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三、先约分，再比较每组中两个分数的大小。
$\frac{7}{56}$和$\frac{8}{72}$
$\frac{15}{25}$和$\frac{36}{45}$
$\frac{8}{12}$和$\frac{14}{49}$
$\frac{30}{10}$和$\frac{33}{15}$
$\frac{7}{56}$和$\frac{8}{72}$
$\frac{15}{25}$和$\frac{36}{45}$
$\frac{8}{12}$和$\frac{14}{49}$
$\frac{30}{10}$和$\frac{33}{15}$
答案
$\frac{1}{8}$,$\frac{1}{9}$,$\frac{7}{56}＞\frac{8}{72}$
$\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$,$\frac{15}{25}＜\frac{36}{45}$
$\frac{2}{3}$,$\frac{2}{7}$,$\frac{8}{12}＞\frac{14}{49}$
3,$2\frac{1}{5}$,$\frac{30}{10}＞\frac{33}{15}$
$\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$,$\frac{15}{25}＜\frac{36}{45}$
$\frac{2}{3}$,$\frac{2}{7}$,$\frac{8}{12}＞\frac{14}{49}$
3,$2\frac{1}{5}$,$\frac{30}{10}＞\frac{33}{15}$
解析
【分析】
解题时遵循两步走思路：第一步先对每组的两个分数分别约分，约分的方法是找到分子和分母的最大公因数，将分子、分母同时除以这个最大公因数，得到最简分数；第二步根据最简分数的类型（同分子、同分母、整数/带分数），选用对应的分数比较大小规则，判断两个分数的大小即可。
【解析】
1. 第一组：$\frac{7}{56}$的分子和分母的最大公因数是7，约分：$\frac{7÷7}{56÷7}=\frac{1}{8}$；$\frac{8}{72}$的分子和分母的最大公因数是8，约分：$\frac{8÷8}{72÷8}=\frac{1}{9}$。同分子分数分母越小分数越大，因为$8＜9$，所以$\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$，即$\frac{7}{56}＞\frac{8}{72}$。
2. 第二组：$\frac{15}{25}$的分子和分母的最大公因数是5，约分：$\frac{15÷5}{25÷5}=\frac{3}{5}$；$\frac{36}{45}$的分子和分母的最大公因数是9，约分：$\frac{36÷9}{45÷9}=\frac{4}{5}$。同分母分数分子越大分数越大，因为$3＜4$，所以$\frac{3}{5}＜\frac{4}{5}$，即$\frac{15}{25}＜\frac{36}{45}$。
3. 第三组：$\frac{8}{12}$的分子和分母的最大公因数是4，约分：$\frac{8÷4}{12÷4}=\frac{2}{3}$；$\frac{14}{49}$的分子和分母的最大公因数是7，约分：$\frac{14÷7}{49÷7}=\frac{2}{7}$。同分子分数分母越小分数越大，因为$3＜7$，所以$\frac{2}{3}＞\frac{2}{7}$，即$\frac{8}{12}＞\frac{14}{49}$。
4. 第四组：$\frac{30}{10}$的分子和分母的最大公因数是10，约分：$\frac{30÷10}{10÷10}=3$；$\frac{33}{15}$的分子和分母的最大公因数是3，约分：$\frac{33÷3}{15÷3}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}$。整数$3$大于带分数$2\frac{1}{5}$，所以$\frac{30}{10}＞\frac{33}{15}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$,$\frac{1}{9}$,$\frac{7}{56}＞\frac{8}{72}$
$\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$,$\frac{15}{25}＜\frac{36}{45}$
$\frac{2}{3}$,$\frac{2}{7}$,$\frac{8}{12}＞\frac{14}{49}$
