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1.如图,某山坡的斜面坡度$i=1:\sqrt{3}$,若斜坡$AB=300\ \mathrm{m}$,则该山坡的高度BC是m。
答案
$\boldsymbol{150}$
解析
【分析】
解题第一步先明确坡度的含义，坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，本题中即$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。观察图形可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，已知斜边$AB$的长度，我们可以先通过坡度得到两条直角边的数量关系，再结合勾股定理或者直角三角形的边角关系求解高度$BC$。
【解析】
解：$\because$ 山坡的斜面坡度$i=1:\sqrt{3}$，且坡度为垂直高度与水平宽度的比，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$AC=\sqrt{3}BC$。
$\because BC⊥ AC$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得$∠ A=30°$。
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
代入$AB=300\ \mathrm{m}$，得$BC=\frac{1}{2}×300=150\ \mathrm{m}$。
（也可通过勾股定理求解：将$AC=\sqrt{3}BC$、$AB=300$代入勾股公式$AB^2=AC^2+BC^2$，得$300^2=(\sqrt{3}BC)^2+BC^2$，解得$BC=150\ \mathrm{m}$）
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，核心考查对坡度概念的理解，结合直角三角形的相关性质即可求解，解题的关键是正确理解坡度的含义，建立两条直角边的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题第一步先明确坡度的含义，坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，本题中即$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。观察图形可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，已知斜边$AB$的长度，我们可以先通过坡度得到两条直角边的数量关系，再结合勾股定理或者直角三角形的边角关系求解高度$BC$。
【解析】
解：$\because$ 山坡的斜面坡度$i=1:\sqrt{3}$，且坡度为垂直高度与水平宽度的比，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$AC=\sqrt{3}BC$。
$\because BC⊥ AC$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得$∠ A=30°$。
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
代入$AB=300\ \mathrm{m}$，得$BC=\frac{1}{2}×300=150\ \mathrm{m}$。
（也可通过勾股定理求解：将$AC=\sqrt{3}BC$、$AB=300$代入勾股公式$AB^2=AC^2+BC^2$，得$300^2=(\sqrt{3}BC)^2+BC^2$，解得$BC=150\ \mathrm{m}$）
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，核心考查对坡度概念的理解，结合直角三角形的相关性质即可求解，解题的关键是正确理解坡度的含义，建立两条直角边的数量关系。
【难度系数】
0.8
2.如图,水平地面上,护林员与树根的距离$AC=30\ \mathrm{m}$,护林员的眼睛离地面的高度$BA=1.6\ \mathrm{m}$,在该处测得树梢点$D$的仰角为$30°$,则树高$CD$约为$\mathrm{m}$。(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
解：
过点B作BE⊥CD，垂足为E。
由题意得：四边形ABEC为矩形，
∴ BE = AC = 30 m，CE = AB = 1.6 m。
在Rt△BDE中，∠DBE = 30°，
∵ tan∠DBE = $\frac{DE}{BE}$，
∴ DE = BE · tan30° = $30 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 10 × 1.73 = 17.3$ m。
∴ CD = DE + CE = 17.3 + 1.6 = 18.9 m。
答：树高CD约为18.9 m。
过点B作BE⊥CD，垂足为E。
由题意得：四边形ABEC为矩形，
∴ BE = AC = 30 m，CE = AB = 1.6 m。
在Rt△BDE中，∠DBE = 30°，
∵ tan∠DBE = $\frac{DE}{BE}$，
∴ DE = BE · tan30° = $30 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 10 × 1.73 = 17.3$ m。
∴ CD = DE + CE = 17.3 + 1.6 = 18.9 m。
答：树高CD约为18.9 m。
解析
【分析】
