登录
1. 下列不等式组为一元一次不等式组的是()
A.$\begin{cases} x ＞ -3, \\ x ＜ 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ y - 2 ＜ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 2 ＞ 0, \\ (x - 2)(x + 3) ＞ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x - 2 ＞ 0, \\ x + 1 ＞ y + 1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x ＞ -3, \\ x ＜ 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ y - 2 ＜ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 2 ＞ 0, \\ (x - 2)(x + 3) ＞ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x - 2 ＞ 0, \\ x + 1 ＞ y + 1 \end{cases}$
答案
A
解析
根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组，逐一判断：
1. 选项A：两个不等式都只含一个未知数x，且未知数次数为1，符合一元一次不等式组的定义；
2. 选项B：不等式组含有x、y两个不同未知数，不符合定义；
3. 选项C：第二个不等式展开后未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义；
4. 选项D：不等式组含有x、y两个不同未知数，不符合定义。
综上只有A是一元一次不等式组。
1. 选项A：两个不等式都只含一个未知数x，且未知数次数为1，符合一元一次不等式组的定义；
2. 选项B：不等式组含有x、y两个不同未知数，不符合定义；
3. 选项C：第二个不等式展开后未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义；
4. 选项D：不等式组含有x、y两个不同未知数，不符合定义。
综上只有A是一元一次不等式组。
2.若关于 $ x $ 的不等式 $ 3x+1 ≤ a $ 的解集在数轴上的表示如图所示,则 $ a $ 的值为 ______.
答案
-5
解析
先解关于x的不等式$3x+1 ≤ a$：
移项得：$3x ≤ a-1$，
系数化为1得：$x ≤ \frac{a-1}{3}$。
由数轴的表示可知，该不等式的解集为$x ≤ -2$，
因此可得等式$\frac{a-1}{3} = -2$，
解方程得：$a-1 = -6$，即$a=-5$。
移项得：$3x ≤ a-1$，
系数化为1得：$x ≤ \frac{a-1}{3}$。
由数轴的表示可知，该不等式的解集为$x ≤ -2$，
因此可得等式$\frac{a-1}{3} = -2$，
解方程得：$a-1 = -6$，即$a=-5$。
3.如图,规定运行程序:从“输入一个值$x$”到“结果是否$＞94$”为一次程序操作.如果程序操作进行了3次才停止,那么$x$的取值范围是________.
答案
$\boldsymbol{3 ＜ x ≤ 10}$
解析
根据程序操作进行了3次才停止，可知前2次操作的结果都不大于94，第3次操作的结果大于94，据此列不等式组求解：
1. 第一次操作结果为$3x+1$，第一次未停止，因此 $3x+1 ≤ 94$；
2. 第二次操作将第一次的结果作为输入，结果为$3(3x+1)+1=9x+4$，第二次未停止，因此 $9x+4 ≤ 94$；
3. 第三次操作将第二次的结果作为输入，结果为$3(9x+4)+1=27x+13$，第三次停止，因此 $27x+13 ＞ 94$。
联立不等式组：
$\begin{cases}3x+1 ≤ 94 \\9x+4 ≤ 94 \\27x+13 ＞ 94\end{cases}$
分别解得$x ≤ 31$，$x ≤ 10$，$x＞3$，取三个解集的公共部分，可得$3 ＜ x ≤ 10$。
1. 第一次操作结果为$3x+1$，第一次未停止，因此 $3x+1 ≤ 94$；
2. 第二次操作将第一次的结果作为输入，结果为$3(3x+1)+1=9x+4$，第二次未停止，因此 $9x+4 ≤ 94$；
3. 第三次操作将第二次的结果作为输入，结果为$3(9x+4)+1=27x+13$，第三次停止，因此 $27x+13 ＞ 94$。
联立不等式组：
$\begin{cases}3x+1 ≤ 94 \\9x+4 ≤ 94 \\27x+13 ＞ 94\end{cases}$
分别解得$x ≤ 31$，$x ≤ 10$，$x＞3$，取三个解集的公共部分，可得$3 ＜ x ≤ 10$。
4. 已知不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 1, \\ x + 1 ＜ b\end{cases}$的解集是$-1 ＜ x ＜ 0$，则$(a + b)^{2026} =$ ______ .
