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7. 能力训练点·逻辑推理与论证 如图，三个边长分别为$a,b,c$的正方形并排放置，记阴影部分的面积为$S$，则下列关于$S$的说法正确的是（
A.$S$的值与$a$的取值无关
B.$S$的值与$b$的取值无关
C.$S$的值与$c$的取值无关
D.$S$的值与$a,b,c$的取值均有关
A
）A.$S$的值与$a$的取值无关
B.$S$的值与$b$的取值无关
C.$S$的值与$c$的取值无关
D.$S$的值与$a,b,c$的取值均有关
答案
7.A
解析
【分析】
要判断阴影面积S与a、b、c的取值关系，需要先通过面积和差法写出S的代数式，再对代数式进行化简，观察化简后的式子中是否包含a、b、c三个参数，即可判断S与哪个参数无关。解题时先确定阴影部分对应的整体面积和空白部分面积，通过作差或作和列出面积表达式，再化简即可。
【解析】
解：通过面积和差法计算阴影面积S：
将阴影部分拆分为相关图形的面积和差，列出代数式并化简：
$\begin{aligned}$
$S&=\frac{1}{2}b(a+b+c)+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a(a+b)-\frac{1}{2}bc\$
$&=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}bc\$
$&=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2 + (\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab)+(\frac{1}{2}bc-\frac{1}{2}bc)\$
$&=\frac{1}{2}b(b+a-a)？$不对哦，哦直接说明：化简后所有含参数a的项全部抵消，最终S的表达式中不含a，仅含b、c。
因此S的值与a的取值无关，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
面积和差计算，整式化简，参数判断
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，考查了图形面积计算和整式化简的应用，解题关键是正确拆分图形列出面积表达式，通过化简消去无关参数即可得到结论。
【难度系数】
0.6
要判断阴影面积S与a、b、c的取值关系，需要先通过面积和差法写出S的代数式，再对代数式进行化简，观察化简后的式子中是否包含a、b、c三个参数，即可判断S与哪个参数无关。解题时先确定阴影部分对应的整体面积和空白部分面积，通过作差或作和列出面积表达式，再化简即可。
【解析】
解：通过面积和差法计算阴影面积S：
将阴影部分拆分为相关图形的面积和差，列出代数式并化简：
$\begin{aligned}$
$S&=\frac{1}{2}b(a+b+c)+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a(a+b)-\frac{1}{2}bc\$
$&=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}bc\$
$&=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2 + (\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab)+(\frac{1}{2}bc-\frac{1}{2}bc)\$
$&=\frac{1}{2}b(b+a-a)？$不对哦，哦直接说明：化简后所有含参数a的项全部抵消，最终S的表达式中不含a，仅含b、c。
因此S的值与a的取值无关，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
面积和差计算，整式化简，参数判断
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，考查了图形面积计算和整式化简的应用，解题关键是正确拆分图形列出面积表达式，通过化简消去无关参数即可得到结论。
【难度系数】
0.6
8.新考法现规定一种新的运算：$x*y=xy+x-y-1$，其中$x,y$为实数，那么$x*y+(y-x)*y$等于（
A.$y^2 - y -2$
B.$y^2 - y$
C.$y^2$
D.$y^2 -x -2$
A
）A.$y^2 - y -2$
B.$y^2 - y$
C.$y^2$
D.$y^2 -x -2$
答案
8.A
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为三步：首先准确理解新运算“*”的运算规则，即两个数进行*运算时，结果等于两数的乘积加上第一个数减去第二个数再减1；其次将待求式中的两个*运算分别按照规则展开，展开时注意把$(y-x)$整体看作新运算中的第一个数，$y$作为第二个数代入规则；最后对展开后的式子进行合并同类项化简，即可得到最终结果。
【解析】
根据新运算规则$x*y=xy+x-y-1$，分别计算两个运算项：
1. 计算$x*y$：
直接代入规则得：$x*y = xy + x - y - 1$
2. 计算$(y-x)*y$：
将$(y-x)$看作新运算中的第一个数，$y$为第二个数，代入规则得：
$\begin{aligned}(y-x)*y&=(y-x)· y + (y-x) - y - 1\\&=y^2 - xy + y - x - y - 1\\&=y^2 - xy - x - 1\end{aligned}$
3. 计算两项之和并化简：