这是一道利用三角函数解决实际高度测量的问题，解题思路如下：1. 要使用仰角条件计算边长，需先构造包含30°仰角的直角三角形，因此过点B作CD的垂线，垂足为E，此时可得到矩形ABEC和Rt△BDE；2. 利用矩形的性质，将已知的AC、AB长度转化为直角三角形的直角边BE的长度和CD的一部分CE的长度；3. 在Rt△BDE中，根据30°角的正切值求出DE的长度；4. 最后将DE和CE相加即可得到树高CD。
【解析】
过点B作BE⊥CD，垂足为E。
由题意得AB⊥AC，CD⊥AC，因此四边形ABEC为矩形，
∴ BE = AC = 30 m，CE = AB = 1.6 m。
在Rt△BDE中，∠DBE = 30°，
根据正切的定义：$\tan∠ DBE = \frac{DE}{BE}$，
∴ $DE = BE · \tan30° = 30 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 10 × 1.73 = 17.3$ m。
∴ $CD = DE + CE = 17.3 + 1.6 = 18.9$ m。
【答案】
18.9
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于仰角测量的基础应用题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际测量问题转化为几何计算问题，计算时要注意不要漏加观测点离地面的高度。
【难度系数】
0.7
这是一道利用三角函数解决实际高度测量的问题，解题思路如下：1. 要使用仰角条件计算边长，需先构造包含30°仰角的直角三角形，因此过点B作CD的垂线，垂足为E，此时可得到矩形ABEC和Rt△BDE；2. 利用矩形的性质，将已知的AC、AB长度转化为直角三角形的直角边BE的长度和CD的一部分CE的长度；3. 在Rt△BDE中，根据30°角的正切值求出DE的长度；4. 最后将DE和CE相加即可得到树高CD。
【解析】
过点B作BE⊥CD，垂足为E。
由题意得AB⊥AC，CD⊥AC，因此四边形ABEC为矩形，
∴ BE = AC = 30 m，CE = AB = 1.6 m。
在Rt△BDE中，∠DBE = 30°，
根据正切的定义：$\tan∠ DBE = \frac{DE}{BE}$，
∴ $DE = BE · \tan30° = 30 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 10 × 1.73 = 17.3$ m。
∴ $CD = DE + CE = 17.3 + 1.6 = 18.9$ m。
【答案】
18.9
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于仰角测量的基础应用题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际测量问题转化为几何计算问题，计算时要注意不要漏加观测点离地面的高度。
【难度系数】
0.7
3.如图,在高楼前的D处测得楼顶的仰角为$30°$,向高楼前进100 m到达C处,又测得楼顶的仰角为$45°$,则楼高AB的精确值为m。
答案
解：设楼高AB为$x$ m。
由题意知$AB ⊥ DB$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=45°$，
$\therefore BC = AB = x$ m。
$\because DC = 100$ m，
$\therefore DB = DC + BC = (100 + x)$ m。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ D=30°$，
由$\tan30° = \dfrac{AB}{DB}$，得：
$\dfrac{x}{100 + x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
整理得：
$3x = \sqrt{3}(100 + x)$
$x(3 - \sqrt{3}) = 100\sqrt{3}$
$x = \dfrac{100\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 50(\sqrt{3} + 1)$
答：楼高$AB$的精确值为$\boldsymbol{50(\sqrt{3}+1)}$ m。
由题意知$AB ⊥ DB$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=45°$，
$\therefore BC = AB = x$ m。
$\because DC = 100$ m，
$\therefore DB = DC + BC = (100 + x)$ m。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ D=30°$，
由$\tan30° = \dfrac{AB}{DB}$，得：
$\dfrac{x}{100 + x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
整理得：
$3x = \sqrt{3}(100 + x)$
$x(3 - \sqrt{3}) = 100\sqrt{3}$
$x = \dfrac{100\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 50(\sqrt{3} + 1)$
答：楼高$AB$的精确值为$\boldsymbol{50(\sqrt{3}+1)}$ m。
解析
【分析】
这是仰角测量楼高的实际应用问题，解题思路如下：首先确定图中存在两个共直角边AB的直角三角形，我们可以设楼高AB为未知量x，先利用含45°角的Rt△ABC的性质，得到BC与AB的长度相等，再结合DC的长度表示出DB的长度，最后在含30°角的Rt△ADB中，利用30°角的正切值建立关于x的方程，解方程并化简即可得到楼高的精确值。
【解析】
设楼高AB为$x$ m，由题意得$AB ⊥ DB$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=45°$，
