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8.如图是一个正方体纸盒的展开图,如果这个正方体纸盒相对2个面上的代数式的值相等,求a,x,y的值.
答案
解：
由正方体展开图的特征可知，三组相对的面分别为：标注3的面与标注a的面相对，标注$5-x$的面与标注$2x-1$的面相对，标注$2y$的面与标注$y+1$的面相对。
根据相对两个面上的代数式的值相等，可得：
$a=3$
$5-x=2x-1$
$2y=y+1$
解方程$5-x=2x-1$：
移项，得$-x-2x=-1-5$
合并同类项，得$-3x=-6$
系数化为1，得$x=2$
解方程$2y=y+1$：
移项，得$2y-y=1$
合并同类项，得$y=1$
综上，$a=3$，$x=2$，$y=1$。
由正方体展开图的特征可知，三组相对的面分别为：标注3的面与标注a的面相对，标注$5-x$的面与标注$2x-1$的面相对，标注$2y$的面与标注$y+1$的面相对。
根据相对两个面上的代数式的值相等，可得：
$a=3$
$5-x=2x-1$
$2y=y+1$
解方程$5-x=2x-1$：
移项，得$-x-2x=-1-5$
合并同类项，得$-3x=-6$
系数化为1，得$x=2$
解方程$2y=y+1$：
移项，得$2y-y=1$
合并同类项，得$y=1$
综上，$a=3$，$x=2$，$y=1$。
解析
【分析】
解题首先需要确定正方体展开图中的三组相对面：正方体展开图中相对的面互不相邻，本题为十字型展开图，同列上下两个面是相对面，同行中相隔1个面的两个面是相对面。找到相对面后，根据“相对2个面上的代数式的值相等”的条件，可直接得到a的值，同时列出关于x、y的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤分别求解即可得到x、y的值。
【解析】
根据正方体展开图的特征，三组相对的面分别为：标注3的面与标注a的面相对，标注$5-x$的面与标注$2x-1$的面相对，标注$2y$的面与标注$y+1$的面相对。
由相对两个面上的代数式的值相等，可得：
$a=3$
$5-x=2x-1$
$2y=y+1$
解方程$5-x=2x-1$：
移项，得$-x-2x=-1-5$
合并同类项，得$-3x=-6$
系数化为1，得$x=2$
解方程$2y=y+1$：
移项，得$2y-y=1$
合并同类项，得$y=1$
【答案】
$a=3$，$x=2$，$y=1$
【知识点】
正方体展开图特征；解一元一次方程
【点评】
本题是立体图形与方程结合的基础题，解题关键是准确判断正方体展开图的相对面，再结合题目给出的等量关系列方程求解，主要考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
解题首先需要确定正方体展开图中的三组相对面：正方体展开图中相对的面互不相邻，本题为十字型展开图，同列上下两个面是相对面，同行中相隔1个面的两个面是相对面。找到相对面后，根据“相对2个面上的代数式的值相等”的条件，可直接得到a的值，同时列出关于x、y的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤分别求解即可得到x、y的值。
【解析】
根据正方体展开图的特征，三组相对的面分别为：标注3的面与标注a的面相对，标注$5-x$的面与标注$2x-1$的面相对，标注$2y$的面与标注$y+1$的面相对。
由相对两个面上的代数式的值相等，可得：
$a=3$
$5-x=2x-1$
$2y=y+1$
解方程$5-x=2x-1$：
移项，得$-x-2x=-1-5$
合并同类项，得$-3x=-6$
系数化为1，得$x=2$
解方程$2y=y+1$：
移项，得$2y-y=1$
合并同类项，得$y=1$
【答案】
$a=3$，$x=2$，$y=1$
【知识点】
正方体展开图特征；解一元一次方程
【点评】
本题是立体图形与方程结合的基础题，解题关键是准确判断正方体展开图的相对面，再结合题目给出的等量关系列方程求解，主要考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
9.一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示.
(1)该盒子的底面的长为(用含$a$的式子表示);
(2)若①,②,③,④四个面上分别标有整式$2(x+1),x,-2,4$,且该盒子的相对两个面上的整式的和相等,求$x$的值;
(3)请在图中补充一个长方形,使该展开图折叠成长方体盒子后有盖.
