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1.计算$(m+1+\dfrac{3}{1-m})·\dfrac{m-1}{m+2}$
答案
1.原式$=m-2.$
解析
【分析】
本题属于分式混合运算题，解题思路如下：第一步先处理括号内的整式与分式的加法，需将整式通分转化为同分母分式再进行加减运算；第二步将括号内计算的结果与括号外的分式相乘，相乘前先对分子分母进行因式分解，再约分化简，注意处理1-m与m-1这类互为相反数的因式时要正确变号，避免符号错误。
【解析】
先计算括号内的部分：
$\begin{aligned}m+1+\dfrac{3}{1-m}&=\dfrac{(m+1)(1-m)}{1-m}+\dfrac{3}{1-m}\\&=\dfrac{1-m^2 + 3}{1-m}\\&=\dfrac{4 - m^2}{1 - m}\\&=\dfrac{-(m^2 - 4)}{-(m - 1)}\\&=\dfrac{(m+2)(m-2)}{m - 1}\end{aligned}$
再计算乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(m+2)(m-2)}{m - 1} · \dfrac{m - 1}{m + 2}\\&=m - 2\end{aligned}$
【答案】
$m-2$
【知识点】
1.分式混合运算
2.平方差公式
3.分式约分
【点评】
本题重点考查分式的混合运算规则，解题的核心是先对括号内的式子通分计算，再结合因式分解约分得到最简结果，计算时要注意互为相反数的因式变形时的符号变化，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于分式混合运算题，解题思路如下：第一步先处理括号内的整式与分式的加法，需将整式通分转化为同分母分式再进行加减运算；第二步将括号内计算的结果与括号外的分式相乘，相乘前先对分子分母进行因式分解，再约分化简，注意处理1-m与m-1这类互为相反数的因式时要正确变号，避免符号错误。
【解析】
先计算括号内的部分：
$\begin{aligned}m+1+\dfrac{3}{1-m}&=\dfrac{(m+1)(1-m)}{1-m}+\dfrac{3}{1-m}\\&=\dfrac{1-m^2 + 3}{1-m}\\&=\dfrac{4 - m^2}{1 - m}\\&=\dfrac{-(m^2 - 4)}{-(m - 1)}\\&=\dfrac{(m+2)(m-2)}{m - 1}\end{aligned}$
再计算乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(m+2)(m-2)}{m - 1} · \dfrac{m - 1}{m + 2}\\&=m - 2\end{aligned}$
【答案】
$m-2$
【知识点】
1.分式混合运算
2.平方差公式
3.分式约分
【点评】
本题重点考查分式的混合运算规则，解题的核心是先对括号内的式子通分计算，再结合因式分解约分得到最简结果，计算时要注意互为相反数的因式变形时的符号变化，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
2.化简$(a - \dfrac{4a - 4}{a}) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a}$
答案
2.原式$=\dfrac{a-2}{a+2}.$
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题遵循先算括号内、再算括号外的顺序：第一步先对括号内的整式和分式通分，计算减法得到分子可因式分解的分式；第二步将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数；第三步对分子、分母中的多项式因式分解，约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法，将$a$通分为分母为$a$的分式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{a^2}{a}-\frac{4a-4}{a})÷\frac{a^2-4}{a}\\&=\frac{a^2 - 4a + 4}{a}÷\frac{a^2 - 4}{a}\\\end{aligned}$
将除法转换为乘法，乘以除式的倒数：
$=\frac{a^2 - 4a + 4}{a}×\frac{a}{a^2 - 4}$
分别对分子分母因式分解：$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入后约分：