$\therefore BC = AB = x$ m。
$\because DC = 100$ m，
$\therefore DB = DC + BC = (100 + x)$ m。
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠ D=30°$，
根据正切的定义$\tan30° = \dfrac{AB}{DB}$，代入得：
$\dfrac{x}{100 + x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
交叉相乘整理得：
$3x = \sqrt{3}(100 + x)$
移项合并同类项得：
$x(3 - \sqrt{3}) = 100\sqrt{3}$
分母有理化计算得：
$x = \dfrac{100\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 50(\sqrt{3} + 1)$
【答案】
$50(\sqrt{3}+1)$
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是利用两个直角三角形的公共边作为关联量，结合特殊角的三角函数值建立方程求解，侧重考查基础应用能力，计算时注意分母有理化的规范操作。
【难度系数】
0.7
这是仰角测量楼高的实际应用问题，解题思路如下：首先确定图中存在两个共直角边AB的直角三角形，我们可以设楼高AB为未知量x，先利用含45°角的Rt△ABC的性质，得到BC与AB的长度相等，再结合DC的长度表示出DB的长度，最后在含30°角的Rt△ADB中，利用30°角的正切值建立关于x的方程，解方程并化简即可得到楼高的精确值。
【解析】
设楼高AB为$x$ m，由题意得$AB ⊥ DB$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=45°$，
$\therefore BC = AB = x$ m。
$\because DC = 100$ m，
$\therefore DB = DC + BC = (100 + x)$ m。
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠ D=30°$，
根据正切的定义$\tan30° = \dfrac{AB}{DB}$，代入得：
$\dfrac{x}{100 + x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
交叉相乘整理得：
$3x = \sqrt{3}(100 + x)$
移项合并同类项得：
$x(3 - \sqrt{3}) = 100\sqrt{3}$
分母有理化计算得：
$x = \dfrac{100\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 50(\sqrt{3} + 1)$
【答案】
$50(\sqrt{3}+1)$
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是利用两个直角三角形的公共边作为关联量，结合特殊角的三角函数值建立方程求解，侧重考查基础应用能力，计算时注意分母有理化的规范操作。
【难度系数】
0.7
4.为测量大楼AB的高度，小明测得坡底点C到大楼底部点A的水平距离AC=52 m，斜坡CD=52 m(点A,B,C,D在同一平面内)，斜坡的坡度i=1:2.4。若在点D处测得大楼顶部点B的仰角为$45°$，则大楼AB的高度为 m。
答案
解：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，
则四边形DEAF为矩形，
∴ $AE = DF$，$DE = AF$。
∵ 斜坡CD的坡度$i=1:2.4$，即$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2.4}=\frac{5}{12}$，
设$DF=5k\ \mathrm{m}$，$CF=12k\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=13k$，
∵ $CD=52\ \mathrm{m}$，
∴ $13k=52$，解得$k=4$，
∴ $DF=20\ \mathrm{m}$，$CF=48\ \mathrm{m}$，
∴ $AF = AC + CF = 52 + 48 = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $DE = 100\ \mathrm{m}$，$AE = 20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE=45°$，
∴ $BE = DE · \tan45° = DE = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = BE + AE = 100 + 20 = 120\ \mathrm{m}$。
答：大楼AB的高度为$\boldsymbol{120}$ m。
则四边形DEAF为矩形，
∴ $AE = DF$，$DE = AF$。
∵ 斜坡CD的坡度$i=1:2.4$，即$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2.4}=\frac{5}{12}$，
设$DF=5k\ \mathrm{m}$，$CF=12k\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=13k$，
∵ $CD=52\ \mathrm{m}$，
∴ $13k=52$，解得$k=4$，
∴ $DF=20\ \mathrm{m}$，$CF=48\ \mathrm{m}$，
