10. 如图,$A$、$B$、$C$、$D$、$E$都是$\odot O$上的点,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$,$∠ B=128°$,则$∠ D$的度数为.

(第10题) (第11题) (第12题)

10. $104°$

【分析】
要解决本题，需运用圆内接四边形的对角互补性质和圆周角定理。首先利用圆内接四边形ABCE的对角互补求出∠AEC，再结合圆周角定理和弧相等的条件推导相关弧的度数，进而得到∠CAE，最后通过圆内接四边形ACDE的对角互补求出∠D。
【解析】
1. 因为A、B、C、E在⊙O上，所以四边形ABCE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得：
$∠ B + ∠ AEC = 180°$，
已知$∠ B=128°$，则$∠ AEC=180° - 128°=52°$。
2. $∠ AEC$是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理（圆周角的度数等于所对弧度数的一半），得：
$\overset{\frown}{AC}=2∠ AEC=2×52°=104°$。
3. 由题知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，故$\overset{\frown}{AE}=104°$。
4. 整个圆的弧度数为$360°$，因此：
$\overset{\frown}{CE}=360° - \overset{\frown}{AC} - \overset{\frown}{AE}=360° -104° -104°=152°$。
5. $∠ CAE$是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{CE}$，则：
$∠ CAE=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}=\frac{1}{2}×152°=76°$。
6. 因为A、C、D、E在⊙O上，所以四边形ACDE是圆内接四边形，根据对角互补得：
$∠ CAE + ∠ D=180°$，
因此$∠ D=180° -76°=104°$。
【答案】
104°
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆内接四边形的对角互补性质与圆周角定理，解题关键是利用弧相等的条件逐步推导，属于基础几何题，需熟练掌握圆的核心性质。
【难度系数】
0.4

11. 如图,$A$、$B$、$C$、$D$四个点均在$\odot O$上,$∠ AOD=70°$,$AO// DC$,则$∠ B$的度数为.

11. $55°$

【分析】
要解决本题，需结合平行线性质、等腰三角形性质和圆周角定理逐步推导：首先利用平行线的内错角相等得到∠ODC的度数，再通过等腰三角形内角和求出圆心角∠DOC，进而得到弧AC对应的圆心角∠AOC，最后根据圆周角定理计算∠B的度数。
【解析】
1. 已知AO//DC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AOD = ∠ODC = 70°；
2. 因为OD、OC都是⊙O的半径，所以OD=OC，△ODC为等腰三角形，故∠OCD = ∠ODC =70°；
3. 由三角形内角和为180°，得∠DOC = 180° - ∠ODC - ∠OCD =180°-70°-70°=40°；
4. 弧AC对应的圆心角∠AOC = ∠AOD + ∠DOC =70°+40°=110°；
5. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠B是弧AC所对的圆周角，因此∠B = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×110°=55°。
【答案】
55°
【知识点】
圆周角定理、平行线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，需熟练运用平行线、等腰三角形和圆周角相关知识，关键是找到弧AC对应的圆心角，属于圆的常规题型。
【难度系数】
0.5

12. 如图,以$AB$为直径的半圆沿弦$BC$折叠后,$AB$与$\overset{\frown}{CB}$相交于点$D$.若$\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BD}$,则$∠ ACD$的度数为.

