例1 撑开后的雨伞(图①)是我们熟悉的数学模型之一 —— 抛物线. 在图②所示的平面直角坐标系中,伞柄在y轴上,伞骨OA,OB的交点为坐标原点O,C为抛物线的顶点,OC=1,点A,B在抛物线上,且OA,OB关于y轴对称,点A到x轴的距离是0.6,A,B两点之间的距离为4. 设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c$.

(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)分别延长OA,OB,交抛物线于点F,E,求E,F两点之间的距离.
解:(1)∵ OA,OB关于y轴对称,AB=4,点A到x轴的距离是0.6,∴ 点A(2,0.6).
∵ OC=1,∴ C(0,1).
将点C(0,1),A(2,0.6)代入$y=ax^2+c$,
得$\begin{cases}c=1, \\0.6=4a+c.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.1, \\c=1.\end{cases}$
∴ $y=-0.1x^2+1$.
(2)由(1)得抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1x^2+1$,由点A的坐标得直线OA对应的函数解析式为$y=0.3x$,
联立抛物线方程与直线OA方程,得$0.3x=-0.1x^2+1$.
解得$x=2$(舍去)或$x=-5$.
∴ $y=0.3×(-5)=-1.5$.
∴ 点F的坐标为$(-5,-1.5)$,
∴ 根据对称性可得$EF=5×2=10$.
方法点拨 本题考查二次函数、一次函数的性质,先由待定系数法求出二次函数、一次函数的解析式,再求点F的坐标及EF的长度,其中确定点的坐标是本题解题的关键.

解：(1)∵ OA，OB关于y轴对称，AB=4，点A到x轴的距离是0.6，
∴ 点A的横坐标为2，纵坐标为0.6，即点$A(2,0.6)$。
∵ OC=1，抛物线顶点C在y轴正半轴，
∴ $C(0,1)$。
将点$C(0,1)$，$A(2,0.6)$代入$y=ax^2+c$，
得$\begin{cases}c=1, \\0.6=4a+c.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.1, \\c=1.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1x^2+1$。
(2)设直线OA对应的函数解析式为$y=kx$，将$A(2,0.6)$代入得$2k=0.6$，解得$k=0.3$，
∴ 直线OA对应的函数解析式为$y=0.3x$。
联立抛物线与直线OA的方程，得$\begin{cases}y=0.3x \\ y=-0.1x^2+1\end{cases}$，
消去y得$0.3x=-0.1x^2+1$，
整理得$x^2+3x-10=0$，
解得$x=2$（对应点A，舍去）或$x=-5$。
将$x=-5$代入$y=0.3x$，得$y=-1.5$，
∴ 点F的坐标为$(-5,-1.5)$。
由OA，OB关于y轴对称，根据抛物线的对称性可得点E的坐标为$(5,-1.5)$，
∴ $EF=5-(-5)=10$。
答：(1)抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1x^2+1$；(2)E，F两点之间的距离为10。