$\begin{aligned}&=\frac{(a-2)^2}{a}×\frac{a}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a-2}{a+2}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式化简的常规题型，解题核心是熟练掌握分式运算顺序，以及完全平方公式、平方差公式的因式分解应用，计算时需注意通分、约分的正确性，避免出现符号或因式分解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于分式的混合运算题，解题遵循先算括号内、再算括号外的顺序：第一步先对括号内的整式和分式通分，计算减法得到分子可因式分解的分式；第二步将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数；第三步对分子、分母中的多项式因式分解，约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法，将$a$通分为分母为$a$的分式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{a^2}{a}-\frac{4a-4}{a})÷\frac{a^2-4}{a}\\&=\frac{a^2 - 4a + 4}{a}÷\frac{a^2 - 4}{a}\\\end{aligned}$
将除法转换为乘法，乘以除式的倒数：
$=\frac{a^2 - 4a + 4}{a}×\frac{a}{a^2 - 4}$
分别对分子分母因式分解：$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入后约分：
$\begin{aligned}&=\frac{(a-2)^2}{a}×\frac{a}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a-2}{a+2}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式化简的常规题型，解题核心是熟练掌握分式运算顺序，以及完全平方公式、平方差公式的因式分解应用，计算时需注意通分、约分的正确性，避免出现符号或因式分解错误。
【难度系数】
0.7
3.先化简，再求值：$(1-\dfrac{1}{x+1})÷\dfrac{x-3}{x+1}$，从$-1,2,3$选择一个适当的数作为$x$的值代入求值。
答案
3.原式$=\dfrac{x}{x-3},x$只能取2,当$x=2$,原式$=-2.$
解析
【分析】
解题时按分式混合运算的顺序逐步处理：第一步先计算括号内的减法，将1通分后与括号内的分式相减；第二步把除法运算转化为乘法运算，约分得到最简结果；第三步先确定x的合法取值，要保证原式所有分母、除数均不为0，排除不符合要求的x后，代入合适的数值计算结果即可。
【解析】
1. 化简原式：
先计算括号内的部分：
$1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$
再将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x}{x+1} × \dfrac{x+1}{x-3}$
约分化简得：原式$=\dfrac{x}{x-3}$
2. 确定x的可取值：
要使分式有意义，需满足所有分母不为0、除数不为0：
① 分母$x+1≠0$，得$x≠-1$；
② 除数$\dfrac{x-3}{x+1}≠0$且分母$x-3≠0$，得$x≠3$
因此给定的数中仅能选择$x=2$。
3. 代入求值：
当$x=2$时，原式$=\dfrac{2}{2-3}=-2$
【答案】
原式化简为$\dfrac{x}{x-3}$，取$x=2$代入，结果为$-2$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题时首先要正确按运算规则化简分式，其次要注意代入的数值必须保证原式所有分母、除数都不为0，不能盲目选取题干给出的备选数值。
【难度系数】
0.7
解题时按分式混合运算的顺序逐步处理：第一步先计算括号内的减法，将1通分后与括号内的分式相减；第二步把除法运算转化为乘法运算，约分得到最简结果；第三步先确定x的合法取值，要保证原式所有分母、除数均不为0，排除不符合要求的x后，代入合适的数值计算结果即可。
【解析】
1. 化简原式：
先计算括号内的部分：
$1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$
再将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x}{x+1} × \dfrac{x+1}{x-3}$
约分化简得：原式$=\dfrac{x}{x-3}$
2. 确定x的可取值：
要使分式有意义，需满足所有分母不为0、除数不为0：
① 分母$x+1≠0$，得$x≠-1$；
② 除数$\dfrac{x-3}{x+1}≠0$且分母$x-3≠0$，得$x≠3$
因此给定的数中仅能选择$x=2$。
3. 代入求值：
当$x=2$时，原式$=\dfrac{2}{2-3}=-2$
【答案】
原式化简为$\dfrac{x}{x-3}$，取$x=2$代入，结果为$-2$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题时首先要正确按运算规则化简分式，其次要注意代入的数值必须保证原式所有分母、除数都不为0，不能盲目选取题干给出的备选数值。
【难度系数】
0.7
4.先化简,再求值:$\dfrac{4a}{a^2 - 4} ÷ (1 + \dfrac{a - 2}{a + 2})$,其中$a=4$.
