请你加以证明.

(1)8,15,17是一组勾股数.理由如下:$\because 8^{2}+15^{2}=64 + 225 = 289 = 17^{2}$，$\therefore$ 8,15,17是一组勾股数 (2)$\because x^{2}+y^{2}=(2n)^{2}+(n^{2}-1)^{2}=4n^{2}+n^{4}-2n^{2}+1=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=z^{2}$，$\therefore$ 以$x$，$y$，$z$为三边的三角形为直角三角形，即$x$，$y$，$z$为勾股数

17. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$的中点,$DE⊥BC$,垂足为$D$,交$AB于点E$,且$BE^{2}-EA^{2}= AC^{2}$.
(1)求证:$∠A= 90^{\circ}$;
(2)若$DE= 3$,$BD= 4$,求$AE$的长.

(1)连接$CE$，$\because D$是$BC$的中点，$DE \perp BC$，$\therefore CE = BE$，$\because BE^{2}-EA^{2}=AC^{2}$，$\therefore CE^{2}-EA^{2}=AC^{2}$，$\therefore EA^{2}+AC^{2}=CE^{2}$，$\therefore \triangle ACE$是直角三角形，即$\angle A = 90^{\circ}$ (2)$\because DE = 3$，$BD = 4$，$\therefore BE = CE=\sqrt{DE^{2}+BD^{2}}=5$，$\therefore AC^{2}=EC^{2}-AE^{2}=25 - AE^{2}$，$\because BC = 2BD = 8$，$\therefore$ 在$Rt\triangle ABC$中由勾股定理可得$AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=64-(5 + AE)^{2}$，$\therefore 64-(5 + AE)^{2}=25 - AE^{2}$，解得$AE=\frac{7}{5}$

18. 某广场平坦开阔,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度$CE$,他们进行了如下操作:①测得水平距离$BD的长为15\ \text{m}$;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$BC的长为25\ \text{m}$;③牵线放风筝的小明的身高为$1.6\ \text{m}$.
(1)求风筝的垂直高度$CE$;
(2)如果小明想风筝沿$CD方向下降12\ \text{m}$,则他应该往回收线多少米?

(1)在$Rt\triangle CDB$中，由勾股定理，得$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=25^{2}-15^{2}=400$，$\therefore CD = 20$(负值舍去)，$\therefore CE = CD + DE = 20 + 1.6 = 21.6$(m)，答:风筝的高度$CE$为 21.6 米 (2)设风筝沿$CD$方向下降到点$M$处.由题意，得$CM = 12$ m，$\therefore DM = 8$ m，$\therefore BM=\sqrt{DM^{2}+BD^{2}}=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=17$(m)，$\therefore BC - BM = 25 - 17 = 8$(m)，$\therefore$ 他应该往回收线 8 米