【分析】
(1)求解抛物线解析式需要确定解析式中a、c两个未知参数，因此需先找到抛物线上两个已知点的坐标：首先由OC=1，且顶点C在y轴正半轴，可得C(0,1)；再根据OA、OB关于y轴对称，AB=4，点A到x轴的距离为0.6，可推出点A的横坐标为2、纵坐标为0.6，即A(2,0.6)，将两点代入解析式用待定系数法即可求出参数，得到解析式。(2)求E、F两点的距离，可先利用点A的坐标求出直线OA的一次函数解析式，再联立直线OA与抛物线的解析式，求解得到除点A外的交点F的坐标；最后根据抛物线和直线OA、OB的对称性，得到点E的坐标，计算两点横坐标之差的绝对值即可得到EF的长度。【解析$】(1)\because OA$，OB关于y轴对称，AB=4，点A到x轴的距离是0.6，$\therefore $点A的横坐标为2，纵坐标为0.6，即点A(2,0.6)。$\because OC=1$，抛物线顶点C在y轴正半轴，$\therefore C(0,1)$。将点C(0,1)，A(2,0.6)代入$y=ax^2+c$，得$\begin{cases}c=1, \\0.6=4a+c.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-0.1, \\c=1.\end{cases}\therefore $抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1x^2+1$。(2)设直线OA对应的函数解析式为y=kx，将A(2,0.6)代入得2k=0.6，解得k=0.3，$\therefore $直线OA对应的函数解析式为y=0.3x。联立抛物线与直线OA的方程，得$\begin{cases}y=0.3x \\ y=-0.1x^2+1\end{cases}$，消去y得$0.3x=-0.1x^2+1$，整理得$x^2+3x-10=0$，解得x=2（对应点A，舍去）或x=-5。将x=-5代入y=0.3x，得y=-1.5，$\therefore $点F的坐标为(-5,-1.5)。由OA，OB关于y轴对称，根据抛物线的对称性可得点E的坐标为(5,-1.5)，$\therefore EF=5-(-5)=10$。【答案】(1)抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-0.1x^2+1}$；(2)E，F两点之间的距离为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，抛物线对称性
【点评】
本题结合雨伞的生活场景考查二次函数的基础应用，解题核心是准确获取已知点的坐标，利用对称性可有效简化计算过程，要求学生熟练掌握待定系数法、函数联立求交点的基本方法，是二次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

例2 如图①,在边长为4 cm的正方形ABCD中,动点E,F同时从点A出发,以1 cm/s的速度分别沿A→D→C和A→B→C的路径向点C运动.设运动时间为t(单位:s),△EAF的面积为S(单位:cm²),则S关于t(0＜t＜8)的函数图象如图②.

(1)求S关于t(0＜t＜8)的函数解析式.
(2)当t为何值时,S为2 cm²?
解:(1)当0＜t≤4时,
∵ AE=AF=t,
∴ $S=\frac{1}{2}AE· AF=\frac{1}{2}t^2$.
当4＜t＜8时,如图③,连接EF.

由题意知,$DE=BF=t-4$,$CE=CF=8-t$,
∴ $S=4×4-\frac{1}{2}AD· DE×2-\frac{1}{2}CE· CF$
$=16-\frac{1}{2}×4(t-4)×2-\frac{1}{2}(8-t)^2$
$=-\frac{1}{2}t^2+4t$.
∴ $S=\begin{cases} \frac{1}{2}t^2 & (0＜t≤4), \\ -\frac{1}{2}t^2+4t & (4＜t＜8). \end{cases}$
(2)当$0＜t≤4$时,由$\frac{1}{2}t^2=2$,得$t=2$(负值已舍去).
当$4＜t＜8$时,由$-\frac{1}{2}t^2+4t=2$,
解得$t_1=4+2\sqrt{3}$,$t_2=4-2\sqrt{3}$,
∵ $4-2\sqrt{3}＜4$,$∴$ 应舍去.
综上可知,当$t=2$ s或$t=(4+2\sqrt{3})$ s时,$S$为2 cm².
方法点拨 本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用.动点问题先分情况:分$0＜t≤4$和$4＜t＜8$两种情况,再结合图形求解即可.

