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1. 完全平方式
我们把
这样的式子叫作完全平方式。
我们把
$a^2+2ab+b^2$
和$a^2-2ab+b^2$
这样的式子叫作完全平方式。
答案
$a^2+2ab+b^2$，$a^2-2ab+b^2$
2. 用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的
平方.
用字母表示为$a^2+2ab+b^2=$
$a^2-2ab+b^2=$
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的
平方.
用字母表示为$a^2+2ab+b^2=$
$(a+b)^2$
，$a^2-2ab+b^2=$
$(a-b)^2$
.答案
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
3.公式法
运用
运用
公式
把多项式分解因式的方法叫作公式法。答案
公式
典例1 如果$x^2 + 2ax + 1$是一个完全平方式，则a的值是（）。
A.1
B.−1
C.1或−1
D.2或−2
A.1
B.−1
C.1或−1
D.2或−2
答案
C
解析
根据完全平方式的结构特征：形如$m^2\pm2mn+n^2$的式子为完全平方式。对比式子$x^2+2ax+1$，可知首项为$x^2$，末项为$1^2$，因此中间项满足$2ax=\pm2· x·1$，即$2a=\pm2$，解得$a=1$或$a=-1$。
举一反三 $x^2 - 6x + m^2$ 是一个完全平方式，则m的值为（
A.3
B.9
C.$-3$
D.$\pm3$
D
）。A.3
B.9
C.$-3$
D.$\pm3$
答案
D 解析 $\because x^2-6x+m^2$ 是一个完全平方式，$\therefore m^2=9$，解得$m=\pm3$. 故选D.
典例2 分解因式：
(1)$m^2 + 14m + 49$；
(2)$-9x^2 + 12x - 4$；
(3)$a^2 + 2a(b + c) + (b + c)^2$。
(1)$m^2 + 14m + 49$；
(2)$-9x^2 + 12x - 4$；
(3)$a^2 + 2a(b + c) + (b + c)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=m^2 + 2· m ·7 +7^2$
$=(m+7)^2$
(2) 原式$=-(9x^2 -12x +4)$
$=-[(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x-2)^2$
(3) 原式$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
(1) 原式$=m^2 + 2· m ·7 +7^2$
$=(m+7)^2$
(2) 原式$=-(9x^2 -12x +4)$
$=-[(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x-2)^2$
(3) 原式$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
举一反三 分解因式:
(1)$-x^2 + 2xy - y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b-1)$。
典例解析
典例1
答案C
解析 $\because (x\pm1)^2 =x^2\pm2x +1$，且$x^2 +2ax +1$是一个完全平方式，
$\therefore \pm2x=2a$，$\therefore a=\pm1$，故选C。
典例2
解 (1)$m^2 +14m +49$
$=m^2 +2· m·7 +7^2$
$=(m+7)^2$。
(2)$-9x^2 +12x -4$
$=-[(3x)^2 -2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x -2)^2$。
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$。
(1)$-x^2 + 2xy - y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b-1)$。
典例解析
典例1
答案C
解析 $\because (x\pm1)^2 =x^2\pm2x +1$，且$x^2 +2ax +1$是一个完全平方式，
$\therefore \pm2x=2a$，$\therefore a=\pm1$，故选C。
典例2
解 (1)$m^2 +14m +49$
$=m^2 +2· m·7 +7^2$
$=(m+7)^2$。
(2)$-9x^2 +12x -4$
$=-[(3x)^2 -2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x -2)^2$。
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$。
答案
解：
(1)$-x^2+2xy-y^2$
$=-(x^2-2xy+y^2)$
$=-(x-y)^2$.
(2)$4(x+y)^2+25-20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2-2·2(x+y)·5+5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
(3)$(a+b)^2-4(a+b-1)$
$=(a+b)^2-4(a+b)+4$
$=(a+b-2)^2$.
(1)$-x^2+2xy-y^2$
$=-(x^2-2xy+y^2)$
$=-(x-y)^2$.
(2)$4(x+y)^2+25-20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2-2·2(x+y)·5+5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
(3)$(a+b)^2-4(a+b-1)$
$=(a+b)^2-4(a+b)+4$
$=(a+b-2)^2$.
