典型例题
用不同的方式表示同一图形面积的方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法探究下列问题：
(1) 图20.1 - 7①是著名的“赵爽弦图”示意图，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
(2) 如图20.1 - 7②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD$是$AB$边上的高，$AC = 4$，$BC = 3$，求$CD$的长度.

【思路分析】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形的面积公式等知识. (1) 根据大正方形面积的两种表示方法求解即可；(2) 根据直角三角形的面积公式求解即可.
【解答】(1) 如图20.1 - 7①，大正方形的面积是$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}=c^{2}$，整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2) 如图20.1 - 7②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 4$，$BC = 3$，$\therefore AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}} = 5$. $\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12}{5}$.

(1)
证明：
大正方形的面积可表示为$c^2$，
也可表示为四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$，
因此有$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$，
展开得：$2ab+b^2-2ab+a^2=c^2$，
整理得：$a^2+b^2=c^2$。
(2)
解：
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
所以$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。