∴ $AF = AC + CF = 52 + 48 = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $DE = 100\ \mathrm{m}$，$AE = 20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE=45°$，
∴ $BE = DE · \tan45° = DE = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = BE + AE = 100 + 20 = 120\ \mathrm{m}$。
答：大楼AB的高度为$\boldsymbol{120}$ m。
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将待求的大楼高度AB拆分为AE和BE两段求解；①利用斜坡CD的坡度和长度，结合勾股定理求出DF、CF的长度，进而得到AE和DE的长度；②再利用点D处的仰角为45°，得到Rt△BDE为等腰直角三角形，求出BE的长度；最后将BE与AE相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，
则四边形DEAF为矩形，
∴ $AE = DF$，$DE = AF$。
∵ 斜坡CD的坡度$i=1:2.4$，即$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2.4}=\frac{5}{12}$，
设$DF=5k\ \mathrm{m}$，$CF=12k\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=13k$，
∵ $CD=52\ \mathrm{m}$，
∴ $13k=52$，解得$k=4$，
∴ $DF=20\ \mathrm{m}$，$CF=48\ \mathrm{m}$，
∴ $AF = AC + CF = 52 + 48 = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $DE = 100\ \mathrm{m}$，$AE = 20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE=45°$，
∴ $BE = DE · \tan45° = DE = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = BE + AE = 100 + 20 = 120\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{120}$
【知识点】
解直角三角形应用，勾股定理，矩形性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，核心考查坡度、仰角的基本概念，以及通过构造辅助线转化线段关系的能力，解题的关键是利用坡度结合勾股定理求出直角三角形CDF的两条直角边长，再结合特殊角的三角函数值即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将待求的大楼高度AB拆分为AE和BE两段求解；①利用斜坡CD的坡度和长度，结合勾股定理求出DF、CF的长度，进而得到AE和DE的长度；②再利用点D处的仰角为45°，得到Rt△BDE为等腰直角三角形，求出BE的长度；最后将BE与AE相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，
则四边形DEAF为矩形，
∴ $AE = DF$，$DE = AF$。
∵ 斜坡CD的坡度$i=1:2.4$，即$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2.4}=\frac{5}{12}$，
设$DF=5k\ \mathrm{m}$，$CF=12k\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=13k$，
∵ $CD=52\ \mathrm{m}$，
∴ $13k=52$，解得$k=4$，
∴ $DF=20\ \mathrm{m}$，$CF=48\ \mathrm{m}$，
∴ $AF = AC + CF = 52 + 48 = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $DE = 100\ \mathrm{m}$，$AE = 20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE=45°$，
∴ $BE = DE · \tan45° = DE = 100\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = BE + AE = 100 + 20 = 120\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{120}$
【知识点】
解直角三角形应用，勾股定理，矩形性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，核心考查坡度、仰角的基本概念，以及通过构造辅助线转化线段关系的能力，解题的关键是利用坡度结合勾股定理求出直角三角形CDF的两条直角边长，再结合特殊角的三角函数值即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 某数学兴趣小组利用体育场的看台测量旗杆的高度。如图，旗杆与看台斜坡的剖面在同一平面内，在看台底部点C处测得旗杆顶端点B的仰角为$45°$；沿斜坡CD行走13 m到达坡顶点D处，测得旗杆顶端点B的仰角为$26.7°$。已知斜坡CD的坡度$i=5:12$，点A,C,G,F在同一条水平直线上。
(1)求点D到地面AC的距离。
(2)求旗杆AB的高度。(结果精确到1 m。参考数据:$\sin 26.7° \approx 0.45$，$\cos 26.7° \approx 0.89$，$\tan 26.7° \approx 0.50$)
