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8【学习与思考】
如果用$\overline{ab}$表示一个两位数(即十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$),那么当$a=b$时,$\overline{ab}$能被 11整除,如$11,22,33,···$能被 11 整除.
理由:$\because \overline{ab}=10a+b$,当$a=b$时,$\overline{ab}=10a+a=11a$,而$11a$是 11 的倍数,$\therefore \overline{ab}$能被 11 整除.
【探索与应用】
如果用$\overline{abc}$表示一个三位数.
(1) 写出两个能被 11 整除的三位数;
(2) 当$a,b,c$满足什么条件时,$\overline{abc}$能被 11 整除? 请说明理由.
如果用$\overline{ab}$表示一个两位数(即十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$),那么当$a=b$时,$\overline{ab}$能被 11整除,如$11,22,33,···$能被 11 整除.
理由:$\because \overline{ab}=10a+b$,当$a=b$时,$\overline{ab}=10a+a=11a$,而$11a$是 11 的倍数,$\therefore \overline{ab}$能被 11 整除.
【探索与应用】
如果用$\overline{abc}$表示一个三位数.
(1) 写出两个能被 11 整除的三位数;
(2) 当$a,b,c$满足什么条件时,$\overline{abc}$能被 11 整除? 请说明理由.
答案
8. (1) 答案不唯一,如 110,220 (2) 当 $a-b+c$ 是 11 的倍数或 $a-b+c=0$ 时,$\overline{abc}$ 能被 11 整除 理由:$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+11b+a-b+c=11(9a+b)+(a-b+c).\because 11(9a+b)$是 11 的倍数,$\therefore$ 当 $a-b+c$ 是 11 的倍数或 $a-b+c=0$ 时,$\overline{abc}$ 能被 11 整除.
解析
【分析】首先，对于问题（1），需找出能被11整除的三位数，可利用11的倍数特征，通过11与整数相乘得到符合要求的三位数；对于问题（2），需将三位数$\overline{abc}$转化为代数形式，通过整式变形拆出11的倍数，结合整除的性质，确定剩余部分需满足的条件，进而得到a、b、c的关系。
【解析】（1）能被11整除的三位数答案不唯一，例如：110（$11×10=110$）、220（$11×20=220$）；（2）当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。理由如下：$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+11b+a-b+c=11(9a+b)+(a-b+c)$，因为$11(9a+b)$是11的倍数，所以当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。
【答案】(1) 示例：110，220；(2) 当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除，理由见解析。
【知识点】整式的加减、数的整除
【点评】本题类比两位数被11整除的规律探究三位数的整除条件，考查代数式变形与数的整除性质，属于规律探究类题目，需掌握数的代数表示方法，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】（1）能被11整除的三位数答案不唯一，例如：110（$11×10=110$）、220（$11×20=220$）；（2）当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。理由如下：$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+11b+a-b+c=11(9a+b)+(a-b+c)$，因为$11(9a+b)$是11的倍数，所以当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。
【答案】(1) 示例：110，220；(2) 当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除，理由见解析。
【知识点】整式的加减、数的整除
【点评】本题类比两位数被11整除的规律探究三位数的整除条件，考查代数式变形与数的整除性质，属于规律探究类题目，需掌握数的代数表示方法，难度适中。
【难度系数】0.5
9 多项式$a^{2}+7a-18$分解因式的结果为 （
A.$(a-1)(a+18)$
B.$(a-2)(a+9)$
C.$(a-3)(a+6)$
D.$(a+2)(a+9)$
B
）A.$(a-1)(a+18)$
B.$(a-2)(a+9)$
C.$(a-3)(a+6)$
D.$(a+2)(a+9)$
答案
9. B
解析
【分析】