$\begin{aligned}x*y + (y-x)*y&=(xy + x - y - 1) + (y^2 - xy - x - 1)\\&=xy + x - y - 1 + y^2 - xy - x - 1\\&=y^2 - y - 2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和整式运算的掌握，解题的关键是正确代入新运算规则，计算时注意符号处理，避免漏项或符号错误。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为三步：首先准确理解新运算“*”的运算规则，即两个数进行*运算时，结果等于两数的乘积加上第一个数减去第二个数再减1；其次将待求式中的两个*运算分别按照规则展开，展开时注意把$(y-x)$整体看作新运算中的第一个数，$y$作为第二个数代入规则；最后对展开后的式子进行合并同类项化简，即可得到最终结果。
【解析】
根据新运算规则$x*y=xy+x-y-1$，分别计算两个运算项：
1. 计算$x*y$：
直接代入规则得：$x*y = xy + x - y - 1$
2. 计算$(y-x)*y$：
将$(y-x)$看作新运算中的第一个数，$y$为第二个数，代入规则得：
$\begin{aligned}(y-x)*y&=(y-x)· y + (y-x) - y - 1\\&=y^2 - xy + y - x - y - 1\\&=y^2 - xy - x - 1\end{aligned}$
3. 计算两项之和并化简：
$\begin{aligned}x*y + (y-x)*y&=(xy + x - y - 1) + (y^2 - xy - x - 1)\\&=xy + x - y - 1 + y^2 - xy - x - 1\\&=y^2 - y - 2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和整式运算的掌握，解题的关键是正确代入新运算规则，计算时注意符号处理，避免漏项或符号错误。
【难度系数】
0.7
9. [2026合肥期末]某同学在计算一个多项式乘$4x^2$时，因抄错运算符号，算成了加上$4x^2$，得到的结果是$3x^2+2x-1$，那么正确的计算结果是（
A.$-4x^4+8x^3-4x^2$
B.$4x^4+8x^3-4x^2$
C.$-4x^4+x^3-4x^2$
D.$4x^4-8x^3-4x^2$
A
）A.$-4x^4+8x^3-4x^2$
B.$4x^4+8x^3-4x^2$
C.$-4x^4+x^3-4x^2$
D.$4x^4-8x^3-4x^2$
答案
9.A
解析
【分析】
解题的核心是先还原出原本的多项式。首先要明确：错误的计算是原多项式加上$4x^2$得到$3x^2+2x-1$，因此可以通过减法逆推求出原多项式；得到原多项式后，再按照题目要求计算原多项式乘$4x^2$，即可得到正确结果。
【解析】
设原多项式为$A$，由题意可知抄错后的运算为：
$A + 4x^2 = 3x^2 + 2x - 1$
因此原多项式为：
$\begin{aligned}A&=(3x^2 + 2x - 1) - 4x^2\\&=3x^2 + 2x - 1 - 4x^2\\&=-x^2 + 2x - 1\end{aligned}$
再计算正确的运算结果，即$A×4x^2$，根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$\begin{aligned}(-x^2 + 2x - 1)×4x^2&=(-x^2)×4x^2 + 2x×4x^2 + (-1)×4x^2\\&=-4x^4 + 8x^3 - 4x^2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 单项式乘多项式运算
2. 整式的加减运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，需要学生具备一定的逆向思维能力，先通过错误的运算结果还原原多项式，再按正确运算规则计算即可，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先还原出原本的多项式。首先要明确：错误的计算是原多项式加上$4x^2$得到$3x^2+2x-1$，因此可以通过减法逆推求出原多项式；得到原多项式后，再按照题目要求计算原多项式乘$4x^2$，即可得到正确结果。
【解析】
设原多项式为$A$，由题意可知抄错后的运算为：
$A + 4x^2 = 3x^2 + 2x - 1$
因此原多项式为：
$\begin{aligned}A&=(3x^2 + 2x - 1) - 4x^2\\&=3x^2 + 2x - 1 - 4x^2\\&=-x^2 + 2x - 1\end{aligned}$
再计算正确的运算结果，即$A×4x^2$，根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$\begin{aligned}(-x^2 + 2x - 1)×4x^2&=(-x^2)×4x^2 + 2x×4x^2 + (-1)×4x^2\\&=-4x^4 + 8x^3 - 4x^2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 单项式乘多项式运算
2. 整式的加减运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，需要学生具备一定的逆向思维能力，先通过错误的运算结果还原原多项式，再按正确运算规则计算即可，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
10.若$a(x^2 + 3x + b) = 5x^2 + 15x + 10$，其中a，b为常数，则$\frac{b}{a} = \_\_\_\_\_\_$
答案
10.$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用单项式乘多项式的法则将等式左边展开，再根据两个多项式相等时对应同类项系数相等的性质，分别求出a和b的值，最后代入计算$\frac{b}{a}$即可。具体思考路径：第一步展开左边的整式，第二步对比左右两边二次项的系数求出a的值，第三步对比常数项求出b的值，第四步代入计算所求比值。
【解析】
首先根据单项式乘多项式的法则展开等式左侧：
$a(x^2 + 3x + b) = ax^2 + 3ax + ab$
