1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+2$的图象与$x$轴交于$A(-3,0),B(1,0)$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)点$M$为抛物线上一动点,在$x$轴上是否存在点$Q$,使以$A,C,M,Q$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点$Q$的坐标;若不存在,说明理由.

(1)抛物线的表达式为$y=a(x+3)(x-1)=a(x^2+2x-3)$,故$-3a=2$,解得$a=-\frac{2}{3}$,故抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+2$.
(2)存在,点$Q$的坐标为$(2+\sqrt{7},0)$或$(2-\sqrt{7},0)$或$(-5,0)$或$(-1,0)$. 解析:设点$M(m,n)$,$n=-\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m+2$,点$Q(s,0)$,而点$A(-3,0)$,点$C(0,2)$.
①当$AC$是边时,点$A$向右平移3个单位长度、向上平移2个单位长度得到点$C$,同理点$M(Q)$向右平移3个单位长度、向上平移2个单位长度得到点$Q(M)$,即$m+3=s$,$n+2=0$或$m-3=s$,$n-2=0$,当$n=-2$时,$-\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m+2=-2$,解得$m=-1+\sqrt{7}$或$-1-\sqrt{7}$,解得$s=2\pm\sqrt{7}$;当$n=2$时,$-\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m+2=2$,解得$m=0$或$-2$,当$m=0$时,点$M$与点$C$重合,故舍去,解得$s=-5$;
②当$AC$是对角线时,由中点坐标公式得$m+s=-3$,$n=2$,当$n=2$时,$-\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m+2=2$,解得$m=0$或$-2$,当$m=0$时,点$M$与点$C$重合,故舍去,解得$s=-1$.综上,点$Q$的坐标为$(2+\sqrt{7},0)$或$(2-\sqrt{7},0)$或$(-5,0)$或$(-1,0)$.

【分析】
(1) 已知二次函数与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设解析式，代入交点后结合已知的常数项即可求出参数a，进而得到二次函数的完整表达式。
(2) 平行四边形存在性问题需分类讨论：①AC为平行四边形的边，利用点的平移规律列方程求解；②AC为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式列方程求解，计算后需舍去点M与C重合的不合理解。
【解析】
(1) 已知二次函数图象过$A(-3,0)$、$B(1,0)$，设二次函数解析式为$y=a(x+3)(x-1)$，
展开得$y=ax^2+2ax-3a$，
由题可知二次函数常数项为2，即$-3a=2$，
解得$a=-\frac{2}{3}$，
代入得二次函数表达式为$y=-\frac{2}{3}(x+3)(x-1)=-\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+2$。
(2) 设点$M(m,n)$，则$n=-\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m+2$，设x轴上点$Q$坐标为$(s,0)$，已知$A(-3,0)$，$C(0,2)$，分两种情况讨论：
①当$AC$为平行四边形的边时：
点A向右平移3个单位、向上平移2个单位得到点C，根据平行四边形对边平行且相等，分两种平移情况：
第一种：点M向右平移3个单位、向上平移2个单位得到点Q，即$\begin{cases}m+3=s\\n+2=0\end{cases}$，得$n=-2$，
代入解析式得$-\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m+2=-2$，
整理得$m^2+2m-6=0$，解得$m=-1+\sqrt{7}$或$m=-1-\sqrt{7}$，
对应$s=2+\sqrt{7}$或$s=2-\sqrt{7}$，即$Q(2+\sqrt{7},0)$或$Q(2-\sqrt{7},0)$；
第二种：点Q向右平移3个单位、向上平移2个单位得到点M，即$\begin{cases}s+3=m\\0+2=n\end{cases}$，得$n=2$，
代入解析式得$-\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m+2=2$，解得$m=0$或$m=-2$，
$m=0$时M与C重合，舍去，取$m=-2$，得$s=-5$，即$Q(-5,0)$；
②当$AC$为平行四边形的对角线时：
平行四边形对角线互相平分，即AC中点与MQ中点重合，由中点坐标公式得：
$\begin{cases}\frac{-3+0}{2}=\frac{m+s}{2}\\\frac{0+2}{2}=\frac{n+0}{2}\end{cases}$，即$\begin{cases}m+s=-3\\n=2\end{cases}$，
$n=2$时解得$m=0$或$m=-2$，$m=0$时M与C重合舍去，取$m=-2$，得$s=-1$，即$Q(-1,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+2$
(2) 存在，点$Q$的坐标为$(2+\sqrt{7},0)$、$(2-\sqrt{7},0)$、$(-5,0)$、$(-1,0)$
【知识点】
待定系数法求二次函数；平行四边形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型题型，第一问属于基础题，考查二次函数解析式的求解方法；第二问重点考查分类讨论思想，解题时需按边和对角线两类情况逐一分析，避免漏解，同时要注意验证结果合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6

2. 如图,抛物线$y=-x^2+2x+3$交$x$轴于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),交$y$轴于点$C$,顶点为$D$,对称轴分别交$x$轴,$BC$于点$F,E$.$P$是射线$DF$上一动点,过点$P$作$BC$的平行线$MN$交$x$轴于点$Q$,交抛物线于点$M,N$(点$M$位于对称轴的左侧),设点$P$的纵坐标为$m$.
(1)求$A,B,C$三点的坐标和直线$BC$的函数表达式.
(2)$J$是抛物线上一点,点$P$在整个运动过程中,当以点$C,P,M,J$为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出$m$的值.

