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【例1】 计算：
(1)$(-8)×9×(-1.25)×(-\dfrac{1}{9})$.
(2)$(-0.25)×32×0.125×(-\dfrac{3}{4})$.
(1)$(-8)×9×(-1.25)×(-\dfrac{1}{9})$.
(2)$(-0.25)×32×0.125×(-\dfrac{3}{4})$.
答案
(1)原式$=[(-8)×(-1.25)]×[9×(-\frac{1}{9})]=10×(-1)=-10.$
(2)原式$=[(-\frac{1}{4})×32×\frac{1}{8}]×(-\frac{3}{4})=(-1)×(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}.$
(2)原式$=[(-\frac{1}{4})×32×\frac{1}{8}]×(-\frac{3}{4})=(-1)×(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}.$
解析
【分析】
这两道题都是多个有理数相乘的计算，可利用乘法运算律简化计算。解题时先观察因数的特征：(1)中-8与-1.25的乘积为整数，9与$-\frac{1}{9}$互为倒数，乘积为整数，因此可以用乘法交换律、结合律将这两组分别组合先算；(2)先把小数统一转化为分数，可发现$-\frac{1}{4}$、32、$\frac{1}{8}$的乘积为整数，先分组计算这部分，再乘剩余的因数即可，计算时注意先确定符号再算绝对值。
【解析】
(1) 利用乘法交换律和结合律调整运算顺序：
原式$=[(-8)×(-1.25)]×[9×(-\frac{1}{9})]$
先计算每组内的乘积：$(-8)×(-1.25)=10$，$9×(-\frac{1}{9})=-1$
再计算两组的乘积：$10×(-1)=-10$
(2) 先将小数转化为分数：$-0.25=-\frac{1}{4}$，$0.125=\frac{1}{8}$，代入原式后利用乘法结合律分组：
原式$=[(-\frac{1}{4})×32×\frac{1}{8}]×(-\frac{3}{4})$
先计算括号内的乘积：$(-\frac{1}{4})×32=-8$，$-8×\frac{1}{8}=-1$
再计算剩余乘积：$(-1)×(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$-10$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
1.有理数乘法法则 2.乘法交换律 3.乘法结合律
【点评】
本题考查有理数乘法的简便运算，解题核心是观察因数特点，合理运用运算律将能凑整、互为倒数的因数优先计算，既能提高计算效率，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
这两道题都是多个有理数相乘的计算，可利用乘法运算律简化计算。解题时先观察因数的特征：(1)中-8与-1.25的乘积为整数，9与$-\frac{1}{9}$互为倒数，乘积为整数，因此可以用乘法交换律、结合律将这两组分别组合先算；(2)先把小数统一转化为分数，可发现$-\frac{1}{4}$、32、$\frac{1}{8}$的乘积为整数，先分组计算这部分，再乘剩余的因数即可，计算时注意先确定符号再算绝对值。
【解析】
(1) 利用乘法交换律和结合律调整运算顺序：
原式$=[(-8)×(-1.25)]×[9×(-\frac{1}{9})]$
先计算每组内的乘积：$(-8)×(-1.25)=10$，$9×(-\frac{1}{9})=-1$
再计算两组的乘积：$10×(-1)=-10$
(2) 先将小数转化为分数：$-0.25=-\frac{1}{4}$，$0.125=\frac{1}{8}$，代入原式后利用乘法结合律分组：
原式$=[(-\frac{1}{4})×32×\frac{1}{8}]×(-\frac{3}{4})$
先计算括号内的乘积：$(-\frac{1}{4})×32=-8$，$-8×\frac{1}{8}=-1$
再计算剩余乘积：$(-1)×(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$-10$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
1.有理数乘法法则 2.乘法交换律 3.乘法结合律
【点评】
本题考查有理数乘法的简便运算，解题核心是观察因数特点，合理运用运算律将能凑整、互为倒数的因数优先计算，既能提高计算效率，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
【例2】 计算：
(1)$(-20)×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})×(-6).$
(2)$-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34.$
(1)$(-20)×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})×(-6).$
(2)$-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34.$
答案
(1)原式$=(-20)×(-6)×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})=120×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})=70-100+90=60.$
(2)原式$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})×0.34=-13×1-1×0.34=-13-0.34=-13.34.$
(2)原式$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})×0.34=-13×1-1×0.34=-13-0.34=-13.34.$
解析
【分析】
这两道题都可通过乘法运算律简化计算，避免复杂通分或运算：
(1) 观察算式发现-20与-6相乘可得正整数120，先利用乘法交换律交换括号与(-6)的位置，先算(-20)×(-6)得到整数120，再利用乘法分配律将120分别乘括号内的每一项，直接约分后再加减即可得到结果。
(2) 观察算式发现有两个含因数-13的项、两个含因数0.34的项，先将同因数的项归类，逆用乘法分配律（提取公因式），分别计算括号内的和，再做乘法和加减运算，大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 利用乘法交换律调整运算顺序：