答案
4.原式$=\dfrac{2}{a-2},$当$a=4$时,原式$=1.$
解析
【分析】
解决分式化简求值问题，遵循先算括号内、再算乘除的运算顺序即可：①先对括号内的分式加法通分，将1转化为和括号内另一分式同分母的形式，合并得到最简结果；②将除法运算转化为乘法运算，同时对符合平方差特征的多项式$a^2-4$因式分解；③约去分子分母的公因式得到最简分式；④代入$a=4$计算结果，代入前确认$a$的取值使原分式所有分母不为0即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{4a}{a^2-4} ÷ ( \frac{a+2}{a+2} + \frac{a-2}{a+2} )\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)} ÷ \frac{(a+2)+(a-2)}{a+2}\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)} ÷ \frac{2a}{a+2}\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)} × \frac{a+2}{2a}\\&=\frac{2}{a-2}\end{aligned}$
将$a=4$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{4-2}=1$
【答案】
原式化简为$\dfrac{2}{a-2}$，当$a=4$时，原式$=1$。
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，重点考查分式运算的顺序和运算规则，计算时要注意常数项通分、除法变乘法时颠倒除式分子分母这两个易错点，先因式分解再约分能大幅简化计算。
【难度系数】
0.8
解决分式化简求值问题，遵循先算括号内、再算乘除的运算顺序即可：①先对括号内的分式加法通分，将1转化为和括号内另一分式同分母的形式，合并得到最简结果；②将除法运算转化为乘法运算，同时对符合平方差特征的多项式$a^2-4$因式分解；③约去分子分母的公因式得到最简分式；④代入$a=4$计算结果，代入前确认$a$的取值使原分式所有分母不为0即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{4a}{a^2-4} ÷ ( \frac{a+2}{a+2} + \frac{a-2}{a+2} )\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)} ÷ \frac{(a+2)+(a-2)}{a+2}\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)} ÷ \frac{2a}{a+2}\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)} × \frac{a+2}{2a}\\&=\frac{2}{a-2}\end{aligned}$
将$a=4$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{4-2}=1$
【答案】
原式化简为$\dfrac{2}{a-2}$，当$a=4$时，原式$=1$。
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，重点考查分式运算的顺序和运算规则，计算时要注意常数项通分、除法变乘法时颠倒除式分子分母这两个易错点，先因式分解再约分能大幅简化计算。
【难度系数】
0.8
5.计算$(a - 1 + \frac{1}{a + 1}) ÷ \frac{a^2 + 4a}{a + 1}$
答案
5.原式$=\dfrac{a}{a+4}.$
解析
【分析】
这是分式混合运算题，解题思路遵循运算顺序规则：第一步先处理括号内的运算，括号内是整式和分式相加，需将整式通分转化为同分母分式再做加法；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除数的倒数；第三步对分子分母中的多项式因式分解，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
解：先计算括号内的加法：
$\begin{aligned}a-1+\frac{1}{a+1}&=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}+\frac{1}{a+1}\\&=\frac{a^2-1+1}{a+1}\\&=\frac{a^2}{a+1}\end{aligned}$
再将除法转为乘法，同时对除数的分子因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{a+1}÷\frac{a(a+4)}{a+1}\\&=\frac{a^2}{a+1}×\frac{a+1}{a(a+4)}\\&=\frac{a}{a+4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a}{a+4}$
【知识点】
分式混合运算、分式通分约分、提公因式因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，核心考查分式化简的基本技能，解题关键是严格遵循运算顺序，熟练掌握通分、因式分解、约分的操作，计算时注意不要颠倒除法转乘法后的分子分母，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算题，解题思路遵循运算顺序规则：第一步先处理括号内的运算，括号内是整式和分式相加，需将整式通分转化为同分母分式再做加法；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除数的倒数；第三步对分子分母中的多项式因式分解，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
解：先计算括号内的加法：
$\begin{aligned}a-1+\frac{1}{a+1}&=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}+\frac{1}{a+1}\\&=\frac{a^2-1+1}{a+1}\\&=\frac{a^2}{a+1}\end{aligned}$
再将除法转为乘法，同时对除数的分子因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{a+1}÷\frac{a(a+4)}{a+1}\\&=\frac{a^2}{a+1}×\frac{a+1}{a(a+4)}\\&=\frac{a}{a+4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a}{a+4}$
【知识点】
分式混合运算、分式通分约分、提公因式因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，核心考查分式化简的基本技能，解题关键是严格遵循运算顺序，熟练掌握通分、因式分解、约分的操作，计算时注意不要颠倒除法转乘法后的分子分母，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
6.先化简,再求值:$(\dfrac{3}{x+2}+x-2)÷\dfrac{x^2+2x+1}{x+2}$,其中$|x|=2$.
