登录
1. 如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连接OA，OB，分别以A，B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两条弧交于点P，连接OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是 （
A.$AB ⊥ OQ$
B.$AQ = BQ$
C.$∠ ABO = 60°$
D.$∠ AOB = 2∠ AOQ$
1题图
2题图
C
）A.$AB ⊥ OQ$
B.$AQ = BQ$
C.$∠ ABO = 60°$
D.$∠ AOB = 2∠ AOQ$
1题图
2题图
答案
1. C
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出OP是线段AB的垂直平分线；再结合OA、OB是半圆的半径，即OA=OB，可知OP同时平分∠AOB，接下来逐一分析各选项的结论是否一定成立，即可选出符合要求的答案。
【解析】
由尺规作图的方法可知，OP是线段AB的垂直平分线：
1. 因此可得$AB⊥OQ$，$AQ=BQ$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
2. 因为OA=OB（都是半圆O的半径），$△ AOB$是等腰三角形，又$OP⊥AB$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，OP平分$∠AOB$，因此$∠AOB=2∠AOQ$，故D选项结论正确，不符合题意；
3. 题干中未给出AB与半径长度相等的相关条件，无法证明$△ AOB$是等边三角形，因此$∠ABO$不一定等于$60°$，C选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
尺规作垂直平分线，垂径定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与圆、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是先明确OP是AB的垂直平分线，再结合相关性质逐一判断选项，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出OP是线段AB的垂直平分线；再结合OA、OB是半圆的半径，即OA=OB，可知OP同时平分∠AOB，接下来逐一分析各选项的结论是否一定成立，即可选出符合要求的答案。
【解析】
由尺规作图的方法可知，OP是线段AB的垂直平分线：
1. 因此可得$AB⊥OQ$，$AQ=BQ$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
2. 因为OA=OB（都是半圆O的半径），$△ AOB$是等腰三角形，又$OP⊥AB$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，OP平分$∠AOB$，因此$∠AOB=2∠AOQ$，故D选项结论正确，不符合题意；
3. 题干中未给出AB与半径长度相等的相关条件，无法证明$△ AOB$是等边三角形，因此$∠ABO$不一定等于$60°$，C选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
尺规作垂直平分线，垂径定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与圆、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是先明确OP是AB的垂直平分线，再结合相关性质逐一判断选项，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
2. 筒车是一种水利灌溉工具. 如图,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆. 已知圆心O在水面上方,且$\odot O$被水面截得的弦AB长为8 m, $\odot O$的半径长为6 m. 若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是（
A.2 m
B.4 m
C.$(6 - 2\sqrt{5})$ m
D.$(6 + 2\sqrt{5})$ m
C
）A.2 m
B.4 m
C.$(6 - 2\sqrt{5})$ m
D.$(6 + 2\sqrt{5})$ m
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先明确本题需结合垂径定理和勾股定理计算。首先构造辅助线：过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理可得垂足平分AB，得到半弦长；再在直角三角形中用勾股定理算出圆心到弦AB的距离；最后结合最低点C在过圆心且垂直AB的直线上，用半径减去圆心到AB的距离即可得到点C到AB的距离。
【解析】
连接OA，过点O作$OD⊥ AB$于点D，延长OD交$\odot O$于点C，此时点C为运行轨道的最低点。
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$OA=6\ \mathrm{m}$，$AD=4\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
因为OC为$\odot O$的半径，$OC=6\ \mathrm{m}$，所以点C到弦AB所在直线的距离为：
$CD=OC-OD=6-2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合古代水利工具的实际场景考察圆的基础定理应用，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，侧重对基础知识点的综合运用，解题思路清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
解题时先明确本题需结合垂径定理和勾股定理计算。首先构造辅助线：过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理可得垂足平分AB，得到半弦长；再在直角三角形中用勾股定理算出圆心到弦AB的距离；最后结合最低点C在过圆心且垂直AB的直线上，用半径减去圆心到AB的距离即可得到点C到AB的距离。
【解析】
连接OA，过点O作$OD⊥ AB$于点D，延长OD交$\odot O$于点C，此时点C为运行轨道的最低点。
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$OA=6\ \mathrm{m}$，$AD=4\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
因为OC为$\odot O$的半径，$OC=6\ \mathrm{m}$，所以点C到弦AB所在直线的距离为：
$CD=OC-OD=6-2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合古代水利工具的实际场景考察圆的基础定理应用，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，侧重对基础知识点的综合运用，解题思路清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$\odot O$中，弦$AB=8$，圆心$O$到$AB$的距离$OC=4$，则圆$O$的半径长为
$4\sqrt{2}$
。答案
3. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。题中OC是圆心O到弦AB的垂线，满足垂径定理的适用条件，因此可先求出弦长的一半AC的长度；其次OA是圆的半径，△OAC为直角三角形，已知两条直角边OC和AC的长度，运用勾股定理计算斜边OA的长度，即可得到圆的半径。
【解析】
解：
∵OC是圆心O到AB的距离，
∴OC⊥AB，
又
∵OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ OAC$中，$OC=4$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
即圆O的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，考查垂径定理与勾股定理的结合应用，核心是掌握“半径、半弦长、弦心距构成直角三角形”的常用模型，熟练运用该模型即可快速解决这类求半径、弦长或弦心距的问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。题中OC是圆心O到弦AB的垂线，满足垂径定理的适用条件，因此可先求出弦长的一半AC的长度；其次OA是圆的半径，△OAC为直角三角形，已知两条直角边OC和AC的长度，运用勾股定理计算斜边OA的长度，即可得到圆的半径。
