1.下列选项中,表示的是同一个函数的是（）

A.$f(x)=\sqrt{x^2},g(x)=(\sqrt{x})^2$
B.$f(x)=\sqrt{x^2},g(t)=|t|$
C.$f(x)=(x-1)^2,g(x)=(x-2)^2$
D.$f(x)=\sqrt{x+1} · \sqrt{x-1},g(x)=\sqrt{x^2-1}$

1.B f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),定义域不同,故A错误;f(x)和g(t)的定义域都为R,且f(x)=√x²=|x|,对应关系也一致,故B正确;f(x)和g(x)的对应关系不一致,故C错误;f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,故D错误.

2.已知函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,1]$，函数$g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{2x+1}}$，则$g(x)$的定义域为（）

A.$(-\frac{1}{2},0]$
B.$[-\frac{1}{2},1]$
C.$[-2,1]$
D.$(-\frac{1}{2},2]$

2.D 根据题意可得,x+1∈[-1,2],即f(x)的定义域为[-1,2],所以g(x)=f(x)/√(2x+1)需满足$\begin{cases}-1≤ x≤ 2,\\2x+1＞0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{2}＜x≤ 2$,即$g(x)$的定义域为$(-\frac{1}{2},2]$.

3. 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x^3 - 2, & x≥0, \\ \dfrac{1}{x^2} -1, & x＜0,\end{cases}$ 则 $ f(f(1))= $ （ ）

A.1
B.0
C.-1
D.-2

3.B 因为$f(x)=\begin{cases}x^3 - 2, & x≥0, \\ \dfrac{1}{x^2} -1, & x＜0,\end{cases}$ 所以$f(1)=1^3-2=-1$, $f(f(1))=f(-1)=1-1=0$.

4.若函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，则下列结论错误的是（）

A.$f(x)+f(-x)=0$
B.$f(0)=0$
C.$f(x)· f(-x)≤0$
D.$\frac{f(x)}{f(-x)}=-1$

4.D 因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数,所以$f(x)+f(-x)=0$,且$f(0)=0$,故A,B正确;因为$f(-x)=-f(x)$,所以$f(x)· f(-x)=-f^2(x)≤0$,当$x=0$时,等号成立,故C正确;当$x=0$时,$f(-x)=0$,此时$\frac{f(x)}{f(-x)}$无意义,故D错误.

5.若偶函数$f(x)$在$(-∞,0]$上单调递增，则（）

A.$f(-\dfrac{3}{2})＜f(-1)＜f(2)$
B.$f(-1)＜f(-\dfrac{3}{2})＜f(2)$
C.$f(2)＜f(-1)＜f(-\dfrac{3}{2})$
D.$f(2)＜f(-\dfrac{3}{2})＜f(-1)$

5.D 因为$f(x)$为偶函数,所以$f(2)=f(-2)$.又$f(x)$在$(-∞,0]$上单调递增,且$-2＜-\frac{3}{2}＜-1$,所以$f(-2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$,即$f(2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$.

6.已知偶函数$f(x)$在区间$(-∞,0]$上单调递增，若$f(3x+2)＜f(4)$，则实数$x$的取值范围是（）

A.$(-∞,-2)\cup(\frac{2}{3},+∞)$
B.$(\frac{2}{3},+∞)$
C.$(-2,\frac{2}{3})$
D.$(-∞,-2)$

6.A 已知偶函数$f(x)$在区间$(-∞,0]$上单调递增,由$f(3x+2)＜f(4)$,得$|3x+2|＞4$,即$3x+2＜-4$或$3x+2＞4$,解得$x＜-2$或$x＞\frac{2}{3}$,所以实数$x$的取值范围是$(-∞,-2)\cup(\frac{2}{3},+∞)$.

7.若函数$f(x)=\begin{cases}ax - 3, & x＜1, \\1 - \dfrac{a}{x}, & x≥1\end{cases}$在$\mathbb{R}$上单调递增，则实数$a$的取值范围是（ ）

A.$(0,2)$
B.$(0,+∞)$
C.$[2,+∞)$
D.$(0,2]$

7.D 因为函数$f(x)=\begin{cases}ax - 3, & x＜1, \\1 - \dfrac{a}{x}, & x≥1\end{cases}$在$\mathbb{R}$上单调递增,(需保证$f(x)$在每一段上均单调递增)所以$\begin{cases}a＞0, \\a-3≤ 1-a,\end{cases}$(需保证在$x=1$左侧的图象不高于右侧的图象)解得$0＜a≤2$.

8.已知函数$f(x)=(2m - m^2)x^{3m}$为幂函数，则下列结论正确的是（）

A.$m=1$
B.$f(x)$为偶函数
C.$f(x)$为增函数
D.$f(x)$的值域为$[0,+∞)$

8.AC 由$f(x)=(2m - m^2)x^{3m}$为幂函数,得$2m - m^2=1$,解得$m=1$,所以$f(x)=x^3$,故A正确;因为$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$,所以$f(x)$为奇函数,故B错误;$f(x)=x^3$为增函数,故C正确;$f(x)=x^3$的值域为$\mathbf{R}$,故D错误.

9.如图,函数$f(x)$的图象由两条线段组成,则下列关于函数$f(x)$的说法正确的是（）


A.$f(4)＞f(0)$
B.$f(f(2))=6$
C.$f(x)=2|x-2|-x+2,x∈[0,8]$
D.$∃a＞0$,不等式$f(x)≤a$的解集为$[\dfrac{1}{3},4]$

9.BC 对于A,由题图可知,当且仅当$x=0$或$x=8$时,$f(x)$取到最大值6,所以$f(4)＜f(0)$,故该选项错误.对于B,$f(f(2))=f(0)=6$,故该选项正确.对于C,函数$f(x)$的图象由两条线段组成,所以函数$f(x)$为分段函数,且过点$(0,6),(2,0),(8,6)$.当$0≤ x≤2$时,设$f(x)=kx+b$,代入$(0,6),(2,0)$,得$\begin{cases}b=6, \\2k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=6, \\k=-3,\end{cases}$所以$f(x)=-3x+6$;当$2＜x≤8$时,设$f(x)=mx+n$,代入$(2,0),(8,6)$,得$\begin{cases}2m+n=0, \\8m+n=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1, \\n=-2,\end{cases}$所以$f(x)=x-2$.综上所述,$f(x)=\begin{cases}-3x+6,0≤ x≤2, \\x-2,2＜x≤8.\end{cases}$又因为$f(x)= 2|x-2| - x + 2, x \in [ 0, 8 ] = \begin{cases}-3x+6,0≤ x≤2, \\x-2,2＜x≤8,\end{cases}$故该选项正确.对于D,若当$a＞0$时,$f(x)≤ a$的解集为$[\frac{1}{3},4]$,则由函数图象,知需要满足$f(\frac{1}{3})=f(4)=a$,但$f(\frac{1}{3})=5,f(4)=2$,故该选项错误.