对于二次三项式$a^2 +7a -18$，可采用十字相乘法分解因式。解题思路是：找到两个数，使它们的乘积等于常数项$-18$，且它们的和等于一次项系数$7$，找到这两个数后即可完成因式分解，再对应选项选出正确答案。
【解析】
对多项式$a^2 +7a -18$用十字相乘法分解：常数项$-18$可分解为$9 × (-2)$，且$9 + (-2)=7$，恰好等于一次项系数，因此分解结果为$(a+9)(a-2)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解-十字相乘法
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，核心是掌握十字相乘法的应用，属于基础题型，熟练掌握十字相乘规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
对于二次三项式$a^2 +7a -18$，可采用十字相乘法分解因式。解题思路是：找到两个数，使它们的乘积等于常数项$-18$，且它们的和等于一次项系数$7$，找到这两个数后即可完成因式分解，再对应选项选出正确答案。
【解析】
对多项式$a^2 +7a -18$用十字相乘法分解：常数项$-18$可分解为$9 × (-2)$，且$9 + (-2)=7$，恰好等于一次项系数，因此分解结果为$(a+9)(a-2)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解-十字相乘法
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，核心是掌握十字相乘法的应用，属于基础题型，熟练掌握十字相乘规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
10 若 $5^{8}-1$ 可以被 20 到 30 之间的两个整数整除,则这两个整数是 （
A.24,26
B.25,27
C.26,28
D.27,29
A
）A.24,26
B.25,27
C.26,28
D.27,29
答案
10. A
解析
【分析】要解决这个问题，需利用平方差公式对$5^8 -1$进行因式分解，找到分解后在20到30之间的因数。核心思路是通过多次运用平方差公式，将高次幂的式子转化为低次幂的乘积，从而筛选出符合范围的整数。
【解析】对$5^8 -1$利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$逐步因式分解：
$\begin{aligned}5^8 -1&=(5^4)^2 -1^2\\&=(5^4 -1)(5^4 +1)\\&=(5^2)^2 -1^2 × (5^4 +1)\\&=(5^2 -1)(5^2 +1)(5^4 +1)\\&=24 × 26 × (5^4 +1)\end{aligned}$
由此可知，$5^8 -1$能被20到30之间的24和26整除，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解（平方差公式）
【点评】本题考查平方差公式的应用，解题关键是熟练运用平方差公式对高次幂式子进行多次分解，快速定位符合条件的整数，属于基础因式分解的典型应用。
【难度系数】0.5
【解析】对$5^8 -1$利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$逐步因式分解：
$\begin{aligned}5^8 -1&=(5^4)^2 -1^2\\&=(5^4 -1)(5^4 +1)\\&=(5^2)^2 -1^2 × (5^4 +1)\\&=(5^2 -1)(5^2 +1)(5^4 +1)\\&=24 × 26 × (5^4 +1)\end{aligned}$
由此可知，$5^8 -1$能被20到30之间的24和26整除，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解（平方差公式）
【点评】本题考查平方差公式的应用，解题关键是熟练运用平方差公式对高次幂式子进行多次分解，快速定位符合条件的整数，属于基础因式分解的典型应用。
【难度系数】0.5
11 整式$a^{2}-a$和$(a-1)^{2}$的公因式为
a−1
.答案
11. $a-1$
解析
【分析】要确定两个整式的公因式，需先对每个整式进行因式分解，再找出它们都含有的相同因式，即为公因式。先分别对两个整式分解，再对比公共部分即可得到结果。
【解析】先对两个整式分别因式分解：
1. 对$a^2 - a$，提取公因式$a$，得$a^2 - a = a(a - 1)$；
2. 对$(a - 1)^2$，本身是完全平方的因式分解形式，即$(a - 1)^2 = (a - 1)(a - 1)$；
对比两个因式分解后的结果，它们共有的因式是$a - 1$，因此公因式为$a - 1$。
【答案】$a - 1$
【知识点】公因式、因式分解
【点评】本题为基础题型，考查公因式的确定方法，核心是先对多项式因式分解，再提取公共因式，难度较低，用于巩固因式分解与公因式的基础知识点。
【难度系数】0.6
【解析】先对两个整式分别因式分解：
1. 对$a^2 - a$，提取公因式$a$，得$a^2 - a = a(a - 1)$；
2. 对$(a - 1)^2$，本身是完全平方的因式分解形式，即$(a - 1)^2 = (a - 1)(a - 1)$；
对比两个因式分解后的结果，它们共有的因式是$a - 1$，因此公因式为$a - 1$。
【答案】$a - 1$
【知识点】公因式、因式分解