【解析】
解：
∵OC是圆心O到AB的距离，
∴OC⊥AB，
又
∵OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ OAC$中，$OC=4$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
即圆O的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，考查垂径定理与勾股定理的结合应用，核心是掌握“半径、半弦长、弦心距构成直角三角形”的常用模型，熟练运用该模型即可快速解决这类求半径、弦长或弦心距的问题。
【难度系数】
0.8
4. 月洞门为中国古典园林建筑中常见的过径门，因门洞呈圆形、形如满月而得名. 如图，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为
1.3
m.答案
4. 1.3
解析
【分析】
我们可以将圆弧形门洞对应到完整的圆中，设圆的半径为r m。首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知地面入口宽1m，即这条弦长为1m，因此弦长的一半为0.5m。门洞高2.5m是圆弧最高点到地面弦的距离，因此圆心到地面弦的距离为(2.5 - r)m。此时半径、弦长的一半、弦心距可构成直角三角形，结合勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设该门洞所在圆的半径为r m。
由垂径定理得，地面入口弦长的一半为：$1÷2=0.5\ \mathrm{m}$
圆心到地面入口弦的距离为：$(2.5 - r)\ \mathrm{m}$
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2$
展开方程右侧：
$r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2$
两边消去$r^2$后整理得：
$5r = 6.5$
解得：$r = 1.3$
【答案】
1.3
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查圆的计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，能很好地考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以将圆弧形门洞对应到完整的圆中，设圆的半径为r m。首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知地面入口宽1m，即这条弦长为1m，因此弦长的一半为0.5m。门洞高2.5m是圆弧最高点到地面弦的距离，因此圆心到地面弦的距离为(2.5 - r)m。此时半径、弦长的一半、弦心距可构成直角三角形，结合勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设该门洞所在圆的半径为r m。
由垂径定理得，地面入口弦长的一半为：$1÷2=0.5\ \mathrm{m}$
圆心到地面入口弦的距离为：$(2.5 - r)\ \mathrm{m}$
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2$
展开方程右侧：
$r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2$
两边消去$r^2$后整理得：
$5r = 6.5$
解得：$r = 1.3$
【答案】
1.3
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查圆的计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，能很好地考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB是$\odot O$的直径，BC是弦，点E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，OE交BC于点D，连接AC。若$BC=6$，$DE=1$，求AC的长。
答案
5. 解 连接OC，如图所示. 因为点E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$∠BOE=∠COE$，$OD⊥BC$，$BD=DC$. 因为$BC=6$，所以$BD=3$. 设$\odot O$的半径为r，则$OB=OE=r$. 因为$DE=1$，所以$OD=r-1$. 因为$OD⊥BC$，即$∠BDO=90°$，所以$OB^2=BD^2+OD^2$. 所以$r^2=3^2+(r-1)^2$. 解得$r=5$. 所以$OD=4$. 因为$OA=OB$，$BD=CD$，所以$AC=2OD=8$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“点E是$\overset{\frown}{BC}$的中点”入手，根据圆的性质，弧中点与圆心的连线垂直平分该弧所对的弦，因此可利用垂径定理得到$OD⊥ BC$、D是BC中点，算出BD的长度；接下来观察到$△ ODB$是直角三角形，OD、OB均与圆的半径相关，因此设半径为r，用勾股定理列方程求解半径，得到OD的长度；最后结合O是AB中点、D是BC中点的条件，利用三角形中位线定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接OC，如图所示：
1. 由点E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，可得$∠ BOE=∠ COE$，结合$OB=OC$，根据等腰三角形三线合一的性质，得$OD⊥ BC$，且$BD=DC$。
已知$BC=6$，因此$BD=\frac{1}{2}BC=3$。
2. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OE=r$，又$DE=1$，因此$OD=OE-DE=r-1$。
在$Rt△ BDO$中，根据勾股定理有$OB^2=BD^2+OD^2$，代入数值可得：
$r^2=3^2+(r-1)^2$
展开并化简方程：
$r^2=9+r^2-2r+1$
消去$r^2$后解得$2r=10$，即$r=5$。
因此$OD=r-1=5-1=4$。
3. 因为$OA=OB$，$BD=CD$，所以OD是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$AC=2OD=2×4=8$。
【答案】
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，解题关键是灵活运用弧中点的性质构造直角三角形，通过方程思想求解半径，再结合中位线定理得到结果，能够有效考察学生对圆的基本性质和几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“点E是$\overset{\frown}{BC}$的中点”入手，根据圆的性质，弧中点与圆心的连线垂直平分该弧所对的弦，因此可利用垂径定理得到$OD⊥ BC$、D是BC中点，算出BD的长度；接下来观察到$△ ODB$是直角三角形，OD、OB均与圆的半径相关，因此设半径为r，用勾股定理列方程求解半径，得到OD的长度；最后结合O是AB中点、D是BC中点的条件，利用三角形中位线定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接OC，如图所示：
1. 由点E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，可得$∠ BOE=∠ COE$，结合$OB=OC$，根据等腰三角形三线合一的性质，得$OD⊥ BC$，且$BD=DC$。
已知$BC=6$，因此$BD=\frac{1}{2}BC=3$。
2. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OE=r$，又$DE=1$，因此$OD=OE-DE=r-1$。
在$Rt△ BDO$中，根据勾股定理有$OB^2=BD^2+OD^2$，代入数值可得：
$r^2=3^2+(r-1)^2$
展开并化简方程：
$r^2=9+r^2-2r+1$
消去$r^2$后解得$2r=10$，即$r=5$。
因此$OD=r-1=5-1=4$。
3. 因为$OA=OB$，$BD=CD$，所以OD是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$AC=2OD=2×4=8$。
【答案】
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，解题关键是灵活运用弧中点的性质构造直角三角形，通过方程思想求解半径，再结合中位线定理得到结果，能够有效考察学生对圆的基本性质和几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
