三、解答题(共48分)
9. (12分)已知点$A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b)$. 若点 A,B 关于 y 轴对称,求$(4a+b)^{2024}$的值.

9.
∵ 点A(2a−b,5+a),B(2b−1,−a+b)关于y轴对称,
∴ $\begin{cases}2a−b+2b−1=0,\\5+a=−a+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=−1,\\b=3.\end{cases}$
∴ $(4a+b)^{2024}=(-4+3)^{2024}=1$

10. (18 分)定义: 在平面直角坐标系中, 有一点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$, 若点 $N$ 的坐标为 $(x-a y$, $a x-y)$, 其中 $a$ 为常数, 则称 $N$ 是点 $M$ 的“$a$ 级倍减点”.
(1) 已知点 $A(4,-2)$ 的“2 级倍减点”是 $A'$, 则点 $A'$ 的坐标为;
(2) 已知点 $P(m-1,2 m)$ 的“$-3$ 级倍减点”$Q$ 位于 $y$ 轴上, 求点 $Q$ 的坐标;
(3) 在(2)的条件下, 若第二象限存在点 $K$, 使 $K P / / x$ 轴, 且 $K P=2$, 求点 $K$ 的坐标.

10. (1)(8,10) (2)
∵ 点P(m−1,2m)的“−3级倍减点”为Q,
∴ 点Q的横坐标为m−1+3×(2m)=7m−1,纵坐标为−3×(m−1)−2m=3−5m,即Q(7m−1,3−5m). 又
∵ 点Q位于y轴上,
∴ 7m−1=0,解得m=$\frac{1}{7}$.
∴ 3−5m=3−5×$\frac{1}{7}$=$\frac{16}{7}$.
∴ Q $(0,\frac{16}{7})$
(3) 由(2),得m=$\frac{1}{7}$,
∴ $P(-\frac{6}{7},\frac{2}{7})$.
∵ KP//x轴,且KP=2,
∴ 点K的纵坐标与点P的纵坐标相同.
∴ 设$K(t,\frac{2}{7})$.
∴ $\left|t+\frac{6}{7}\right|=2$,即$t+\frac{6}{7}=2$,解得$t=\frac{8}{7}$或$t+\frac{6}{7}=-2$,解得$t=-\frac{20}{7}$.
∵ 点K在第二象限,
∴ t＜0.
∴ $t=\frac{8}{7}$舍去.
∴ $K(-\frac{20}{7},\frac{2}{7})$

11. (18 分)某市夏季经常受台风天气影响,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围一定范围内形成极端气候,有极强的破坏力. 如图,有一台风中心沿直线由点 A 移动到点 B,已知点 C 为一海港,且 $AC ⊥ BC$,点 A 到 B,C 两点的距离分别为 500 km 和 300 km,以台风中心为圆心周围 250 km 以内为受影响区域.
(1) 海港 C 受台风影响吗? 为什么?
(2) 若台风的速度为 20 km/h,则该海港受台风影响的时间有多长?

11. (1) 海港C受台风影响 如图①,过点C作CD⊥AB于点D.
∵ AC⊥BC,AC=300 km,AB=500 km,
∴ 由勾股定理,得$BC=\sqrt{AB^2−AC^2}=\sqrt{500^2−300^2}=400(km)$.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$,
∴ $CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240(km)$.
∵ 以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域,
∴ 海港C受台风影响 (2) 如图②,取E,F两点,连接CE,CF,使CE=CF=250 km,则ED=DF. 在Rt△CDE中,由勾股定理,得$ED=\sqrt{CE^2−CD^2}=\sqrt{250^2−240^2}=70(km)$,
∴ EF=2ED=140 km.
∵ 台风的速度为20 km/h,
∴ 140÷20=7(h).
∴ 海港受台风影响的时间为7h