1. 下列方程中属于一元二次方程的是 ()

A.$2(x+1)^{2}=x+1$
B.$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}=0$
C.$xy-x^{2}=2$
D.$x^{2}+3x=x^{2}-2$

1. A

【分析】
要判断一元二次方程，需先明确其定义：一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2。接下来逐一分析选项是否满足这三个条件。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一分析选项：
1. 选项A：将方程$2(x+1)^2 = x+1$展开并整理：
左边展开得$2(x^2 + 2x +1)=2x^2 +4x +2$，移项后为$2x^2 +3x +1=0$，满足“只含一个未知数x、未知数最高次数为2、是整式方程”，属于一元二次方程。
2. 选项B：方程$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=0$的分母含有未知数x，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，排除。
3. 选项C：方程$xy -x^2=2$含有两个未知数x和y，不满足“只含一个未知数”的条件，排除。
4. 选项D：将方程$x^2 +3x =x^2 -2$化简，移项后得$3x +2=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，排除。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，核心是准确把握定义的三个条件，通过逐一排查即可得出正确答案，属于基础概念题。
【难度系数】
0.6

2. [易错题]若方程$(k-1)x^{|k|+1}-2x=5$是关于$x$的一元二次方程,则$k=$.

2. $-1$

【分析】
要解决这个问题，需紧扣一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时二次项的系数不能为0。首先根据未知数的最高次数为2列出关于k的方程，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的k值，即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即|k| + 1 = 2；
解这个方程得：|k| = 1，因此k = 1或k = -1；
2. 二次项的系数不能为0，即k - 1 ≠ 0；
解得k ≠ 1；
综合两个条件，k只能取-1。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是易错题，考查一元二次方程的定义，解题时需同时满足“未知数最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个条件，容易忽略二次项系数不为0的限制，需注意审题全面。
【难度系数】
0.6

3. 若$m$是方程$x^{2}+2x-1=0$的根,则式子$2m^{2}+4m$的值为 ()

A.2
B.5
C.3
D.4

3. A

【分析】要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义：若m是方程的根，则将m代入方程后等式成立，由此可得到关于m的关系式；接着观察所求式子，发现它可变形为与该关系式相关的形式，采用整体代入的方法，无需计算m的具体值，就能快速求出结果，进而选出正确选项。
【解析】解：
∵ m是方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的根，
∴ 将$x = m$代入方程，得：$m^2 + 2m - 1 = 0$，
移项整理得：$m^2 + 2m = 1$。
对所求式子$2m^2 + 4m$提取公因式2，变形为：$2m^2 + 4m = 2(m^2 + 2m)$，
将$m^2 + 2m = 1$代入上式，计算得：$2×1 = 2$，
因此答案为A选项。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根、代数式求值
【点评】本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心是利用方程根的定义和整体代入思想简化计算，避免了求解一元二次方程的复杂过程，适合初中阶段学生练习，难度较低。
【难度系数】0.8

4. 根据下面表格的对应值,由此可判断方程$x^{2}+12x-15=0$必有一个根满足 ()


A.$1＜ x＜1.1$
B.$1.1＜ x＜1.2$
C.$1.2＜ x＜1.3$
D.$x＞1.3$

4. B

【分析】
要判断方程$x^2 +12x -15=0$的根所在区间，需利用二次函数与方程的关系：方程的根对应函数$y=x^2 +12x -15$的零点（即函数值为0时的$x$值）。根据零点存在定理，连续函数在区间$(a,b)$内两端点函数值异号时，该区间内必有零点，即方程的根在这个区间中。因此只需找到表格中函数值由负变正的区间即可。
【解析】
观察表格的对应值：
当$x=1.1$时，$x^2 +12x -15=-0.59 ＜0$；
当$x=1.2$时，$x^2 +12x -15=0.84 ＞0$；
由于函数$y=x^2 +12x -15$是连续的二次函数，在区间$(1.1,1.2)$内函数值从负变为正，根据零点存在定理，方程$x^2 +12x -15=0$必有一个根在$1.1 ＜x ＜1.2$之间，所以选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数零点、一元二次方程的根、零点存在定理
【点评】
本题考查利用函数零点判断方程根的区间，核心是理解函数零点与方程根的对应关系，结合零点存在定理即可解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

5. 用配方法解一元二次方程$x^{2}-8x+2=0$,此方程可化为的正确形式是 ()