$3$,$2\frac{1}{5}$,$\frac{30}{10}＞\frac{33}{15}$
【知识点】
约分、分数大小比较、最大公因数
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考察约分的操作方法和不同类型分数比较大小的规则，解题关键是准确找到分子分母的最大公因数完成约分，再结合分数特征灵活选用比较方法，熟练掌握相关技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时遵循两步走思路：第一步先对每组的两个分数分别约分，约分的方法是找到分子和分母的最大公因数，将分子、分母同时除以这个最大公因数，得到最简分数；第二步根据最简分数的类型（同分子、同分母、整数/带分数），选用对应的分数比较大小规则，判断两个分数的大小即可。
【解析】
1. 第一组：$\frac{7}{56}$的分子和分母的最大公因数是7，约分：$\frac{7÷7}{56÷7}=\frac{1}{8}$；$\frac{8}{72}$的分子和分母的最大公因数是8，约分：$\frac{8÷8}{72÷8}=\frac{1}{9}$。同分子分数分母越小分数越大，因为$8＜9$，所以$\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$，即$\frac{7}{56}＞\frac{8}{72}$。
2. 第二组：$\frac{15}{25}$的分子和分母的最大公因数是5，约分：$\frac{15÷5}{25÷5}=\frac{3}{5}$；$\frac{36}{45}$的分子和分母的最大公因数是9，约分：$\frac{36÷9}{45÷9}=\frac{4}{5}$。同分母分数分子越大分数越大，因为$3＜4$，所以$\frac{3}{5}＜\frac{4}{5}$，即$\frac{15}{25}＜\frac{36}{45}$。
3. 第三组：$\frac{8}{12}$的分子和分母的最大公因数是4，约分：$\frac{8÷4}{12÷4}=\frac{2}{3}$；$\frac{14}{49}$的分子和分母的最大公因数是7，约分：$\frac{14÷7}{49÷7}=\frac{2}{7}$。同分子分数分母越小分数越大，因为$3＜7$，所以$\frac{2}{3}＞\frac{2}{7}$，即$\frac{8}{12}＞\frac{14}{49}$。
4. 第四组：$\frac{30}{10}$的分子和分母的最大公因数是10，约分：$\frac{30÷10}{10÷10}=3$；$\frac{33}{15}$的分子和分母的最大公因数是3，约分：$\frac{33÷3}{15÷3}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}$。整数$3$大于带分数$2\frac{1}{5}$，所以$\frac{30}{10}＞\frac{33}{15}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$,$\frac{1}{9}$,$\frac{7}{56}＞\frac{8}{72}$
$\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$,$\frac{15}{25}＜\frac{36}{45}$
$\frac{2}{3}$,$\frac{2}{7}$,$\frac{8}{12}＞\frac{14}{49}$
$3$,$2\frac{1}{5}$,$\frac{30}{10}＞\frac{33}{15}$
【知识点】
约分、分数大小比较、最大公因数
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考察约分的操作方法和不同类型分数比较大小的规则，解题关键是准确找到分子分母的最大公因数完成约分，再结合分数特征灵活选用比较方法，熟练掌握相关技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
四、小培和小优比赛写毛笔字。两人谁写得快一些？
答案
小培写得快一些。
解析
【分析】
要判断谁写得更快，本质是比较两人单位时间内写毛笔字的数量，数量越多则写得越快。解题时先分别用两人写字的总个数除以各自花费的时间，得到每分钟写字的个数（结果为分数），再运用约分的知识把分数化为最简分数，最后比较两个最简分数的大小即可得出结论。
【解析】
首先计算小培平均每分钟写的字数：
$25÷35=\frac{25}{35}=\frac{25÷5}{35÷5}=\frac{5}{7}$（个）
再计算小优平均每分钟写的字数：
$24÷42=\frac{24}{42}=\frac{24÷6}{42÷6}=\frac{4}{7}$（个）
