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8.设一组数据$x_1,x_2,···,x_n$的平均数为$m$，求下列各组数据的平均数：
(1)$x_1+3,x_2+3,···,x_n+3$；
(2)$2x_1,2x_2,···,2x_n$。
(1)$x_1+3,x_2+3,···,x_n+3$；
(2)$2x_1,2x_2,···,2x_n$。
答案
8.解:设一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$m$,
即$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=m$,
则$x_1+x_2+\dots+x_n =mn$。
(1)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$,
$\therefore x_1+3+x_2+3+\dots+x_n+3=mn+3n$,
$\therefore x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数是$\frac{mn+3n}{n}=m+3$。
(2)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$,
$\therefore 2x_1+2x_2+\dots+2x_n=2mn$,
$\therefore 2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的平均数是$\frac{2mn}{n}=2m$。
即$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=m$,
则$x_1+x_2+\dots+x_n =mn$。
(1)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$,
$\therefore x_1+3+x_2+3+\dots+x_n+3=mn+3n$,
$\therefore x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数是$\frac{mn+3n}{n}=m+3$。
(2)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$,
$\therefore 2x_1+2x_2+\dots+2x_n=2mn$,
$\therefore 2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的平均数是$\frac{2mn}{n}=2m$。
解析
【分析】
解题需从平均数的核心定义出发：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。已知原数据的平均数为m，我们可以先推出原数据的总和为mn。求解变化后数据的平均数时，抓住“数据总个数不变，仅总和发生变化”的特点：(1)每个数据都加3，n个数据共增加了3n，因此新总和为原总和加3n，再除以n即可得到新平均数；(2)每个数据都乘2，新总和为原总和的2倍，再除以n即可得到新平均数。
【解析】
设一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$m$，
即$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=m$，
则$x_1+x_2+\dots+x_n =mn$。
(1)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$，
$\therefore x_1+3+x_2+3+\dots+x_n+3=mn+3n$，
$\therefore x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数是$\frac{mn+3n}{n}=m+3$。
(2)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$，
$\therefore 2x_1+2x_2+\dots+2x_n=2mn$，
$\therefore 2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的平均数是$\frac{2mn}{n}=2m$。
【答案】
(1) $m+3$；(2) $2m$
【知识点】
平均数的定义；平均数的变化规律
【点评】
本题是平均数相关的基础题型，既可以通过平均数的定义逐步推导求解，也可以直接运用平均数的变化规律快速得到结果。掌握推导过程能帮助我们更好地理解平均数的本质，熟练运用规律可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题需从平均数的核心定义出发：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。已知原数据的平均数为m，我们可以先推出原数据的总和为mn。求解变化后数据的平均数时，抓住“数据总个数不变，仅总和发生变化”的特点：(1)每个数据都加3，n个数据共增加了3n，因此新总和为原总和加3n，再除以n即可得到新平均数；(2)每个数据都乘2，新总和为原总和的2倍，再除以n即可得到新平均数。
【解析】
设一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$m$，
即$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=m$，
则$x_1+x_2+\dots+x_n =mn$。
(1)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$，
$\therefore x_1+3+x_2+3+\dots+x_n+3=mn+3n$，
$\therefore x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数是$\frac{mn+3n}{n}=m+3$。
(2)$\because x_1+x_2+\dots+x_n =mn$，
$\therefore 2x_1+2x_2+\dots+2x_n=2mn$，
$\therefore 2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的平均数是$\frac{2mn}{n}=2m$。
【答案】
(1) $m+3$；(2) $2m$
【知识点】
平均数的定义；平均数的变化规律
【点评】
本题是平均数相关的基础题型，既可以通过平均数的定义逐步推导求解，也可以直接运用平均数的变化规律快速得到结果。掌握推导过程能帮助我们更好地理解平均数的本质，熟练运用规律可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9.为调研八年级一班学生体育立定跳远测试成绩,体育老师统计了班上15名学生的有效成绩(单位:cm):