(1)该盒子的底面的长为(用含$a$的式子表示);
(2)若①,②,③,④四个面上分别标有整式$2(x+1),x,-2,4$,且该盒子的相对两个面上的整式的和相等,求$x$的值;
(3)请在图中补充一个长方形,使该展开图折叠成长方体盒子后有盖.
答案
解：
(1) $3a$
(2) 由长方体展开图的相对面关系可知：面①与面③相对，面②与面④相对。
根据题意列方程：
$2(x+1) + (-2) = x + 4$
去括号得：$2x + 2 - 2 = x + 4$
化简得：$2x = x + 4$
解得：$x=4$
(3) （答案不唯一）可在面①的上方补充一个与底面尺寸完全相同的长方形，使该长方形的下边与面①的上边完全重合，其余符合长方体展开图规则的补充位置也均正确。
(1) $3a$
(2) 由长方体展开图的相对面关系可知：面①与面③相对，面②与面④相对。
根据题意列方程：
$2(x+1) + (-2) = x + 4$
去括号得：$2x + 2 - 2 = x + 4$
化简得：$2x = x + 4$
解得：$x=4$
(3) （答案不唯一）可在面①的上方补充一个与底面尺寸完全相同的长方形，使该长方形的下边与面①的上边完全重合，其余符合长方体展开图规则的补充位置也均正确。
解析
【分析】
(1) 求底面长首先判断长方体的高：观察展开图可知侧面②、③的高度为a，即长方体的高是a；再看水平总长度为5a，减去左右两个侧面各占的长度a，剩余长度就是底面的长。
(2) 先根据长方体展开图“相间为对面”的规律判断相对面：①和③相对，②和④相对；再结合“相对面整式的和相等”的条件列一元一次方程，按解方程步骤即可求出x的值。
(3) 要补成有盖的展开图，只需补充1个和底面尺寸完全相同的长方形，粘贴在①②③④任意一个侧面的外侧，符合长方体展开图的拼接规则即可。
【解析】
(1) 长方体的高为a，水平总长度为5a，因此底面长为$5a-a-a=3a$。
(2) 由长方体展开图相对面规律可知：①与③相对，②与④相对。
根据相对面整式和相等列方程：
$2(x+1) + (-2) = x + 4$
去括号得：$2x + 2 - 2 = x + 4$
化简得：$2x = x + 4$
移项解得：$x=4$
(3) 答案不唯一，例如可在面①的上方补充一个与底面大小相同的长方形，使长方形的下边与面①的上边完全重合；也可补充在面②左侧、面③下方、面④右侧等符合拼接规则的位置。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3a}$
(2) $\boldsymbol{x=4}$
(3) 在面①的上方补充一个与底面大小相同的长方形即可（答案不唯一）
【知识点】
长方体展开图特征；一元一次方程的应用
【点评】
本题综合考查了立体图形展开图的认知和方程的实际应用，解题核心是准确判断展开图的相对面关系，补全展开图时注意面的尺寸匹配即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求底面长首先判断长方体的高：观察展开图可知侧面②、③的高度为a，即长方体的高是a；再看水平总长度为5a，减去左右两个侧面各占的长度a，剩余长度就是底面的长。
(2) 先根据长方体展开图“相间为对面”的规律判断相对面：①和③相对，②和④相对；再结合“相对面整式的和相等”的条件列一元一次方程，按解方程步骤即可求出x的值。
(3) 要补成有盖的展开图，只需补充1个和底面尺寸完全相同的长方形，粘贴在①②③④任意一个侧面的外侧，符合长方体展开图的拼接规则即可。
【解析】
(1) 长方体的高为a，水平总长度为5a，因此底面长为$5a-a-a=3a$。
(2) 由长方体展开图相对面规律可知：①与③相对，②与④相对。
根据相对面整式和相等列方程：
$2(x+1) + (-2) = x + 4$
去括号得：$2x + 2 - 2 = x + 4$
化简得：$2x = x + 4$
移项解得：$x=4$
(3) 答案不唯一，例如可在面①的上方补充一个与底面大小相同的长方形，使长方形的下边与面①的上边完全重合；也可补充在面②左侧、面③下方、面④右侧等符合拼接规则的位置。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3a}$
(2) $\boldsymbol{x=4}$
(3) 在面①的上方补充一个与底面大小相同的长方形即可（答案不唯一）
【知识点】
长方体展开图特征；一元一次方程的应用
【点评】
本题综合考查了立体图形展开图的认知和方程的实际应用，解题核心是准确判断展开图的相对面关系，补全展开图时注意面的尺寸匹配即可。
【难度系数】
0.7
10.如图,一观测塔底座部分是长方体,现在从下底面A点修建钢筋扶梯,经过点M,N到点$D'$,再进入顶部的观测室,已知$AB=BC$,试确定使扶梯的总长度最小的点M,N的位置.