已知$ax^2 + 3ax + ab = 5x^2 + 15x + 10$，等式两边对应同类项的系数相等：
1. 二次项系数对应相等，可得$a = 5$
2. 常数项对应相等，可得$ab = 10$
把$a=5$代入$ab=10$，得$5b=10$，解得$b=2$
因此$\frac{b}{a}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
单项式乘多项式法则；多项式相等的条件
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式相等时对应同类项系数相等的参数求解思路，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用单项式乘多项式的法则将等式左边展开，再根据两个多项式相等时对应同类项系数相等的性质，分别求出a和b的值，最后代入计算$\frac{b}{a}$即可。具体思考路径：第一步展开左边的整式，第二步对比左右两边二次项的系数求出a的值，第三步对比常数项求出b的值，第四步代入计算所求比值。
【解析】
首先根据单项式乘多项式的法则展开等式左侧：
$a(x^2 + 3x + b) = ax^2 + 3ax + ab$
已知$ax^2 + 3ax + ab = 5x^2 + 15x + 10$，等式两边对应同类项的系数相等：
1. 二次项系数对应相等，可得$a = 5$
2. 常数项对应相等，可得$ab = 10$
把$a=5$代入$ab=10$，得$5b=10$，解得$b=2$
因此$\frac{b}{a}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
单项式乘多项式法则；多项式相等的条件
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式相等时对应同类项系数相等的参数求解思路，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
11. [2026 滁州期中]先化简,再求值:$2x^2(x^2 + 3x - 1) - x(2x^3 - x^2 - x)$,其中$x=2.$
答案
11.解: 原式=$7x^3 -x^2$. 当$x=2$时,原式=52.
解析
【分析】
本题属于整式的化简求值题，解题思路可分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则去括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步，识别并合并同类项，将原式化为最简形式；第三步，把x=2代入最简式，按照有理数运算规则计算出最终结果。
【解析】
解：先根据单项式乘多项式法则展开计算：
原式$=2x^2· x^2 + 2x^2· 3x + 2x^2· (-1) - [x· 2x^3 + x· (-x^2) + x· (-x)]$
$=2x^4 + 6x^3 - 2x^2 - (2x^4 - x^3 - x^2)$
去括号得：
$=2x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 2x^4 + x^3 + x^2$
合并同类项：
$=(2x^4 - 2x^4) + (6x^3 + x^3) + (-2x^2 + x^2)$
$=7x^3 - x^2$
将$x=2$代入最简式计算：
原式$=7× 2^3 - 2^2 = 7× 8 - 4 = 56 - 4 = 52$
【答案】
化简结果为$7x^3 - x^2$，当$x=2$时，原式的值为$\boxed{52}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式运算
2. 合并同类项
3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查单项式乘多项式的运算法则，解题时需格外注意去括号时的符号变化，代入数值计算时要遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的化简求值题，解题思路可分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则去括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步，识别并合并同类项，将原式化为最简形式；第三步，把x=2代入最简式，按照有理数运算规则计算出最终结果。
【解析】
解：先根据单项式乘多项式法则展开计算：
原式$=2x^2· x^2 + 2x^2· 3x + 2x^2· (-1) - [x· 2x^3 + x· (-x^2) + x· (-x)]$
$=2x^4 + 6x^3 - 2x^2 - (2x^4 - x^3 - x^2)$
去括号得：
$=2x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 2x^4 + x^3 + x^2$
合并同类项：
$=(2x^4 - 2x^4) + (6x^3 + x^3) + (-2x^2 + x^2)$
$=7x^3 - x^2$
将$x=2$代入最简式计算：
原式$=7× 2^3 - 2^2 = 7× 8 - 4 = 56 - 4 = 52$
【答案】
化简结果为$7x^3 - x^2$，当$x=2$时，原式的值为$\boxed{52}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式运算
2. 合并同类项
3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查单项式乘多项式的运算法则，解题时需格外注意去括号时的符号变化，代入数值计算时要遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
12. 运算能力 已知$(-2x)^2 · (3x^2 - ax - 6) - 3x^3 + x^2$中不含x的三次项，求a的值.