同分母分数比较大小，分子越大分数越大，因此$\frac{5}{7}＞\frac{4}{7}$，说明小培每分钟写的字数更多。
【答案】
小培写得快一些。
【知识点】
分数与除法的关系、约分、分数大小比较
【点评】
本题是分数相关知识在实际问题中的应用，解题核心是明确比较写字速度的标准，熟练掌握约分方法可以大幅降低比较分数大小的难度，避免复杂计算。
【难度系数】
0.8
要判断谁写得更快，本质是比较两人单位时间内写毛笔字的数量，数量越多则写得越快。解题时先分别用两人写字的总个数除以各自花费的时间，得到每分钟写字的个数（结果为分数），再运用约分的知识把分数化为最简分数，最后比较两个最简分数的大小即可得出结论。
【解析】
首先计算小培平均每分钟写的字数：
$25÷35=\frac{25}{35}=\frac{25÷5}{35÷5}=\frac{5}{7}$（个）
再计算小优平均每分钟写的字数：
$24÷42=\frac{24}{42}=\frac{24÷6}{42÷6}=\frac{4}{7}$（个）
同分母分数比较大小，分子越大分数越大，因此$\frac{5}{7}＞\frac{4}{7}$，说明小培每分钟写的字数更多。
【答案】
小培写得快一些。
【知识点】
分数与除法的关系、约分、分数大小比较
【点评】
本题是分数相关知识在实际问题中的应用，解题核心是明确比较写字速度的标准，熟练掌握约分方法可以大幅降低比较分数大小的难度，避免复杂计算。
【难度系数】
0.8
五、暑假的一天，小培和小优去李阿姨的花店里帮忙。花店购进72枝玫瑰、60枝百合和36枝康乃馨，用这些花做花束。如果每束花中的玫瑰、百合、康乃馨朵数都相等且没有剩余，最多可以做成几束花？每束花中的玫瑰、百合、康乃馨各有多少枝？
五年级
五年级
答案
最多可以做成12束花。
72 ÷ 12 = 6(枝)
60 ÷ 12 = 5(枝)
36 ÷ 12 = 3(枝)
72 ÷ 12 = 6(枝)
60 ÷ 12 = 5(枝)
36 ÷ 12 = 3(枝)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解题意：每束花中玫瑰、百合、康乃馨的数量相等且没有剩余，说明花的总束数要同时能整除72、60、36，即总束数是这三个数的公因数；题目要求“最多可以做成几束花”，本质就是求72、60、36这三个数的最大公因数。求出最大公因数后，再分别用三种花的总枝数除以总束数，即可得到每束花中对应花的枝数。
【解析】
1. 求72、60、36的最大公因数：
用短除法计算，先将三个数同时除以公因数2，得到36、30、18；再同时除以公因数2，得到18、15、9；继续同时除以公因数3，得到6、5、3，此时三个数除了1以外没有其他共同的公因数。
将所有除数相乘得到最大公因数：$2×2×3=12$，即最多可以做成12束花。
2. 计算每束花中各花的枝数：
每束中玫瑰的枝数：$72÷12=6$（枝）
每束中百合的枝数：$60÷12=5$（枝）
每束中康乃馨的枝数：$36÷12=3$（枝）
【答案】
最多可以做成12束花，每束花中有玫瑰6枝、百合5枝、康乃馨3枝。
【知识点】
最大公因数的应用；短除法求最大公因数
【点评】
本题是最大公因数在生活中的典型应用，解题关键是能将“最多分束且无剩余”的实际问题转化为求多个数最大公因数的数学问题，能帮助学生加深对公因数概念的理解，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要理解题意：每束花中玫瑰、百合、康乃馨的数量相等且没有剩余，说明花的总束数要同时能整除72、60、36，即总束数是这三个数的公因数；题目要求“最多可以做成几束花”，本质就是求72、60、36这三个数的最大公因数。求出最大公因数后，再分别用三种花的总枝数除以总束数，即可得到每束花中对应花的枝数。
【解析】
1. 求72、60、36的最大公因数：
用短除法计算，先将三个数同时除以公因数2，得到36、30、18；再同时除以公因数2，得到18、15、9；继续同时除以公因数3，得到6、5、3，此时三个数除了1以外没有其他共同的公因数。
将所有除数相乘得到最大公因数：$2×2×3=12$，即最多可以做成12束花。
2. 计算每束花中各花的枝数：
每束中玫瑰的枝数：$72÷12=6$（枝）
每束中百合的枝数：$60÷12=5$（枝）
每束中康乃馨的枝数：$36÷12=3$（枝）
【答案】
最多可以做成12束花，每束花中有玫瑰6枝、百合5枝、康乃馨3枝。
【知识点】
最大公因数的应用；短除法求最大公因数
【点评】
本题是最大公因数在生活中的典型应用，解题关键是能将“最多分束且无剩余”的实际问题转化为求多个数最大公因数的数学问题，能帮助学生加深对公因数概念的理解，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