A.$(x-4)^{2}=14$
B.$(x-4)^{2}=18$
C.$(x+4)^{2}=14$
D.$(x+4)^{2}=18$

5. A

【分析】本题考查用配方法将一元二次方程化为完全平方式的形式，解题思路是：先移项将常数项移到等号右侧，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，使左边构成完全平方式，从而得到方程的正确形式。
【解析】用配方法解方程$x^2 -8x +2=0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项$2$移到等号右边，得$x^2 -8x = -2$；
2. 配方：一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，等式两边同时加上16，得$x^2 -8x +16 = -2 +16$；
3. 整理：左边根据完全平方公式可化为$(x-4)^2$，右边计算得$14$，即方程化为$(x-4)^2=14$。
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】本题是配方法的基础应用，核心是掌握配方时添加一次项系数一半的平方这一关键步骤，属于一元二次方程解法的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

6. 用配方法解下列方程：
(1) $x^{2}+3x-4=0$;
(2) $2x^{2}-4x-1=0$.

6. (1) $x_{1}=1,x_{2}=-4$ (2) $x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式；④开方求解得到方程的根。本题分两小问，第一问二次项系数为1，直接按步骤操作；第二问二次项系数不为1，先化系数为1再配方。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 + 3x - 4 = 0$：
移项得：$x^2 + 3x = 4$
配方：一次项系数为3，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，两边同时加$\frac{9}{4}$：
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{4}$
整理为完全平方式：$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4}$
开方得：$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2}$
解得：$x_1 = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$，$x_2 = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -4$
(2) 对于方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$：
先将二次项系数化为1，两边同除以2：$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$
移项得：$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$
配方：一次项系数为-2，其一半的平方为$(-1)^2 = 1$，两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
整理为完全平方式：$(x - 1)^2 = \frac{3}{2}$
开方得：$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$
解得：$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1)$x_{1}=1,x_{2}=-4$；(2)$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，需熟练掌握配方法的关键步骤，尤其是配方时需在等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免计算错误，整体难度较低。
【难度系数】
0.6

7. 用因式分解法解方程：
(1) $x^{2}=4x$;
(2) $2(x-1)^{2}-x(x-1)=0$;
(3) $3x(x-2)=2x-4$.

7. (1) $x_{1}=0,x_{2}=4$ (2) $x_{1}=1,x_{2}=2$ (3) $x_{1}=2,x_{2}=\frac{2}{3}$

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：将方程通过移项、提取公因式等操作，转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别令每个因式等于0，解一元一次方程即可得到原方程的根，需注意移项时符号的正确性，避免漏解。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 4x = 0$，提取公因式$x$得：$x(x - 4) = 0$，则$x = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 4$；
(2) 提取公因式$(x - 1)$得：$(x - 1)[2(x - 1) - x] = 0$，化简括号内得：$(x - 1)(x - 2) = 0$，则$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 2$；
(3) 先将右边变形为$2(x - 2)$，移项得：$3x(x - 2) - 2(x - 2) = 0$，提取公因式$(x - 2)$得：$(x - 2)(3x - 2) = 0$，则$x - 2 = 0$或$3x - 2 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=4$；$x_1=1,x_2=2$；$x_1=2,x_2=\frac{2}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题为因式分解法解一元二次方程的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题时需注意移项后准确提取公因式，避免漏解，是一元二次方程解法的核心基础内容。
【难度系数】
0.7

8. 用公式法解方程：
(1) $x^{2}-4x+1=0$;
(2) $2x^{2}-3x-1=0$.

8. (1) $x_{1}=2+\sqrt{3},x_{2}=2-\sqrt{3}$
(2) $x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$

【分析】
用公式法解一元二次方程时，需先将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定$a$、$b$、$c$的值；再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况；最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解。本题两个小题均为一元二次方程，按上述步骤分别计算即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2-4x+1=0$，
这里$a=1$，$b=-4$，$c=1$，
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×1=16-4=12＞0$，
代入求根公式：$x=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2×1}=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$，
故方程的根为$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$；
(2) 对于方程$2x^2-3x-1=0$，
这里$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，
代入求根公式：$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$，
故方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $x_{1}=2+\sqrt{3},x_{2}=2-\sqrt{3}$；(2) $x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的公式法，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程，属于基础题型，核心是掌握公式法的解题步骤，需准确确定$a$、$b$、$c$的值，正确计算判别式，代入公式时注意符号，是学生需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8