1. 如图，已知线段$AC=12$，延长线段$CA$至点$B$，使得$AB=\frac{2}{3}AC$，则线段$BC$的长是（）


A.14
B.16
C.18
D.20

1. D 【解析】因为 $AB=\frac{2}{3}AC,AC=12$,所以 $AB=8$,所以 $BC=AB+AC=20$.

2. 如图，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，$D$为线段$AC$的中点，则线段$BD$的长是（）


A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$1\ \mathrm{cm}$

2. D 【解析】因为 $AB=4\ \mathrm{cm},BC=2\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=AB+BC=6(\mathrm{cm})$. 因为 $D$ 为线段 $AC$ 的中点，所以 $AD=CD=\frac{1}{2}AC=3(\mathrm{cm})$,所以 $BD=CD-BC=3-2=1(\mathrm{cm})$.

3.如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，则下列结论错误的是 （）


A.$CD=\frac{1}{4}AB$
B.$AD=AB-DB$
C.$AB=BC+2CD$
D.$AD=2CD$

3. D 【解析】因为 $C$ 是线段 $AB$ 的中点，所以 $AC=BC=\frac{1}{2}AB$. 因为 $D$ 是线段 $BC$ 的中点，所以 $CD=DB=\frac{1}{2}BC$,所以 $CD=\frac{1}{4}AB$,故 A 正确；因为 $AD+DB=AB$,所以 $AD=AB-DB$,故 B 正确；因为 $AB=BC+AC,AC=BC=2CD$,所以 $AB=BC+2CD$,故 C 正确；因为 $AD=AC+CD,AC=2CD$,所以 $AD=3CD$,故 D 错误. 故选 D.

4.如图,已知 C 为线段 AB 上一点,AC=30 cm, BC=$\frac{2}{5}$AC, D,E 分别为线段 AC,AB 的中点,求线段 DE 的长.

4.【解】 因为 $BC=\frac{2}{5}AC,AC=30\ \mathrm{cm}$,所以 $BC=\frac{2}{5}×30=12(\mathrm{cm})$,所以 $AB=AC+BC=42(\mathrm{cm})$. 因为 $E$ 为线段 $AB$ 的中点，所以 $AE=\frac{1}{2}AB=21(\mathrm{cm})$. 因为 $D$ 为线段 $AC$ 的中点，所以 $AD=\frac{1}{2}AC=15(\mathrm{cm})$,所以 $DE=AE-AD=6(\mathrm{cm})$.

5.已知线段$AB=12$，C是直线AB上的一点，且$BC=\frac{1}{3}AB$，那么A，C两点间的距离是。

5. 8 或 16 【解析】因为 $AB=12,BC=\frac{1}{3}AB$,所以 $BC=\frac{1}{3}×12=4$.
分两种情况：
① 如图①,点 $C$ 在线段 $AB$ 上,则 $AC=AB-BC=12-4=8$；
② 如图②,点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上,则 $AC=AB+BC=12+4=16$.
综上所述,A,C 两点间的距离是 8 或 16.

6.已知C是线段AB上一点(点C与点A,B不重合),在三条线段AC,BC,AB中,如果其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍,那么称点C为线段AB的“巧点”.如果线段AB=12,点C为线段AB的“巧点”,那么线段AC的长度是.

6. 4 或 6 或 8 【解析】由题意,三条线段 $AC,BC,AB$ 的长度关系可分以下三种情况.
① 若 $AC=2BC$,则 $AC=\frac{2}{3}AB=8$；
② 若 $BC=2AC$,则 $AC=\frac{1}{3}AB=4$；
③ 若 $AB=2AC$,则 $AC=\frac{1}{2}AB=6$.
故线段 $AC$ 的长度是 4 或 6 或 8.

7. 如图，O是线段AB上一点，P是线段AO的中点，Q是线段BO的中点.

(1)若$AB=24\ \mathrm{cm}$，$AP=5\ \mathrm{cm}$，求线段$OQ$的长；
(2)若$PQ=9\ \mathrm{cm}$，求线段$AB$的长.

7.【解】(1) 因为 $P$ 是线段 $AO$ 的中点，$AP=5\ \mathrm{cm}$,所以 $AO=2AP=10(\mathrm{cm})$. 又因为 $AB=24\ \mathrm{cm}$,所以 $BO=AB-AO=14(\mathrm{cm})$. 因为 $Q$ 是线段 $BO$ 的中点，所以 $OQ=\frac{1}{2}BO=7(\mathrm{cm})$.
(2) 因为 $P$ 是线段 $AO$ 的中点，$Q$ 是线段 $BO$ 的中点，所以 $PO=\frac{1}{2}AO,OQ=\frac{1}{2}BO$,所以 $PO+OQ=\frac{1}{2}AO+\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}(AO+BO)=\frac{1}{2}AB$,即 $PQ=\frac{1}{2}AB$,所以 $AB=2PQ=18(\mathrm{cm})$.