12. $36°$

【分析】
首先，AB是半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=90°；结合折叠性质，折叠前后对应角相等，即∠ABC=∠DBC；再利用圆周角定理（圆周角的度数等于所对弧度数的一半），结合题目中$\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BD}$的条件，设弧的度数为未知数，通过角与弧的关系建立方程求解，最终计算∠ACD的度数。
【解析】
解：设$\overset{\frown}{CD}$的度数为$x$，由题意得$\overset{\frown}{BD}$的度数为$3x$。
因为半圆沿弦$BC$折叠，所以折叠前后对应弧相等，即原$\overset{\frown}{BC}$的度数等于折叠后$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{BD}$的度数和，故$\overset{\frown}{BC}$的度数为$x+3x=4x$。
又因为AB是半圆的直径，半圆$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，因此$\overset{\frown}{AC}$的度数为$180° - 4x$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，可得：
$∠ ABC=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}(180° - 4x)=90° - 2x$，
$∠ DBC=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CD}$的度数$=\frac{1}{2}x$。
由折叠性质知$∠ ABC=∠ DBC$，因此：
$90° - 2x=\frac{1}{2}x$，
解得$x=36°$，即$\overset{\frown}{CD}=36°$，$\overset{\frown}{BD}=108°$。
再由圆周角定理，$∠ DCB=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{BD}$的度数$=\frac{1}{2}×108°=54°$。
因为AB是直径，所以直径所对圆周角$∠ ACB=90°$，故：
$∠ ACD=∠ ACB - ∠ DCB=90° - 54°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
圆周角定理；折叠的性质；直径所对圆周角性质
【点评】
本题结合折叠性质与圆的核心定理，通过弧与角的对应关系建立方程求解，关键是利用折叠前后角相等及圆周角与弧的数量关系，综合考查圆的性质应用，难度适中。
【难度系数】
0.5

13. 如图,圆内接四边形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$E$,$BD$平分$∠ ABC$,$∠ BAC=∠ ADB$.
(1) 求证:$DB$平分$∠ ADC$,并求$∠ BAD$的大小；
(2) 过点$A$作$AF// CD$交$CB$的延长线于点$F$,若$AC=AD$,$BF=3$,求此圆半径的长.

13. (1) 证明略.$∠ BAD=90°$. (2) 半径长为6.

【分析】
第一问要证DB平分∠ADC，需利用同弧所对圆周角相等结合已知角的关系推导；求∠BAD时，利用圆内接四边形对角互补与角平分线性质，结合三角形内角和计算。第二问通过平行线性质得直角三角形，结合弦与弧的关系推出角度，再利用直角三角形三角函数求边长，进而得到圆半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD。
∵ ∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC=∠BDC。
又
∵ ∠BAC=∠ADB，
∴ ∠ADB=∠BDC，即DB平分∠ADC。
求∠BAD：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC=180°。
∵ BD平分∠ABC和∠ADC，
∴ ∠ABD=½∠ABC，∠ADB=½∠ADC。
在△ABD中，∠BAD + ∠ABD + ∠ADB=180°，
∴ ∠BAD + ½(∠ABC + ∠ADC)=180°，
代入∠ABC + ∠ADC=180°，得∠BAD + 90°=180°，
解得∠BAD=90°。
(2) 解：
∵ AF//CD，
∴ ∠F + ∠BCD=180°。
由(1)知∠BAD=90°，圆内接四边形对角互补，故∠BCD=180°-∠BAD=90°，
∴ ∠F=90°，△ABF是直角三角形。
∵ AC=AD，
∴ 弦AC=弦AD，对应弧AC=弧AD。
又BD平分∠ABC和∠ADC，故弧AB=弧BC，弧AD=弧DC。
设弧AB=弧BC=x，弧AD=弧DC=y，则2x+2y=360°，即x+y=180°。
由弧AC=弧AD，弧AC=弧AB+弧BC=2x，得2x=y，
代入x+2x=180°，解得x=60°，y=120°。
∴ ∠ABC=½弧ADC=½(弧AD+弧DC)=½×240°=120°，
∴ ∠ABF=180°-∠ABC=60°。
在Rt△ABF中，∠F=90°，∠ABF=60°，BF=3，
cos∠ABF=BF/AB，即cos60°=3/AB，
∵ cos60°=0.5，
∴ AB=3/0.5=6。
∵ 弧AB=60°，弦AB对应的圆心角为60°，故AB等于圆的半径，
∴ 此圆半径长为6。
【答案】
(1) DB平分∠ADC，∠BAD=90°；(2) 半径长为6。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需结合角平分线、平行线的关系推导角度，逐步求解，是圆章节的典型综合题。
【难度系数】
0.5

14. 如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$∠ ABC=60°$,对角线$DB$平分$∠ ADC$.
(1) 求证:$△ ABC$是等边三角形；
(2) 若$AD=2$,$DC=3$,求$△ ABC$的周长.