(1)求点D到地面AC的距离。
(2)求旗杆AB的高度。(结果精确到1 m。参考数据:$\sin 26.7° \approx 0.45$，$\cos 26.7° \approx 0.89$，$\tan 26.7° \approx 0.50$)
答案
解：
(1) 过点D作DG⊥AC，垂足为G。
由斜坡CD的坡度$i=5:12$，得$\dfrac{DG}{GC}=\dfrac{5}{12}$。
设$DG=5k\ \mathrm{m}$，则$GC=12k\ \mathrm{m}$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ DGC$中，$∠ DGC=90°$，由勾股定理得：
$DG^2 + GC^2 = CD^2$
代入$CD=13\ \mathrm{m}$，得：
$(5k)^2 + (12k)^2 = 13^2$
$169k^2=169$
解得$k=1$（$k＞0$）。
因此$DG=5\ \mathrm{m}$。
即点D到地面AC的距离为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 过点D作$DH⊥ AB$，垂足为H。
$\because AB⊥ AC$，$DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$DGAH$是矩形，
$\therefore AH=DG=5\ \mathrm{m}$，$DH=AG$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ BCA=45°$，
$\therefore AC=AB=x\ \mathrm{m}$。
$\therefore AG=GC+AC=(12+x)\ \mathrm{m}$，即$DH=(12+x)\ \mathrm{m}$，
$BH=AB-AH=(x-5)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$∠ BDH=26.7°$，
由$\tan∠ BDH=\dfrac{BH}{DH}$，代入$\tan26.7°\approx0.50$得：
$\dfrac{x-5}{x+12}\approx0.50$
解得：
$x-5=0.5x+6$
$0.5x=11$
$x=22$
答：(1) 点D到地面AC的距离为$5\ \mathrm{m}$；(2) 旗杆AB的高度约为$22\ \mathrm{m}$。
(1) 过点D作DG⊥AC，垂足为G。
由斜坡CD的坡度$i=5:12$，得$\dfrac{DG}{GC}=\dfrac{5}{12}$。
设$DG=5k\ \mathrm{m}$，则$GC=12k\ \mathrm{m}$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ DGC$中，$∠ DGC=90°$，由勾股定理得：
$DG^2 + GC^2 = CD^2$
代入$CD=13\ \mathrm{m}$，得：
$(5k)^2 + (12k)^2 = 13^2$
$169k^2=169$
解得$k=1$（$k＞0$）。
因此$DG=5\ \mathrm{m}$。
即点D到地面AC的距离为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 过点D作$DH⊥ AB$，垂足为H。
$\because AB⊥ AC$，$DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$DGAH$是矩形，
$\therefore AH=DG=5\ \mathrm{m}$，$DH=AG$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ BCA=45°$，
$\therefore AC=AB=x\ \mathrm{m}$。
$\therefore AG=GC+AC=(12+x)\ \mathrm{m}$，即$DH=(12+x)\ \mathrm{m}$，
$BH=AB-AH=(x-5)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$∠ BDH=26.7°$，
由$\tan∠ BDH=\dfrac{BH}{DH}$，代入$\tan26.7°\approx0.50$得：
$\dfrac{x-5}{x+12}\approx0.50$
解得：
$x-5=0.5x+6$
$0.5x=11$
$x=22$
答：(1) 点D到地面AC的距离为$5\ \mathrm{m}$；(2) 旗杆AB的高度约为$22\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 求点D到地面AC的距离，首先利用坡度的定义：坡度是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，过点D作DG⊥AC于G，可得DG与GC的比为5:12，设参数k表示DG和GC的长度，再结合CD=13m，利用勾股定理列方程求解k，即可得到DG的长度。
(2) 求旗杆AB的高度，过点D作DH⊥AB于H，可得到矩形DGAH，将边进行转化：AH=DG，DH=AG。再根据Rt△ABC中∠BCA=45°，可得AC=AB，设AB为x m，用含x的式子分别表示出BH和DH的长度，最后在Rt△BDH中利用26.7°的正切值列方程，求解即可得到AB的高度。
【解析】
(1) 过点D作DG⊥AC，垂足为G。
由斜坡CD的坡度$i=5:12$，得$\dfrac{DG}{GC}=\dfrac{5}{12}$。
设$DG=5k\ \mathrm{m}$，则$GC=12k\ \mathrm{m}$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ DGC$中，$∠ DGC=90°$，由勾股定理得：