答案
解：
将扶梯经过的长方体的三个相邻面展开，使它们处于同一平面内。
根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接点A与点D'，所得线段与棱BC的交点即为所求的点M，与棱CC'的交点即为所求的点N。
此时扶梯总长度AM+MN+ND'等于线段AD'的长度，为最小值，该位置的点M、N即为满足要求的点。
将扶梯经过的长方体的三个相邻面展开，使它们处于同一平面内。
根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接点A与点D'，所得线段与棱BC的交点即为所求的点M，与棱CC'的交点即为所求的点N。
此时扶梯总长度AM+MN+ND'等于线段AD'的长度，为最小值，该位置的点M、N即为满足要求的点。
解析
【分析】
要使扶梯总长度$AM+MN+ND'$最小，本质是求解立体图形中的最短路径问题。我们已经掌握平面内“两点之间，线段最短”的结论，因此首先需要将$AM$、$MN$、$ND'$所在的三个相邻的长方体面展开到同一平面内，把立体路径问题转化为平面路径问题，再通过连接两点得到最短路径，路径与对应棱的交点就是我们要找的$M$、$N$点。
【解析】
第一步：将扶梯经过的长方体的三个相邻面展开，使三个面处于同一平面内；
第二步：根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接同一平面内的点$A$与点$D'$，所得线段与棱$BC$的交点即为所求的点$M$，与棱$CC'$的交点即为所求的点$N$；
此时扶梯总长度$AM+MN+ND'$等于线段$AD'$的长度，是所有路径中的最小值，该位置的$M$、$N$即为满足要求的点。
【答案】
将扶梯经过的长方体的三个相邻面展开，使它们处于同一平面内。根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接点$A$与点$D'$，所得线段与棱$BC$的交点即为所求的点$M$，与棱$CC'$的交点即为所求的点$N$。此时扶梯总长度$AM+MN+ND'$等于线段$AD'$的长度，为最小值，该位置的点$M$、$N$即为满足要求的点。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 立体图形展开图应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将立体问题转化为平面问题求解，很好地考查了空间想象能力和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要使扶梯总长度$AM+MN+ND'$最小，本质是求解立体图形中的最短路径问题。我们已经掌握平面内“两点之间，线段最短”的结论，因此首先需要将$AM$、$MN$、$ND'$所在的三个相邻的长方体面展开到同一平面内，把立体路径问题转化为平面路径问题，再通过连接两点得到最短路径，路径与对应棱的交点就是我们要找的$M$、$N$点。
【解析】
第一步：将扶梯经过的长方体的三个相邻面展开，使三个面处于同一平面内；
第二步：根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接同一平面内的点$A$与点$D'$，所得线段与棱$BC$的交点即为所求的点$M$，与棱$CC'$的交点即为所求的点$N$；
此时扶梯总长度$AM+MN+ND'$等于线段$AD'$的长度，是所有路径中的最小值，该位置的$M$、$N$即为满足要求的点。
【答案】
将扶梯经过的长方体的三个相邻面展开，使它们处于同一平面内。根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接点$A$与点$D'$，所得线段与棱$BC$的交点即为所求的点$M$，与棱$CC'$的交点即为所求的点$N$。此时扶梯总长度$AM+MN+ND'$等于线段$AD'$的长度，为最小值，该位置的点$M$、$N$即为满足要求的点。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 立体图形展开图应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将立体问题转化为平面问题求解，很好地考查了空间想象能力和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
11. 如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到如图②所示的立体图形.