172,178,180,182,185,188,190,190,192,195,198,200,205,210,230。
请完成以下问题:
(1)求这组成绩的众数和平均数;
(2)因设备误差,1名学生的成绩178 cm实际应为208 cm,更正全部数据后,重新计算众数和平均数;
(3)结合两次计算结果,分析“数据录入错误”对众数、平均数产生的影响,并简要评价该班此次立定跳远的整体水平。
172,178,180,182,185,188,190,190,192,195,198,200,205,210,230。
请完成以下问题:
(1)求这组成绩的众数和平均数;
(2)因设备误差,1名学生的成绩178 cm实际应为208 cm,更正全部数据后,重新计算众数和平均数;
(3)结合两次计算结果,分析“数据录入错误”对众数、平均数产生的影响,并简要评价该班此次立定跳远的整体水平。
答案
9.解:(1)众数:190 cm;
平均数:$(172+178+180+182+185+188+190+190+192+195+198+200+205+210+230)÷15=193(\mathrm{cm})$。
(2)众数不变,仍为190 cm;
平均数:$\frac{2\ 895-178+208}{15}=\frac{2\ 925}{15}=195(\mathrm{cm})$。
(3)数据录入错误对众数无影响;平均数易受错误、极端数据影响,更正后变大。
该班立定跳远成绩大多集中在180~200 cm,整体水平中等偏上。
平均数:$(172+178+180+182+185+188+190+190+192+195+198+200+205+210+230)÷15=193(\mathrm{cm})$。
(2)众数不变,仍为190 cm;
平均数:$\frac{2\ 895-178+208}{15}=\frac{2\ 925}{15}=195(\mathrm{cm})$。
(3)数据录入错误对众数无影响;平均数易受错误、极端数据影响,更正后变大。
该班立定跳远成绩大多集中在180~200 cm,整体水平中等偏上。
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：
1. 处理第(1)问时，先明确两个统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，直接观察数据即可找到；平均数是所有数据的总和除以数据总个数，将15个成绩求和后除以15就能算出结果。
2. 处理第(2)问时，先观察更正操作的影响：将178改为208后，原出现次数最多的190的出现次数没有变化，因此众数不变；计算平均数时可简化运算，用原来的总和减去错误值178、加上正确值208，再除以15即可，不用重新累加所有数据。
3. 处理第(3)问时，对比两次计算的众数、平均数结果，总结错误数据对两个统计量的不同影响；再观察所有成绩的分布区间，就能评价班级整体水平。
【解析】
(1) 观察数据可知，190共出现2次，其余数据均只出现1次，因此众数为190 cm；
计算平均数：
所有成绩总和$=172+178+180+182+185+188+190+190+192+195+198+200+205+210+230=2895$
平均数$=2895÷15=193(\mathrm{cm})$
(2) 更正数据后，190仍然是出现次数最多的数，因此众数不变，仍为190 cm；
更正后的总和$=2895-178+208=2925$
更正后的平均数$=2925÷15=195(\mathrm{cm})$
(3) 对比两次计算结果：数据录入错误没有改变众数，说明众数不易受个别错误/极端数据影响；平均数更正后变大，说明平均数容易受个别错误、极端数据的影响。
观察所有成绩，多数集中在180~200 cm区间，因此该班此次立定跳远整体水平中等偏上。
【答案】
(1) 众数:190 cm；平均数:$193\mathrm{cm}$。
(2) 众数不变,仍为190 cm；平均数:$195\mathrm{cm}$。
(3) 数据录入错误对众数无影响;平均数易受错误、极端数据影响,更正后变大。该班立定跳远成绩大多集中在180~200 cm,整体水平中等偏上。
【知识点】
众数的概念，平均数的计算，统计量的实际应用
【点评】
本题结合真实的体育测试场景，既考查了众数、平均数的基础计算能力，也引导学生理解不同统计量的特点，学会结合数据分析实际问题，体现了统计知识的实用性。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按以下思路逐步推导：
1. 处理第(1)问时，先明确两个统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，直接观察数据即可找到；平均数是所有数据的总和除以数据总个数，将15个成绩求和后除以15就能算出结果。
2. 处理第(2)问时，先观察更正操作的影响：将178改为208后，原出现次数最多的190的出现次数没有变化，因此众数不变；计算平均数时可简化运算，用原来的总和减去错误值178、加上正确值208，再除以15即可，不用重新累加所有数据。
3. 处理第(3)问时，对比两次计算的众数、平均数结果，总结错误数据对两个统计量的不同影响；再观察所有成绩的分布区间，就能评价班级整体水平。
【解析】
(1) 观察数据可知，190共出现2次，其余数据均只出现1次，因此众数为190 cm；
计算平均数：
所有成绩总和$=172+178+180+182+185+188+190+190+192+195+198+200+205+210+230=2895$
平均数$=2895÷15=193(\mathrm{cm})$
(2) 更正数据后，190仍然是出现次数最多的数，因此众数不变，仍为190 cm；
更正后的总和$=2895-178+208=2925$
更正后的平均数$=2925÷15=195(\mathrm{cm})$
(3) 对比两次计算结果：数据录入错误没有改变众数，说明众数不易受个别错误/极端数据影响；平均数更正后变大，说明平均数容易受个别错误、极端数据的影响。
观察所有成绩，多数集中在180~200 cm区间，因此该班此次立定跳远整体水平中等偏上。
【答案】
(1) 众数:190 cm；平均数:$193\mathrm{cm}$。
(2) 众数不变,仍为190 cm；平均数:$195\mathrm{cm}$。
(3) 数据录入错误对众数无影响;平均数易受错误、极端数据影响,更正后变大。该班立定跳远成绩大多集中在180~200 cm,整体水平中等偏上。
【知识点】
众数的概念，平均数的计算，统计量的实际应用
【点评】
本题结合真实的体育测试场景，既考查了众数、平均数的基础计算能力，也引导学生理解不同统计量的特点，学会结合数据分析实际问题，体现了统计知识的实用性。
【难度系数】
0.8