$DG^2 + GC^2 = CD^2$
代入$CD=13\ \mathrm{m}$，得：
$(5k)^2 + (12k)^2 = 13^2$
$169k^2=169$
解得$k=1$（$k＞0$）。
因此$DG=5\ \mathrm{m}$。
即点D到地面AC的距离为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 过点D作$DH⊥ AB$，垂足为H。
$\because AB⊥ AC$，$DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$DGAH$是矩形，
$\therefore AH=DG=5\ \mathrm{m}$，$DH=AG$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ BCA=45°$，
$\therefore AC=AB=x\ \mathrm{m}$。
$\therefore AG=GC+AC=(12+x)\ \mathrm{m}$，即$DH=(12+x)\ \mathrm{m}$，
$BH=AB-AH=(x-5)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$∠ BDH=26.7°$，
由$\tan∠ BDH=\dfrac{BH}{DH}$，代入$\tan26.7°\approx0.50$得：
$\dfrac{x-5}{x+12}\approx0.50$
解得：
$x-5=0.5x+6$
$0.5x=11$
$x=22$
【答案】
(1) 点D到地面AC的距离为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 旗杆AB的高度约为$\boldsymbol{22\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形，坡度应用，勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查直角三角形的实际应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为解直角三角形问题，结合方程思想求解，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求点D到地面AC的距离，首先利用坡度的定义：坡度是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，过点D作DG⊥AC于G，可得DG与GC的比为5:12，设参数k表示DG和GC的长度，再结合CD=13m，利用勾股定理列方程求解k，即可得到DG的长度。
(2) 求旗杆AB的高度，过点D作DH⊥AB于H，可得到矩形DGAH，将边进行转化：AH=DG，DH=AG。再根据Rt△ABC中∠BCA=45°，可得AC=AB，设AB为x m，用含x的式子分别表示出BH和DH的长度，最后在Rt△BDH中利用26.7°的正切值列方程，求解即可得到AB的高度。
【解析】
(1) 过点D作DG⊥AC，垂足为G。
由斜坡CD的坡度$i=5:12$，得$\dfrac{DG}{GC}=\dfrac{5}{12}$。
设$DG=5k\ \mathrm{m}$，则$GC=12k\ \mathrm{m}$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ DGC$中，$∠ DGC=90°$，由勾股定理得：
$DG^2 + GC^2 = CD^2$
代入$CD=13\ \mathrm{m}$，得：
$(5k)^2 + (12k)^2 = 13^2$
$169k^2=169$
解得$k=1$（$k＞0$）。
因此$DG=5\ \mathrm{m}$。
即点D到地面AC的距离为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 过点D作$DH⊥ AB$，垂足为H。
$\because AB⊥ AC$，$DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$DGAH$是矩形，
$\therefore AH=DG=5\ \mathrm{m}$，$DH=AG$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ BCA=45°$，
$\therefore AC=AB=x\ \mathrm{m}$。
$\therefore AG=GC+AC=(12+x)\ \mathrm{m}$，即$DH=(12+x)\ \mathrm{m}$，
$BH=AB-AH=(x-5)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$∠ BDH=26.7°$，
由$\tan∠ BDH=\dfrac{BH}{DH}$，代入$\tan26.7°\approx0.50$得：
$\dfrac{x-5}{x+12}\approx0.50$
解得：
$x-5=0.5x+6$
$0.5x=11$
$x=22$
【答案】
(1) 点D到地面AC的距离为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 旗杆AB的高度约为$\boldsymbol{22\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形，坡度应用，勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查直角三角形的实际应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为解直角三角形问题，结合方程思想求解，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
