1. 我们把$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式。

1. 完全平方式

【分析】
解题时先回忆与完全平方公式相关的基础概念：我们学习完全平方公式时，已知$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，反过来，形如$a^2\pm2ab+b^2$的多项式，有对应的专属名称。结合题干给出的两个式子的结构，对应到识记的概念即可得出答案。
【解析】
根据完全平方式的定义：形如$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$的多项式，叫做完全平方式，可直接对应题干描述填空。
【答案】
完全平方式
【知识点】
完全平方式的概念；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对完全平方式定义的掌握程度，牢记相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 把整式乘法的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的等号两边互换，就得到$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。即两个数的加上（或减去）这两个数的积的，等于这两个数的和（或差）的。

2. 平方和；2倍；平方

【分析】
解题时先对照给出的逆用完全平方公式的等式结构，将式子的每一部分对应文字表述即可：先看等式左边前两项$a^2$、$b^2$，是两个数各自平方后相加，也就是平方和；中间项$\pm2ab$，是两个数乘积的2倍；等式右边$(a\pm b)^2$，是两个数和或差的平方，对应填入空缺处即可。
【解析】
观察因式分解形式的完全平方公式：
1. 式子$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$中，$a^2$与$b^2$是两个数的平方和，$2ab$是这两个数的积的2倍，等号右侧是两个数的和的平方；
2. 式子$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$中，$a^2$与$b^2$是两个数的平方和，$-2ab$是减去这两个数的积的2倍，等号右侧是两个数的差的平方。
因此三个空缺依次填入对应概念即可。
【答案】
平方和；2倍；平方
【知识点】
完全平方公式；因式分解的公式法
【点评】
本题考查完全平方公式因式分解形式的结构特征，属于基础概念考查题，熟练掌握公式的文字表述和式子结构是解题的关键。
【难度系数】
0.9

例1（教材改编）下列多项式，是完全平方式的是（）。
A. $4a^2 +1$
B. $a^2 -ab +b^2$
C. $a^2 -9$
D. $a^2 +2a +1$
(2)$9x^2 -12xy +4y^2$

例1 答案：D
(2) 解：原式$=(3x)^2-2· 3x· 2y+(2y)^2=(3x-2y)^2$

【分析】
解题前先明确完全平方式的结构特征：完全平方式是三项式，其中两项是两个数（或式子）的平方且同号，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍，符号可正可负，可记口诀“首平方、尾平方，积的两倍在中央”。对于选择题，逐个对照特征排查选项即可；对于因式分解题，先找到对应“首”“尾”的底数，再验证中间项是否符合要求，最后套用完全平方公式即可。
【解析】
首先回忆完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，符合等号左侧结构的多项式就是完全平方式。
第(1)问（选择题）
选项A：$4a^2+1$是两项式，缺少“积的2倍”项，不是完全平方式；
选项B：$a^2 -ab +b^2$的中间项为$-ab$，而$a^2$和$b^2$对应的“积的2倍”应为$\pm2ab$，系数不符合，不是完全平方式；
选项C：$a^2-9$是两项的平方差，不是三项式，不是完全平方式；
选项D：$a^2 +2a +1 = a^2 + 2· a· 1 + 1^2$，完全符合完全平方式的结构。
第(2)问 因式分解
观察多项式$9x^2 -12xy +4y^2$：
平方项分别为：$9x^2=(3x)^2$，$4y^2=(2y)^2$
中间项：$-12xy = -2·3x·2y$，符合完全平方差的结构
因此原式可改写为：$(3x)^2 - 2· 3x· 2y + (2y)^2 = (3x-2y)^2$
【答案】
(1) D；(2) $(3x-2y)^2$
【知识点】
完全平方式的判定，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解模块的基础题，核心是掌握完全平方式的结构特征，熟记相关口诀可快速判断和计算，为后续复杂因式分解的学习打基础。
【难度系数】
0.85

1. 下列多项式中，不能用公式法因式分解的是().