$\begin{aligned}原式&=(-20)×(-6)×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})\\&=120×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})\\&=120×\frac{7}{12} - 120×\frac{5}{6} + 120×\frac{3}{4}\\&=70 - 100 + 90\\&=60\end{aligned}$
(2) 归类同因数项，逆用乘法分配律：
$\begin{aligned}原式&=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) - 0.34×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\&=-13×1 - 0.34×1\\&=-13 - 0.34\\&=-13.34\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{60}$；(2) $\boxed{-13.34}$
【知识点】
乘法交换律；乘法分配律；有理数简便运算
【点评】
这类运算题的核心是观察算式的结构特征，灵活运用乘法运算律凑整，减少通分、硬算带来的计算失误，有效提升运算的准确率和速度。
【难度系数】
0.7
这两道题都可通过乘法运算律简化计算，避免复杂通分或运算：
(1) 观察算式发现-20与-6相乘可得正整数120，先利用乘法交换律交换括号与(-6)的位置，先算(-20)×(-6)得到整数120，再利用乘法分配律将120分别乘括号内的每一项，直接约分后再加减即可得到结果。
(2) 观察算式发现有两个含因数-13的项、两个含因数0.34的项，先将同因数的项归类，逆用乘法分配律（提取公因式），分别计算括号内的和，再做乘法和加减运算，大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 利用乘法交换律调整运算顺序：
$\begin{aligned}原式&=(-20)×(-6)×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})\\&=120×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})\\&=120×\frac{7}{12} - 120×\frac{5}{6} + 120×\frac{3}{4}\\&=70 - 100 + 90\\&=60\end{aligned}$
(2) 归类同因数项，逆用乘法分配律：
$\begin{aligned}原式&=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) - 0.34×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\&=-13×1 - 0.34×1\\&=-13 - 0.34\\&=-13.34\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{60}$；(2) $\boxed{-13.34}$
【知识点】
乘法交换律；乘法分配律；有理数简便运算
【点评】
这类运算题的核心是观察算式的结构特征，灵活运用乘法运算律凑整，减少通分、硬算带来的计算失误，有效提升运算的准确率和速度。
【难度系数】
0.7
【例3】 计算：
(1)$(-50)×999$.
(2)$-49\dfrac{15}{16}×(-8)$.
(1)$(-50)×999$.
(2)$-49\dfrac{15}{16}×(-8)$.
答案
(1)原式$=(-50)×(1\ 000-1)=(-50)×1\ 000-(-50)×1=-50\ 000+50=-49\ 950.$
(2)原式$=49\frac{15}{16}×8=(50-\frac{1}{16})×8=400-\frac{1}{2}=399\frac{1}{2}.$
(2)原式$=49\frac{15}{16}×8=(50-\frac{1}{16})×8=400-\frac{1}{2}=399\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
这两道题均可通过拆分数字，结合乘法分配律实现简便计算，避免大数直接相乘的复杂运算。(1)中999接近整千数1000，可将999改写为$(1000-1)$，再利用乘法分配律展开计算，同时注意负号的运算规则；(2)首先根据“负负得正”确定结果符号为正，其次$49\dfrac{15}{16}$接近整十数50，可将其改写为$(50-\dfrac{1}{16})$，再利用乘法分配律和8相乘，简化计算过程。
【解析】
(1) 原式$=(-50)×(1000-1)$
$=(-50)×1000 - (-50)×1$
$=-50000 + 50$
$=-49950$
(2) 原式$=49\dfrac{15}{16}×8$
$=(50-\dfrac{1}{16})×8$
$=50×8 - \dfrac{1}{16}×8$
$=400 - \dfrac{1}{2}$
$=399\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$-49950$；(2)$399\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是运用乘法运算律简便计算的典型习题，解题关键是观察数字特征，将接近整十、整百的数拆分为整十/整百数与一个较小数的和或差，再结合乘法分配律计算，能有效降低计算量，运算时要注意符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
这两道题均可通过拆分数字，结合乘法分配律实现简便计算，避免大数直接相乘的复杂运算。(1)中999接近整千数1000，可将999改写为$(1000-1)$，再利用乘法分配律展开计算，同时注意负号的运算规则；(2)首先根据“负负得正”确定结果符号为正，其次$49\dfrac{15}{16}$接近整十数50，可将其改写为$(50-\dfrac{1}{16})$，再利用乘法分配律和8相乘，简化计算过程。
【解析】
(1) 原式$=(-50)×(1000-1)$
$=(-50)×1000 - (-50)×1$
$=-50000 + 50$
$=-49950$
(2) 原式$=49\dfrac{15}{16}×8$
$=(50-\dfrac{1}{16})×8$
$=50×8 - \dfrac{1}{16}×8$
$=400 - \dfrac{1}{2}$