解：(1) 当 $ 0 ＜ t ≤ 4 $ 时，
动点E在AD上，动点F在AB上，$ AE = AF = t $，
$\therefore S = \frac{1}{2} · AE · AF = \frac{1}{2}t^2$。
当 $ 4 ＜ t ＜ 8 $ 时，点E在CD上，点F在BC上，
由题意得 $ DE = t - 4 $，$ BF = t - 4 $，$ CE = 8 - t $，$ CF = 8 - t $，
$\begin{aligned}S &= 4 × 4 - \frac{1}{2} × AD · DE × 2 - \frac{1}{2} · CE · CF \\&= 16 - \frac{1}{2} × 4(t-4) × 2 - \frac{1}{2}(8-t)^2 \\&= -\frac{1}{2}t^2 + 4t\end{aligned}$
综上，S关于t的函数解析式为：
$S=\begin{cases}\frac{1}{2}t^2 & (0 ＜ t ≤ 4) \\-\frac{1}{2}t^2 + 4t & (4 ＜ t ＜ 8)\end{cases}$
(2) 当 $ 0 ＜ t ≤ 4 $ 时，令 $ \frac{1}{2}t^2 = 2 $，
解得 $ t = 2 $（负值不符合题意，舍去）。
当 $ 4 ＜ t ＜ 8 $ 时，令 $ -\frac{1}{2}t^2 + 4t = 2 $，
整理得 $ t^2 - 8t + 4 = 0 $，
解得 $ t_1 = 4 + 2\sqrt{3} $，$ t_2 = 4 - 2\sqrt{3} $。
$\because 4 - 2\sqrt{3} ＜ 4$，不符合$4 ＜ t ＜ 8$的条件，舍去。
综上，当$ t = 2\ \mathrm{s} $或$ t = (4 + 2\sqrt{3})\ \mathrm{s} $时，S为$ 2\ \mathrm{cm}^2 $。

【分析】
这是一道动点结合函数的综合问题，解题思路如下：第一问求函数解析式，首先根据动点E、F的运动路径，以t=4s为分界点分两种情况讨论：①当0＜t≤4时，E在AD边上、F在AB边上，△EAF是直角边为t的等腰直角三角形，直接用三角形面积公式即可写出S与t的关系式；②当4＜t＜8时，E在CD边上、F在BC边上，此时直接计算△EAF的面积较复杂，可采用割补法，用正方形总面积减去周围三个直角三角形的面积得到S的表达式。第二问求S=2时的t值，只需将S=2分别代入两个分段的函数解析式解方程，最后结合对应分段的t的取值范围，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①当 $ 0 ＜ t ≤ 4 $ 时，动点E在AD上，动点F在AB上，$ AE = AF = t $，
$\therefore S = \frac{1}{2} · AE · AF = \frac{1}{2}t^2$。
②当 $ 4 ＜ t ＜ 8 $ 时，点E在CD上，点F在BC上，
由题意得 $ DE = t - 4 $，$ BF = t - 4 $，$ CE = 8 - t $，$ CF = 8 - t $，
$\begin{aligned}S &= 4 × 4 - \frac{1}{2} × AD · DE × 2 - \frac{1}{2} · CE · CF \\&= 16 - \frac{1}{2} × 4(t-4) × 2 - \frac{1}{2}(8-t)^2 \\&= -\frac{1}{2}t^2 + 4t\end{aligned}$
综上，S关于t的函数解析式为：
$S=\begin{cases}\frac{1}{2}t^2 & (0 ＜ t ≤ 4) \\-\frac{1}{2}t^2 + 4t & (4 ＜ t ＜ 8)\end{cases}$
(2) 分两种情况解方程：
①当 $ 0 ＜ t ≤ 4 $ 时，令 $ \frac{1}{2}t^2 = 2 $，
解得 $ t = 2 $（负值不符合题意，舍去）。
②当 $ 4 ＜ t ＜ 8 $ 时，令 $ -\frac{1}{2}t^2 + 4t = 2 $，
整理得 $ t^2 - 8t + 4 = 0 $，
解得 $ t_1 = 4 + 2\sqrt{3} $，$ t_2 = 4 - 2\sqrt{3} $。
$\because 4 - 2\sqrt{3} ＜ 4$，不符合$4 ＜ t ＜ 8$的条件，舍去。
【答案】
(1) $S=\begin{cases}\frac{1}{2}t^2 & (0 ＜ t ≤ 4) \\-\frac{1}{2}t^2 + 4t & (4 ＜ t ＜ 8)\end{cases}$
(2) 当$ t = 2\ \mathrm{s} $或$ t = (4 + 2\sqrt{3})\ \mathrm{s} $时，S为$ 2\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
分段函数求解，二次函数的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题是动点与函数结合的典型题型，核心考查分类讨论思想和割补法求面积的应用，解题的关键是根据动点的位置正确分段，求出方程的解后要注意结合自变量的取值范围检验解的合理性。
【难度系数】
0.6