A.$-4x^2 + y^2$
B.$x^2 - 2xy - y^2$
C.$x^2 - 9$
D.$a^2 - 3a + \frac{9}{4}$

1. B

【分析】
要解决这道题，首先需明确因式分解常用的两个公式的结构特征：1. 平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，特征是两项均为平方项，符号相反；2. 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，特征是共三项，两个平方项符号相同，中间项是两个底数乘积的2倍（符号可正可负）。接下来逐一验证每个选项是否符合上述两个公式的特征，即可选出正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
A. $-4x^2 + y^2 = y^2 - (2x)^2$，符合平方差公式的特征，可分解为$(y + 2x)(y - 2x)$，不符合题意；
B. $x^2 - 2xy - y^2$，两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方公式的要求，同时存在中间项$-2xy$，也不符合平方差公式的两项特征，无法用公式法因式分解，符合题意；
C. $x^2 - 9 = x^2 - 3^2$，符合平方差公式的特征，可分解为$(x + 3)(x - 3)$，不符合题意；
D. $a^2 - 3a + \frac{9}{4} = a^2 - 2· a· \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2$，符合完全平方差公式的特征，可分解为$(a - \frac{3}{2})^2$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查公式法因式分解的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特点，将选项与公式特征逐一比对即可快速得到答案，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式：
(1)$a^2b^2 - 4ab + 4 = $ ;
(2)$-x^2 + 6x - 9 = $ .

2. (1)$(ab-2)^2$ (2)$-(x-3)^2$

【分析】
要解决这两个因式分解的问题，首先回忆完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
对于第(1)题，先观察多项式各项：$a^2b^2$是$(ab)$的平方，常数项4是$2^2$，中间项$-4ab$恰好是$ab$与2乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式的结构，可直接套用公式分解。
对于第(2)题，多项式首项为负，先提取负号将括号内多项式变为首项为正的形式，再判断括号内的多项式符合完全平方公式结构，套用公式分解即可。
【解析】
(1) 对$a^2b^2 - 4ab + 4$变形可得：
$a^2b^2 - 4ab + 4=(ab)^2 - 2· ab· 2 + 2^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入得：
原式$=(ab-2)^2$
(2) 对$-x^2 + 6x - 9$先提取公因式$-1$，得：
$-x^2 + 6x - 9=-(x^2 - 6x + 9)$
括号内的$x^2 - 6x + 9$可变形为$x^2 - 2· x·3 +3^2$，符合完全平方差公式，因此：
$x^2 -6x +9=(x-3)^2$
所以原式$=-(x-3)^2$
【答案】
(1)$(ab-2)^2$；(2)$-(x-3)^2$
【知识点】
完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，当多项式首项系数为负时，要先提取负号再分解，分解过程中注意符号的正确性，最后要确认分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8

3. 在对多项式进行因式分解时，我们经常用到“整体思想”，请你尝试将多项式$(x^2+y^2)(x^2+y^2-8)+16$进行因式分解.

3. 解：设$x^2+y^2=N$，则原式$=N(N-8)+16=N^2-8N+16=(N-4)^2$。又$N=x^2+y^2$，
∴原式$=(x^2+y^2-4)^2$。

【分析】
观察多项式结构可发现$x^2+y^2$重复出现，因此可以利用整体思想，将$x^2+y^2$设为新的变量简化原式，把复杂的多项式转化为常见的二次三项式，再用完全平方公式分解，最后将新变量回代即可得到结果。
【解析】
设$x^2+y^2=N$，代入原式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=N(N-8)+16\\&=N^2-8N+16\\&=(N-4)^2\end{aligned}$
再将$N=x^2+y^2$代回上式，可得$\mathrm{原式}=(x^2+y^2-4)^2$。
【答案】
$(x^2+y^2-4)^2$
【知识点】
整体换元思想，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是整体思想在因式分解中的典型应用，解题关键是识别出式子中重复出现的整体结构，通过换元简化运算，最后要注意将换元的代数式回代，不能保留新变量作为结果。
【难度系数】
0.7