(1)设原大正方体的表面积为$S$，图②中立体图形的表面积为$S_1$，则$S_1$与$S$的大小关系是()
A. $S_1＞S$
B. $S_1=S$
C. $S_1＜S$
D. 无法确定
(2)小明说：“设图①中大正方体的棱长总和为$l$，图②中立体图形各棱的长度之和为$l_1$，则$l_1$比$l$正好多出大正方体3条棱的长度.”小明的说法一定正确吗？为什么？
(3)图③是图②中立体图形的表面展开图吗？如果不是，请在图③中予以修正.
(1)设原大正方体的表面积为$S$，图②中立体图形的表面积为$S_1$，则$S_1$与$S$的大小关系是()
A. $S_1＞S$
B. $S_1=S$
C. $S_1＜S$
D. 无法确定
(2)小明说：“设图①中大正方体的棱长总和为$l$，图②中立体图形各棱的长度之和为$l_1$，则$l_1$比$l$正好多出大正方体3条棱的长度.”小明的说法一定正确吗？为什么？
(3)图③是图②中立体图形的表面展开图吗？如果不是，请在图③中予以修正.
答案
解：
(1) B
(2) 小明的说法不正确。
理由：截去小正方体后，原大正方体的3条棱各被截去一段长度，该长度等于截去的小正方体的棱长，同时立体图形新增加了6条长度等于小正方体棱长的棱，因此总棱长之和的增量为3倍的小正方体的棱长。由于截去的小正方体的棱长小于原大正方体的棱长，因此$l_1$比$l$多出的是3条小正方体的棱的长度，并非大正方体3条棱的长度，所以小明的说法不正确。
(3) 图③不是图②中立体图形的表面展开图。
修正：将图③中仅有的1个带阶梯的缺角面，调整为三个相邻的面在对应公共顶点处各缺一个边长相等的小正方形角，三个缺口折叠后恰好对应立体图形的凹进部分，其余面保持为完整正方形，即可得到正确的表面展开图。
(1) B
(2) 小明的说法不正确。
理由：截去小正方体后，原大正方体的3条棱各被截去一段长度，该长度等于截去的小正方体的棱长，同时立体图形新增加了6条长度等于小正方体棱长的棱，因此总棱长之和的增量为3倍的小正方体的棱长。由于截去的小正方体的棱长小于原大正方体的棱长，因此$l_1$比$l$多出的是3条小正方体的棱的长度，并非大正方体3条棱的长度，所以小明的说法不正确。
(3) 图③不是图②中立体图形的表面展开图。
修正：将图③中仅有的1个带阶梯的缺角面，调整为三个相邻的面在对应公共顶点处各缺一个边长相等的小正方形角，三个缺口折叠后恰好对应立体图形的凹进部分，其余面保持为完整正方形，即可得到正确的表面展开图。
解析
【分析】
(1) 分析挖去小正方体后的表面积变化：在大正方体顶点处挖去小正方体时，原大正方体表面减少3个小正方形面，同时凹进部分新增3个相同的小正方形面，总表面积不变，据此判断$S_1$和$S$的关系。
(2) 分析切割前后的棱长变化：切割后原大正方体3条棱各被截去一段（长度等于小正方体棱长），同时新增6条长度等于小正方体棱长的棱，总棱长增量为3倍小正方体棱长，与大正方体棱长无关，据此判断小明说法是否正确。
(3) 结合立体图形结构判断展开图：图②的立体有3个相邻面各缺1个小正方形角，图③仅1个面有阶梯缺口，不符合展开特征，据此修正。
【解析】
(1) 挖去小正方体后，原大正方体去掉3个边长等于小正方体棱长的正方形面，同时凹进部分新增3个同样的正方形面，因此表面积没有变化，即$S_1=S$，故选B。
(2) 设小正方体棱长为$a$（$a$小于大正方体棱长），切割后原大正方体有3条棱各减少长度$a$，共减少$3a$；同时新增6条长度为$a$的棱，共增加$6a$，因此总棱长增量为$6a-3a=3a$，即$l_1$比$l$多的是3条小正方体的棱的长度，不是大正方体的3条棱的长度，所以小明说法错误。