$=399\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$-49950$；(2)$399\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是运用乘法运算律简便计算的典型习题，解题关键是观察数字特征，将接近整十、整百的数拆分为整十/整百数与一个较小数的和或差，再结合乘法分配律计算，能有效降低计算量，运算时要注意符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
【例4】 🆕 新考向·阅读理解 阅读下列材料：
小明在研究有理数的除法时，发现$6÷3=2,3÷6=\frac{1}{2},4÷\frac{1}{2}=8,\frac{1}{2}÷4=\frac{1}{8}$. 所以他得出结论：$a÷ b=\frac{a}{b}$与$b÷ a=\frac{b}{a}$的结果互为倒数. 小明利用这一结论计算$\frac{1}{12}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$的过程如下：
解：因为$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{12}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×12$
$=\frac{1}{3}×12-\frac{1}{4}×12+\frac{1}{12}×12$
$=2,$
所以$\frac{1}{12}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})=\frac{1}{2}.$
请仿照上述方法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}).$
小明在研究有理数的除法时，发现$6÷3=2,3÷6=\frac{1}{2},4÷\frac{1}{2}=8,\frac{1}{2}÷4=\frac{1}{8}$. 所以他得出结论：$a÷ b=\frac{a}{b}$与$b÷ a=\frac{b}{a}$的结果互为倒数. 小明利用这一结论计算$\frac{1}{12}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$的过程如下：
解：因为$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{12}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×12$
$=\frac{1}{3}×12-\frac{1}{4}×12+\frac{1}{12}×12$
$=2,$
所以$\frac{1}{12}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})=\frac{1}{2}.$
请仿照上述方法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}).$
答案
因为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)=-7+9-28+12=-14$,所以$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})=-\frac{1}{14}.$
解析
【分析】
观察所求的除法算式，若直接计算括号内的分数加减法，需要先通分，计算量较大。根据材料给出的结论：$a÷b$与$b÷a$的结果互为倒数，我们可以先调换被除数和除数的位置，计算括号内的式子除以$(-\frac{1}{42})$的结果，此时可将除法转化为乘法，利用乘法分配律简便计算，最后对求得的结果取倒数，即可得到原式的答案，计算过程中要注意符号的正确性。
【解析】
解：先计算调换被除数与除数位置后的算式：
$\begin{aligned}(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})&=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\&=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)\\&=-7+9-28+12\\&=-14\end{aligned}$
根据$a÷b$与$b÷a$互为倒数的结论，可得：
$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})=-\frac{1}{14}$
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题是阅读理解类运算题，解题关键是读懂材料给出的运算规律，将原本计算复杂的除法转化为可利用乘法分配律简便计算的形式，大幅减少计算量，解题时要特别注意负数的倒数符号与原数一致，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
观察所求的除法算式，若直接计算括号内的分数加减法，需要先通分，计算量较大。根据材料给出的结论：$a÷b$与$b÷a$的结果互为倒数，我们可以先调换被除数和除数的位置，计算括号内的式子除以$(-\frac{1}{42})$的结果，此时可将除法转化为乘法，利用乘法分配律简便计算，最后对求得的结果取倒数，即可得到原式的答案，计算过程中要注意符号的正确性。
【解析】
解：先计算调换被除数与除数位置后的算式：
$\begin{aligned}(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})&=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\&=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)\\&=-7+9-28+12\\&=-14\end{aligned}$
根据$a÷b$与$b÷a$互为倒数的结论，可得：
$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})=-\frac{1}{14}$
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题是阅读理解类运算题，解题关键是读懂材料给出的运算规律，将原本计算复杂的除法转化为可利用乘法分配律简便计算的形式，大幅减少计算量，解题时要特别注意负数的倒数符号与原数一致，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
