12. 如图21-48,四边形ABCD为正方形,E为线段AC上一点,连接DE,过点E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)若$AB=4,CE=2\sqrt{2}$,求CG的长度;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$40°$时,直接写出$∠ EFC$的度数.

图21-48

12. (1)如图1,过点$E$作$EP⊥ CD$于点$P$,$EQ⊥ BC$于点$Q$. 在正方形$ABCD$中,$\because ∠ DCA=∠ BCA,\therefore EQ=EP. \therefore$ 四边形$EQCP$是正方形. $\therefore ∠ QEF+∠ FEC=45°, ∠ PED + ∠ FEC = 45°. \therefore ∠ QEF=∠ PED$. 在$△ EQF$和$△ EPD$中,$\begin{cases} ∠ QEF=∠ PED, \\ EQ=EP, \\ ∠ EQF=∠ EPD, \end{cases}$
$\therefore △ EQF≌ △ EPD(\mathrm{ASA}). \therefore EF=ED. \therefore$ 矩形$DEFG$是正方形.
(2)如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{2}AB=4\sqrt{2}$,$\because CE=2\sqrt{2},\therefore AE=CE. \therefore$ 点$F$与点$C$重合,此时$△ DCG$是等腰直角三角形. $\therefore$ 四边形$DECG$是正方形. $\therefore CG=CE=2\sqrt{2}$.
(3)$∠ EFC=130°$或$40°$.