【点评】本题为基础题型，考查公因式的确定方法，核心是先对多项式因式分解，再提取公共因式，难度较低，用于巩固因式分解与公因式的基础知识点。
【难度系数】0.6
12 将下面各式分解因式：
(1) $5a^{3}-45ab^{2}$;
(2) $4x^{2}y-4xy^{2}-x^{3}.$
(1) $5a^{3}-45ab^{2}$;
(2) $4x^{2}y-4xy^{2}-x^{3}.$
答案
12. (1) $5a(a+3b)(a-3b)$ (2) $-x(x-2y)^{2}$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三检查”的思路：先提取各项的公因式，再套用乘法公式（平方差、完全平方公式），最后确认分解彻底。第(1)题先找公因式，剩余部分符合平方差公式；第(2)题先提取带负号的公因式，剩余部分符合完全平方公式，需注意符号处理和公式的正确应用。
【解析】
(1) 步骤1：提取公因式$5a$，原式变为$5a(a^2 - 9b^2)$；
步骤2：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a^2 -9b^2=a^2-(3b)^2$，分解得：
$5a(a+3b)(a-3b)$。
(2) 步骤1：提取公因式$-x$，原式变为$-x(x^2 -4xy +4y^2)$；
步骤2：利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$x^2-4xy+4y^2=x^2-2·x·2y+(2y)^2=(x-2y)^2$，分解得：
$-x(x-2y)^2$。
【答案】
(1) $5a(a+3b)(a-3b)$；(2) $-x(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，属于初中数学核心基础题型，需熟练掌握“先提公因式、再套公式”的分解逻辑，注意符号处理和分解彻底性，是巩固因式分解知识的典型题目。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提二套三检查”的思路：先提取各项的公因式，再套用乘法公式（平方差、完全平方公式），最后确认分解彻底。第(1)题先找公因式，剩余部分符合平方差公式；第(2)题先提取带负号的公因式，剩余部分符合完全平方公式，需注意符号处理和公式的正确应用。
【解析】
(1) 步骤1：提取公因式$5a$，原式变为$5a(a^2 - 9b^2)$；
步骤2：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a^2 -9b^2=a^2-(3b)^2$，分解得：
$5a(a+3b)(a-3b)$。
(2) 步骤1：提取公因式$-x$，原式变为$-x(x^2 -4xy +4y^2)$；
步骤2：利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$x^2-4xy+4y^2=x^2-2·x·2y+(2y)^2=(x-2y)^2$，分解得：
$-x(x-2y)^2$。
【答案】
(1) $5a(a+3b)(a-3b)$；(2) $-x(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，属于初中数学核心基础题型，需熟练掌握“先提公因式、再套公式”的分解逻辑，注意符号处理和分解彻底性，是巩固因式分解知识的典型题目。
【难度系数】
0.7
13 新考向 新定义题 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”.如：4，12，20 都是“连偶数”.
(1) 请判断：52
(2) 下面是两名同学演算后的发现，请判断是否正确，并说明理由.
① 明明发现：两个连续偶数 $2k-2$ 和 $2k$ (其中 $k$ 是正整数)构造的“连偶数”也是 4 的倍数；
② 心心发现：2 032 是“连偶数”.
(1) 请判断：52
是
“连偶数”(填“是”或“不是”).(2) 下面是两名同学演算后的发现，请判断是否正确，并说明理由.
① 明明发现：两个连续偶数 $2k-2$ 和 $2k$ (其中 $k$ 是正整数)构造的“连偶数”也是 4 的倍数；
② 心心发现：2 032 是“连偶数”.
答案
13. (1) 是 (2) ① 明明的发现正确 理由:$(2k)^{2}-(2k-2)^{2}=4k^{2}-4k^{2}+8k-4=8k-4=4(2k-1).\because k$ 是正整数,$\therefore 2k-1$ 是正整数.$\therefore 4(2k-1)$ 是 4 的倍数.$\therefore$ 两个连续偶数 $2k-2$ 和 $2k$(其中 $k$ 是正整数)构造的“连偶数”也是 4 的倍数.
② 心心的发现不正确 理由:由(1),可知“连偶数”是 4 的倍数,那么当 2 032 是“连偶数”时,一定存在一个正整数 $k$ 满足 $4(2k-1)=2032$,解得 $k=254.5$,这与 $k$ 是正整数矛盾,$\therefore 2032$ 不是“连偶数”. $\therefore$ 心心的发现不正确.
② 心心的发现不正确 理由:由(1),可知“连偶数”是 4 的倍数,那么当 2 032 是“连偶数”时,一定存在一个正整数 $k$ 满足 $4(2k-1)=2032$,解得 $k=254.5$,这与 $k$ 是正整数矛盾,$\therefore 2032$ 不是“连偶数”. $\therefore$ 心心的发现不正确.