(3) 图②的立体有3个相邻面各缺1个小正方形角，图③仅1个面有阶梯状缺口，折叠后无法形成凹进的结构，因此不是图②的表面展开图。修正时只需在和阶梯缺口面相邻的两个完整正方形面上，靠近三个面公共顶点的位置各去掉一个和缺口小正方形边长相等的小正方形，使三个相邻面各有对应缺口，折叠后可匹配凹进部分即可。
【答案】
(1) B
(2) 小明的说法不正确。理由：截去小正方体后，原大正方体的3条棱各被截去一段长度，该长度等于截去的小正方体的棱长，同时立体图形新增加了6条长度等于小正方体棱长的棱，因此总棱长之和的增量为3倍的小正方体的棱长。由于截去的小正方体的棱长小于原大正方体的棱长，因此$l_1$比$l$多出的是3条小正方体的棱的长度，并非大正方体3条棱的长度，所以小明的说法不正确。
(3) 图③不是图②中立体图形的表面展开图。修正：将图③中仅有的1个带阶梯的缺角面，调整为三个相邻的面在对应公共顶点处各缺一个边长相等的小正方形角，三个缺口折叠后恰好对应立体图形的凹进部分，其余面保持为完整正方形，即可得到正确的表面展开图。
【知识点】
正方体的表面积，正方体的棱长和，立体图形的展开图
【点评】
本题围绕正方体切割后的特征出题，侧重考察空间想象能力，解题时需逐一分析切割后面、棱的增减变化，避免仅凭直觉判断导致错误。
【难度系数】
0.6
(1) 分析挖去小正方体后的表面积变化：在大正方体顶点处挖去小正方体时，原大正方体表面减少3个小正方形面，同时凹进部分新增3个相同的小正方形面，总表面积不变，据此判断$S_1$和$S$的关系。
(2) 分析切割前后的棱长变化：切割后原大正方体3条棱各被截去一段（长度等于小正方体棱长），同时新增6条长度等于小正方体棱长的棱，总棱长增量为3倍小正方体棱长，与大正方体棱长无关，据此判断小明说法是否正确。
(3) 结合立体图形结构判断展开图：图②的立体有3个相邻面各缺1个小正方形角，图③仅1个面有阶梯缺口，不符合展开特征，据此修正。
【解析】
(1) 挖去小正方体后，原大正方体去掉3个边长等于小正方体棱长的正方形面，同时凹进部分新增3个同样的正方形面，因此表面积没有变化，即$S_1=S$，故选B。
(2) 设小正方体棱长为$a$（$a$小于大正方体棱长），切割后原大正方体有3条棱各减少长度$a$，共减少$3a$；同时新增6条长度为$a$的棱，共增加$6a$，因此总棱长增量为$6a-3a=3a$，即$l_1$比$l$多的是3条小正方体的棱的长度，不是大正方体的3条棱的长度，所以小明说法错误。
(3) 图②的立体有3个相邻面各缺1个小正方形角，图③仅1个面有阶梯状缺口，折叠后无法形成凹进的结构，因此不是图②的表面展开图。修正时只需在和阶梯缺口面相邻的两个完整正方形面上，靠近三个面公共顶点的位置各去掉一个和缺口小正方形边长相等的小正方形，使三个相邻面各有对应缺口，折叠后可匹配凹进部分即可。
【答案】
(1) B
(2) 小明的说法不正确。理由：截去小正方体后，原大正方体的3条棱各被截去一段长度，该长度等于截去的小正方体的棱长，同时立体图形新增加了6条长度等于小正方体棱长的棱，因此总棱长之和的增量为3倍的小正方体的棱长。由于截去的小正方体的棱长小于原大正方体的棱长，因此$l_1$比$l$多出的是3条小正方体的棱的长度，并非大正方体3条棱的长度，所以小明的说法不正确。
(3) 图③不是图②中立体图形的表面展开图。修正：将图③中仅有的1个带阶梯的缺角面，调整为三个相邻的面在对应公共顶点处各缺一个边长相等的小正方形角，三个缺口折叠后恰好对应立体图形的凹进部分，其余面保持为完整正方形，即可得到正确的表面展开图。
【知识点】
正方体的表面积，正方体的棱长和，立体图形的展开图
【点评】
本题围绕正方体切割后的特征出题，侧重考察空间想象能力，解题时需逐一分析切割后面、棱的增减变化，避免仅凭直觉判断导致错误。
【难度系数】
0.6