$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P39 专题37

(1)$\because$ 抛物线$y=-x^2+2x+3$交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$,
$\therefore$ 当$y=0$,即$-x^2+2x+3=0$时,解得$x_1=-1$,$x_2=3$,则$A(-1,0)$,$B(3,0)$;当$x=0$时,$y=3$,则$C(0,3)$.
设直线$BC$的表达式为$y=kx+b$,由题意可得$\begin{cases}3k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$$\therefore$ 直线$BC$的函数表达式为$y=-x+3$.
(2)$m$的值为$-8$或$\sqrt{17}-1$. 解析:抛物线$y=-x^2+2x+3$的对称轴为直线$x=1$,当$PM$为平行四边形的边时,$C(0,3)$,$P(1,m)$,设$M(x_M,y_M)$,$J(x_j,y_j)$,$\because PM// CJ$,$PM=CJ$,$\therefore$ 点$J$与点$B$重合,$\therefore x_M-x_P=x_C-x_B$,$y_M-y_P=y_C-y_B$,$\therefore x_M-1=0-3=-3$,$y_M-m=3-0=3$.$\therefore x_M=-2$,$y_M=3+m$,$\therefore M(-2,3+m)$,将$M(-2,3+m)$代入$y=-x^2+2x+3$得$3+m=-(-2)^2+2×(-2)+3$,可得$m=-8$.当$PM$为平行四边形的对角线时,则$CP// MJ$,$CP=MJ$,$\therefore x_P-x_C=x_j-x_M$,$y_P-y_C=y_j-y_M$,$\therefore 1-0=x_j-x_M$,$m-3=y_j-y_M$,$\therefore x_j=1+x_M$,$y_j=m-3+y_M$.设点$M(a,-a^2+2a+3)$,则$J(a+1,-a^2+4)$,$\therefore -a^2+4=-a^2+2a+3+m-3$,整理得$m=4-2a$.$\because MN// BC$,$\therefore$ 设直线$MN$的表达式为$y=-x+n$,将$P(1,m)$代入可得$m=-1+n$,即$n=m+1$,$\therefore$ 直线$MN$的表达式为$y=-x+m+1$,把点$M(a,-a^2+2a+3)$代入$y=-x+m+1$,得$-a^2+2a+3=-a+m+1$,将$m=4-2a$代入$-a^2+2a+3=-a+m+1$,得$-a^2+2a+3=-a+4-2a+1$,整理得$-a^2+5a-2=0$,解得$a_1=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$,$a_2=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$(舍去),$\therefore m=4-2×\frac{5-\sqrt{17}}{2}=\sqrt{17}-1$.综上,$m$的值为$-8$或$\sqrt{17}-1$.

【分析】
(1)求抛物线与x轴交点，令y=0解一元二次方程即可得到A、B坐标；求与y轴交点令x=0代入抛物线解析式得到C坐标；再用待定系数法，将B、C两点坐标代入一次函数一般式，解方程组得到直线BC的解析式。
(2)先确定抛物线对称轴为x=1，故P点坐标为(1,m)。以C、P、M、J为顶点的平行四边形分两种情况讨论：①PM为平行四边形的边时，利用平行四边形对边平行且相等的坐标平移规律，得到M点坐标，代入抛物线解析式求解m；②PM为平行四边形的对角线时，结合平行四边形对角线互相平分的性质，得到点坐标的关系，再由MN//BC得直线MN斜率为-1，设出MN解析式代入P点坐标，结合M点既在抛物线上又在直线MN上，联立方程求解，注意M在对称轴左侧的条件舍去不符合的解，最终得到m的所有可能值。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=-x^2+2x+3$：
当$y=0$时，$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$；
当$x=0$时，$y=3$，
∴$C(0,3)$。
设直线BC的函数表达式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，
∴直线BC的函数表达式为$y=-x+3$。
(2) 抛物线$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，对称轴为直线$x=1$，故$P(1,m)$，分两种情况讨论：
① 当PM为平行四边形的边时，$PM// CJ$且$PM=CJ$，此时点J与点B重合，根据坐标平移规律：
$x_M - x_P = x_C - x_B$，$y_M - y_P = y_C - y_B$，
代入坐标得$x_M-1=0-3=-3$，$y_M-m=3-0=3$，解得$x_M=-2$，$y_M=3+m$，即$M(-2,3+m)$。
将M代入抛物线解析式得：$3+m=-(-2)^2+2×(-2)+3$，解得$m=-8$。
② 当PM为平行四边形的对角线时，$CP// MJ$且$CP=MJ$，根据坐标平移规律：
$x_P - x_C = x_J - x_M$，$y_P - y_C = y_J - y_M$，
代入得$x_J=x_M+1$，$y_J=y_M + m - 3$。
设$M(a,-a^2+2a+3)$，则$J(a+1,-a^2+2a+m)$，J在抛物线上，代入得：
$-a^2+2a+m=-(a+1)^2+2(a+1)+3$，化简得$m=4-2a$。
∵$MN// BC$，设直线MN解析式为$y=-x+n$，将$P(1,m)$代入得$n=m+1$，故直线MN解析式为$y=-x+m+1$。
M在直线MN上，故$-a^2+2a+3=-a + m + 1$，将$m=4-2a$代入整理得$a^2 -5a +2=0$，解得$a_1=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，$a_2=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$。
∵M在对称轴$x=1$左侧，即$a＜1$，故舍去$a_2$，代入得$m=4-2×\frac{5-\sqrt{17}}{2}=\sqrt{17}-1$。
综上，m的值为$-8$或$\sqrt{17}-1$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$，直线BC的函数表达式为$y=-x+3$；
(2) $m$的值为$-8$或$\sqrt{17}-1$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，平行四边形存在性
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，第一问为基础题型，考查二次函数与坐标轴交点的求法和待定系数法求一次函数解析式；第二问需分类讨论平行四边形的边和对角线两种情况，结合坐标平移性质联立方程求解，易错点为分类不全面或忽略点的位置限制舍去不合理解，对综合分析能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3