解析
【分析】首先明确“连偶数”的定义：正整数能表示为两个连续偶数的平方差。解题思路：（1）判断52是否为“连偶数”，需验证是否存在两个连续偶数，其平方差等于52；（2）①验证两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”是否为4的倍数，需计算它们的平方差并化简，判断是否为4的倍数；②判断2032是否为“连偶数”，可利用①中得出的“连偶数是4的倍数”的结论，通过解方程看对应的k是否为正整数来验证。
【解析】
（1）设两个连续偶数为2n和2n-2（n为整数），根据“连偶数”定义计算平方差：
$(2n)^2 - (2n-2)^2 = 4n^2 - (4n^2 -8n +4) = 8n -4$
令$8n -4 =52$，解得$n=7$，此时两个连续偶数为14和12，$14^2 -12^2=196-144=52$，符合“连偶数”定义，故52是“连偶数”。
（2）① 验证明明的发现：
计算两个连续偶数2k-2和2k的平方差：
$(2k)^2 - (2k-2)^2 =4k^2 - (4k^2 -8k +4)=8k -4=4(2k-1)$
∵k是正整数，
∴$2k-1$是正整数，因此$4(2k-1)$是4的倍数，故两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”也是4的倍数，明明的发现正确。
② 验证心心的发现：
假设2032是“连偶数”，根据①的结论，“连偶数”可表示为$4(2k-1)$，则有：
$4(2k-1)=2032$
解得$2k-1=508$，即$k=254.5$，这与k是正整数矛盾，故2032不是“连偶数”，心心的发现不正确。
【答案】
(1) 是；
(2) ① 明明的发现正确，理由：$(2k)^2 - (2k-2)^2=4k^2 -4k^2 +8k -4=8k-4=4(2k-1)$，
∵k是正整数，
∴$2k-1$是正整数，
∴$4(2k-1)$是4的倍数，故两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”也是4的倍数；
② 心心的发现不正确，理由：由①可知“连偶数”是4的倍数，若2032是“连偶数”，则存在正整数k满足$4(2k-1)=2032$，解得$k=254.5$，与k是正整数矛盾，故2032不是“连偶数”，心心的发现不正确。
【知识点】新定义运算、平方差公式、代数式化简
【点评】本题为新定义题型，需准确理解“连偶数”的定义，通过代数运算推导验证结论，考查学生的阅读理解能力与代数运算能力，是基础知识点的灵活应用。
【难度系数】0.5
【解析】
（1）设两个连续偶数为2n和2n-2（n为整数），根据“连偶数”定义计算平方差：
$(2n)^2 - (2n-2)^2 = 4n^2 - (4n^2 -8n +4) = 8n -4$
令$8n -4 =52$，解得$n=7$，此时两个连续偶数为14和12，$14^2 -12^2=196-144=52$，符合“连偶数”定义，故52是“连偶数”。
（2）① 验证明明的发现：
计算两个连续偶数2k-2和2k的平方差：
$(2k)^2 - (2k-2)^2 =4k^2 - (4k^2 -8k +4)=8k -4=4(2k-1)$
∵k是正整数，
∴$2k-1$是正整数，因此$4(2k-1)$是4的倍数，故两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”也是4的倍数，明明的发现正确。
② 验证心心的发现：
假设2032是“连偶数”，根据①的结论，“连偶数”可表示为$4(2k-1)$，则有：
$4(2k-1)=2032$
解得$2k-1=508$，即$k=254.5$，这与k是正整数矛盾，故2032不是“连偶数”，心心的发现不正确。
【答案】
(1) 是；
(2) ① 明明的发现正确，理由：$(2k)^2 - (2k-2)^2=4k^2 -4k^2 +8k -4=8k-4=4(2k-1)$，
∵k是正整数，
∴$2k-1$是正整数，
∴$4(2k-1)$是4的倍数，故两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”也是4的倍数；
② 心心的发现不正确，理由：由①可知“连偶数”是4的倍数，若2032是“连偶数”，则存在正整数k满足$4(2k-1)=2032$，解得$k=254.5$，与k是正整数矛盾，故2032不是“连偶数”，心心的发现不正确。
【知识点】新定义运算、平方差公式、代数式化简
【点评】本题为新定义题型，需准确理解“连偶数”的定义，通过代数运算推导验证结论，考查学生的阅读理解能力与代数运算能力，是基础知识点的灵活应用。
【难度系数】0.5