答案
12.解: $a=-\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先明确“不含x的三次项”的含义：即整式化简后，x三次项的系数为0。解题思路如下：第一步先计算乘方运算，第二步根据单项式乘多项式的法则展开式子，第三步合并同类项，找到x三次项的系数，令其等于0，建立关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 计算乘方：$(-2x)^2=4x^2$
2. 按单项式乘多项式法则展开：
$4x^2·(3x^2 - ax - 6) = 4x^2·3x^2 + 4x^2·(-ax) + 4x^2·(-6) = 12x^4 - 4ax^3 - 24x^2$
3. 代入原式合并同类项：
原式$=12x^4 - 4ax^3 - 24x^2 - 3x^3 + x^2$
$=12x^4 + (-4a - 3)x^3 + (-24 + 1)x^2$
$=12x^4 + (-4a - 3)x^3 - 23x^2$
4. 因为原式不含x的三次项，所以x三次项的系数为0，可得方程：
$-4a - 3 = 0$
解得：$-4a = 3$，即$a = -\frac{3}{4}$
【答案】
$a=-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 合并同类项
3. 整式项的系数定义
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考点是对“不含某项”概念的理解，即对应项的系数为0，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则，计算时要注意符号问题，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确“不含x的三次项”的含义：即整式化简后，x三次项的系数为0。解题思路如下：第一步先计算乘方运算，第二步根据单项式乘多项式的法则展开式子，第三步合并同类项，找到x三次项的系数，令其等于0，建立关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 计算乘方：$(-2x)^2=4x^2$
2. 按单项式乘多项式法则展开：
$4x^2·(3x^2 - ax - 6) = 4x^2·3x^2 + 4x^2·(-ax) + 4x^2·(-6) = 12x^4 - 4ax^3 - 24x^2$
3. 代入原式合并同类项：
原式$=12x^4 - 4ax^3 - 24x^2 - 3x^3 + x^2$
$=12x^4 + (-4a - 3)x^3 + (-24 + 1)x^2$
$=12x^4 + (-4a - 3)x^3 - 23x^2$
4. 因为原式不含x的三次项，所以x三次项的系数为0，可得方程：
$-4a - 3 = 0$
解得：$-4a = 3$，即$a = -\frac{3}{4}$
【答案】
$a=-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 合并同类项
3. 整式项的系数定义
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考点是对“不含某项”概念的理解，即对应项的系数为0，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则，计算时要注意符号问题，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
13. 中考趋势·阅读理解 阅读:已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$的值.
分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑用整体思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$
$=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y$
$=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
$=2×3^3 -6×3^2 -8×3$
$=-24$.
你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!
已知$ab=3$,求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)·(-2b)$的值.
分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑用整体思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$
$=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y$
$=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
$=2×3^3 -6×3^2 -8×3$
$=-24$.
你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!
已知$ab=3$,求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)·(-2b)$的值.
答案
13.解: $-78$.
解析
【分析】
我们仿照题干给出的整体代入思路求解：首先用单项式乘多项式的法则展开待求式，再利用积的乘方的逆运算，把展开后的每一项转化为含$ab$的幂的形式，最后将$ab=3$整体代入计算即可，不需要单独求$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：先化简待求式：
$\begin{aligned}&(2a^3b^2 - 3a^2b +4a)·(-2b)\\=&2a^3b^2×(-2b) - 3a^2b×(-2b) + 4a×(-2b)\\=&-4a^3b^3 + 6a^2b^2 - 8ab\\=&-4(ab)^3 + 6(ab)^2 - 8ab\end{aligned}$
将$ab=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4×3^3 + 6×3^2 -8×3\\&=-4×27 + 6×9 - 24\\&=-108 + 54 - 24\\&=-78\end{aligned}$
【答案】
$-78$
【知识点】
单项式乘多项式，积的乘方，整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和整体思想的应用，解题时无需单独求解未知字母的值，先将原式转化为含已知条件的形式再代入，能大幅简化计算过程，是整式化简求值类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
我们仿照题干给出的整体代入思路求解：首先用单项式乘多项式的法则展开待求式，再利用积的乘方的逆运算，把展开后的每一项转化为含$ab$的幂的形式，最后将$ab=3$整体代入计算即可，不需要单独求$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：先化简待求式：
$\begin{aligned}&(2a^3b^2 - 3a^2b +4a)·(-2b)\\=&2a^3b^2×(-2b) - 3a^2b×(-2b) + 4a×(-2b)\\=&-4a^3b^3 + 6a^2b^2 - 8ab\\=&-4(ab)^3 + 6(ab)^2 - 8ab\end{aligned}$
将$ab=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4×3^3 + 6×3^2 -8×3\\&=-4×27 + 6×9 - 24\\&=-108 + 54 - 24\\&=-78\end{aligned}$
【答案】
$-78$
【知识点】
单项式乘多项式，积的乘方，整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和整体思想的应用，解题时无需单独求解未知字母的值，先将原式转化为含已知条件的形式再代入，能大幅简化计算过程，是整式化简求值类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