答案
1
解析
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x - a ＞ 1$，移项可得$x ＞ a + 1$；
2. 解不等式$x + 1 ＜ b$，移项可得$x ＜ b - 1$。
已知该不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 0$，根据不等式组“大小小大中间找”的解集规则，对应可得：
$a + 1 = -1$，$b - 1 = 0$
解得$a = -2$，$b = 1$。
代入计算得$a + b = -2 + 1 = -1$，因此$(a + b)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
1. 解不等式$x - a ＞ 1$，移项可得$x ＞ a + 1$；
2. 解不等式$x + 1 ＜ b$，移项可得$x ＜ b - 1$。
已知该不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 0$，根据不等式组“大小小大中间找”的解集规则，对应可得：
$a + 1 = -1$，$b - 1 = 0$
解得$a = -2$，$b = 1$。
代入计算得$a + b = -2 + 1 = -1$，因此$(a + b)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
5. 在数轴上，点 A，B 表示的数分别为 2，$-2x+6$，点 A，B 在数轴上的位置如图所示.
(1) 求 $x$ 的取值范围；
(2) 如果点 C 表示的数为 $\frac{1}{2}x+4$，当点 C 在线段 AB 上时，求 $x$ 的取值范围.
(1) 求 $x$ 的取值范围；
(2) 如果点 C 表示的数为 $\frac{1}{2}x+4$，当点 C 在线段 AB 上时，求 $x$ 的取值范围.
答案
(1) $x ＜ 2$；(2) $-4 ≤ x ≤ \frac{4}{5}$
解析
(1) 由数轴可知点B在点A的右侧，因此点B表示的数大于点A表示的数，据此列一元一次不等式求解：
根据题意列不等式：$-2x + 6 ＞ 2$
移项计算：$-2x ＞ 2 - 6$，即$-2x ＞ -4$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：$x ＜ 2$。
(2) 点C在线段AB上，说明点C表示的数大于等于点A表示的数，同时小于等于点B表示的数，据此列一元一次不等式组求解：
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{1}{2}x + 4 ≥ 2 \\\frac{1}{2}x + 4 ≤ -2x + 6\end{cases}$
解第一个不等式：
$\frac{1}{2}x ≥ 2 - 4$，化简得$\frac{1}{2}x ≥ -2$，两边同乘2得$x ≥ -4$。
解第二个不等式：
移项得$\frac{1}{2}x + 2x ≤ 6 - 4$，化简得$\frac{5}{2}x ≤ 2$，两边同乘$\frac{2}{5}$得$x ≤ \frac{4}{5}$。
结合(1)中$x＜2$，可得不等式组的解集为$-4 ≤ x ≤ \frac{4}{5}$。
根据题意列不等式：$-2x + 6 ＞ 2$
移项计算：$-2x ＞ 2 - 6$，即$-2x ＞ -4$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：$x ＜ 2$。
(2) 点C在线段AB上，说明点C表示的数大于等于点A表示的数，同时小于等于点B表示的数，据此列一元一次不等式组求解：
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{1}{2}x + 4 ≥ 2 \\\frac{1}{2}x + 4 ≤ -2x + 6\end{cases}$
解第一个不等式：
$\frac{1}{2}x ≥ 2 - 4$，化简得$\frac{1}{2}x ≥ -2$，两边同乘2得$x ≥ -4$。
解第二个不等式：
移项得$\frac{1}{2}x + 2x ≤ 6 - 4$，化简得$\frac{5}{2}x ≤ 2$，两边同乘$\frac{2}{5}$得$x ≤ \frac{4}{5}$。
结合(1)中$x＜2$，可得不等式组的解集为$-4 ≤ x ≤ \frac{4}{5}$。