答案
6.原式$=\dfrac{x-1}{x+1},$当$x=2$时,原式$=\dfrac{1}{3}.$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先计算括号内的运算，将整式$x-2$转化为分母为$x+2$的分式，与$\dfrac{3}{x+2}$通分后合并；第二步将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解后约分，得到最简分式；第三步根据$|x|=2$确定$x$的可能取值，再结合分式有意义的条件（分母不为0）筛选出合法的$x$值，最后代入最简分式计算结果。
【解析】
先化简原式：
1. 处理括号内的运算，通分得：
$(\dfrac{3}{x+2}+\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2})÷\dfrac{x^2+2x+1}{x+2}$
$=\dfrac{3+(x^2-4)}{x+2}÷\dfrac{(x+1)^2}{x+2}$
$=\dfrac{x^2-1}{x+2}÷\dfrac{(x+1)^2}{x+2}$
2. 除法变乘法，因式分解后约分：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}×\dfrac{x+2}{(x+1)^2}$
约去公因式$x+2$和$x+1$（$x+1≠0$，$x+2≠0$），得最简式：
$\dfrac{x-1}{x+1}$
3. 确定$x$的取值：
由$|x|=2$得$x=\pm2$，结合分式有意义的条件$x+2≠0$、$x+1≠0$，排除$x=-2$，故取$x=2$。
4. 代入求值：
将$x=2$代入$\dfrac{x-1}{x+1}$，得$\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
原式化简为$\dfrac{x-1}{x+1}$，当$x=2$时，原式的值为$\dfrac{1}{3}$。
【知识点】
分式混合运算；分式有意义的条件；绝对值的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，既考查了分式运算中通分、约分、因式分解的基本技能，也设置了分式有意义的隐含条件，易错点是忽略分母不为0的限制，错误代入$x=-2$计算。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先计算括号内的运算，将整式$x-2$转化为分母为$x+2$的分式，与$\dfrac{3}{x+2}$通分后合并；第二步将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解后约分，得到最简分式；第三步根据$|x|=2$确定$x$的可能取值，再结合分式有意义的条件（分母不为0）筛选出合法的$x$值，最后代入最简分式计算结果。
【解析】
先化简原式：
1. 处理括号内的运算，通分得：
$(\dfrac{3}{x+2}+\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2})÷\dfrac{x^2+2x+1}{x+2}$
$=\dfrac{3+(x^2-4)}{x+2}÷\dfrac{(x+1)^2}{x+2}$
$=\dfrac{x^2-1}{x+2}÷\dfrac{(x+1)^2}{x+2}$
2. 除法变乘法，因式分解后约分：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}×\dfrac{x+2}{(x+1)^2}$
约去公因式$x+2$和$x+1$（$x+1≠0$，$x+2≠0$），得最简式：
$\dfrac{x-1}{x+1}$
3. 确定$x$的取值：
由$|x|=2$得$x=\pm2$，结合分式有意义的条件$x+2≠0$、$x+1≠0$，排除$x=-2$，故取$x=2$。
4. 代入求值：
将$x=2$代入$\dfrac{x-1}{x+1}$，得$\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
原式化简为$\dfrac{x-1}{x+1}$，当$x=2$时，原式的值为$\dfrac{1}{3}$。
【知识点】
分式混合运算；分式有意义的条件；绝对值的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，既考查了分式运算中通分、约分、因式分解的基本技能，也设置了分式有意义的隐含条件，易错点是忽略分母不为0的限制，错误代入$x=-2$计算。
【难度系数】
0.7