14. (1) 略 (2) $3\sqrt{19}$

【分析】
要解决本题，首先利用圆内接四边形的性质和角平分线的定义，结合圆周角定理证明△ABC是等边三角形；再利用余弦定理，结合已知的AD、DC长度和∠ADC的度数求出AC的长度，进而得到等边三角形的周长。具体思路：(1) 由圆内接四边形对角互补得∠ADC=120°，结合角平分线得∠ADB=∠CDB=60°，再利用同弧所对圆周角相等得到△ABC的两个内角为60°，从而证得等边三角形；(2) 连接AC，在△ADC中用余弦定理求AC，再根据等边三角形周长公式计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵ ∠ABC = 60°，
∴ ∠ADC = 180° - 60° = 120°。
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB = 1/2 ∠ADC = 60°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠ACB = ∠ADB = 60°，∠BAC = ∠BDC = 60°。
在△ABC中，∠ABC = ∠ACB = 60°，
∴ ∠BAC = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ △ABC的三个内角均为60°，故△ABC是等边三角形。
(2) 解：
连接AC，
由(1)知△ABC是等边三角形，因此AC = AB = BC。
在△ADC中，AD = 2，DC = 3，∠ADC = 120°，根据余弦定理：
AC² = AD² + DC² - 2·AD·DC·cos∠ADC
代入数值计算：
AC² = 2² + 3² - 2×2×3×cos120°
∵ cos120° = -1/2，
∴ AC² = 4 + 9 - 12×(-1/2) = 13 + 6 = 19，
∴ AC = √19。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ △ABC的周长 = 3×AC = 3√19。
【答案】
3√19
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，等边三角形判定，余弦定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与三角形的判定、计算，需熟练运用圆内接四边形对角互补、同弧所对圆周角相等的定理，以及余弦定理解决边长计算问题，是一道结合几何定理与代数计算的典型题。
【难度系数】
0.5

15. 已知$△ ABC$内接于$\odot O$,$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$,连接$DB$、$DC$.
(1) 如图1,当$∠ BAC=120°$时,请直接写出线段$AB$、$AC$、$AD$之间满足的等量关系:；
(2) 如图2,当$∠ BAC=90°$时,试探究线段$AB$、$AC$、$AD$之间满足的等量关系,并证明你的结论.

15. (1) $AD=AB+AC$ (2) $AB+AC=\sqrt{2}AD$,证明略.

【分析】
本题围绕圆内接三角形的线段关系展开，核心运用角平分线性质、圆周角定理、圆内接四边形性质及托勒密定理解题。
(1) 当∠BAC=120°时，由AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD=60°，根据圆周角定理，相等圆周角对应等弧，故弧BD=弧CD，得DB=DC；结合圆内接四边形对角互补，∠BDC=60°，△BDC为等边三角形。利用托勒密定理（圆内接四边形对边乘积和等于对角线乘积），代入化简得AD=AB+AC。
(2) 当∠BAC=90°时，90°圆周角对应直径，故BC为⊙O直径，∠BDC=90°；AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD=45°，故△BDC为等腰直角三角形，BC=√2 BD。再用托勒密定理代入化简，得AB+AC=√2 AD。
【解析】
(1) 线段关系为：AD=AB+AC。
(2) 证明：
∵ AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴ ∠BAD=∠CAD=45°，
∴ 弧BD=弧CD，故DB=DC。
∵ ∠BAC=90°，
∴ BC是⊙O的直径（90°圆周角所对弦为直径），
∴ ∠BDC=90°，
∴ △BDC是等腰直角三角形，BC=√2 BD。
∵ 四边形ABDC内接于⊙O，根据托勒密定理：AB·DC + AC·BD = AD·BC，
又
∵ DB=DC，BC=√2 BD，
代入得：AB·BD + AC·BD = AD·√2 BD，
两边同除以BD（BD≠0），得AB + AC = √2 AD。
【答案】
(1) AD=AB+AC；(2) AB+AC=√2 AD
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、托勒密定理
【点评】
本题考查圆内接三角形的线段关系，需熟练运用角平分线、圆周角定理及托勒密定理，特殊角度的处理是解题关键，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5