8 若$x=-1,y=2$，则$\dfrac{2x}{x^{2}-64y^{2}}-\dfrac{1}{x-8y}$的值为（）

A.$-\dfrac{1}{17}$
B.$\dfrac{1}{17}$
C.$\dfrac{1}{16}$
D.$\dfrac{1}{15}$

8.D

【分析】这是分式的化简求值题，解题思路是先利用平方差公式分解分母，找到最简公分母对分式通分，再合并分子化简，最后代入给定的x、y值计算结果。
【解析】解：原式=$\dfrac{2x}{x^2 -64y^2} - \dfrac{1}{x-8y}$
利用平方差公式分解分母：$x^2 -64y^2=(x-8y)(x+8y)$，则原式变为：
$\dfrac{2x}{(x-8y)(x+8y)} - \dfrac{1}{x-8y}$
通分，最简公分母为$(x-8y)(x+8y)$：
$\dfrac{2x}{(x-8y)(x+8y)} - \dfrac{x+8y}{(x-8y)(x+8y)}$
合并分子：
$\dfrac{2x - (x+8y)}{(x-8y)(x+8y)} = \dfrac{x -8y}{(x-8y)(x+8y)}$
约分（$x≠8y$，本题中$x=-1,y=2$，满足条件）：
$\dfrac{1}{x+8y}$
代入$x=-1,y=2$：
$\dfrac{1}{-1 +8×2} = \dfrac{1}{15}$
【答案】D
【知识点】分式化简求值、平方差公式
【点评】本题考查分式通分、约分及平方差公式的应用，属于基础题型，解题关键是正确分解分母并处理通分后的分子符号，计算时需仔细代入数值。
【难度系数】0.6

9 整体思想 [2026 崇川段测]已知$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=1$,则代数式$\dfrac{x-xy-y}{3xy-x+y}$的值为.

9.$-\dfrac{1}{2}$

【分析】首先观察已知条件与所求代数式的结构，先将已知等式通分变形，得到x与y的关系；再把所求代数式的分子、分母整理为含有该关系的形式，利用整体代入法计算，避免单独求解x、y的值，简化运算。
【解析】已知$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=1$，通分得$\dfrac{y - x}{xy}=1$，即$y - x = xy$，变形为$x - y = -xy$。
对所求代数式变形：
分子：$x - xy - y = (x - y) - xy$，
分母：$3xy - x + y = 3xy - (x - y)$。
将$x - y = -xy$代入：
分子：$(-xy) - xy = -2xy$，
分母：$3xy - (-xy) = 4xy$。
因为$x≠0$、$y≠0$，所以$xy≠0$，约分后得$\dfrac{-2xy}{4xy}=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】整体思想、分式化简求值
【点评】本题运用整体代入的数学思想，通过变形已知条件得到所需关系式，直接代入所求代数式计算，简化了运算过程，是分式求值的常用方法。
【难度系数】0.6

10 计算：
(1) $a+2-\dfrac{a^{2}+4}{a-2}$；
(2)

10.(1) $-\dfrac{8}{a-2}$ (2) 0

【分析】
本题是分式的加减运算题，解题思路为：先对各分式的分母进行因式分解，确定最简公分母；再将各分式通分，转化为同分母分式后进行分子的加减运算；最后对结果化简，得到最终答案。具体步骤：先分解各分母，再约分简化部分分式，最后合并计算。
【解析】
解：先对各分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$，$y^2 - xy = y(y - x) = -y(x - y)$，
则原式可变形为：
$\dfrac{x + y}{(x - y)(x + y)} + \dfrac{1}{x - y} + \dfrac{2y}{-y(x - y)}$
对各分式约分：
$\dfrac{x + y}{(x - y)(x + y)} = \dfrac{1}{x - y}$（$x ≠ -y$），
$\dfrac{2y}{-y(x - y)} = -\dfrac{2}{x - y}$（$y ≠ 0$），
代入原式得：
$\dfrac{1}{x - y} + \dfrac{1}{x - y} - \dfrac{2}{x - y} = \dfrac{1 + 1 - 2}{x - y} = \dfrac{0}{x - y} = 0$
【答案】
0
【知识点】
分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是分母的因式分解与通分，计算时需注意符号处理和约分的条件，整体难度适中，属于基础分式运算题。
【难度系数】
0.6

11 已知$\dfrac{A}{x-1}-\dfrac{B}{2-x}=\dfrac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$,求$A$,$B$的值.

11. 根据题意，得$\dfrac{A}{x-1}-\dfrac{B}{2-x}=\dfrac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{2x-6}{(x-1)(x-2)}.\therefore \begin{cases}A+B=2,\\-2A-B=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}A=4,\\B=-2\end{cases}$

【分析】本题是分式等式求字母值的问题，解题思路是：先利用分式的基本性质对等式左边的分式通分，将其化为与右边同分母的分式，再根据“分母相同的分式，分子相等时对应项系数相等”的性质，得到关于A、B的二元一次方程组，最后解方程组即可求出A、B的值，需注意处理分母的符号，避免通分错误。
【解析】对等式左边变形：
$\dfrac{A}{x-1} - \dfrac{B}{2-x} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2}$（因$2-x=-(x-2)$，负号抵消）
通分后分子为：$A(x-2)+B(x-1)=Ax-2A+Bx-B=(A+B)x-(2A+B)$
此时等式为：$\dfrac{(A+B)x-(2A+B)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$
分母相同，分子对应项系数相等，得方程组：
$\begin{cases}A+B=2\\-2A-B=-6\end{cases}$
两式相加消去B：$-A=-4$，解得$A=4$；代入$A+B=2$，得$B=-2$。
【答案】$A=4$，$B=-2$
【知识点】分式的基本性质，分式的通分，二元一次方程组的解法
【点评】本题是分式运算的基础题型，核心是通过通分将分式等式转化为整式方程组，考查分式符号处理和方程组求解，是分式知识的典型应用，难度适中。
【难度系数】0.5

12 教材P156 习题18.3第6题变式 如果轮船在静水中航行的速度是$a\ \mathrm{km/h}$，水流的速度是$b\ \mathrm{km/h}$（$a＞b$），那么轮船顺水航行$s\ \mathrm{km}$比逆水航行$s\ \mathrm{km}$所用的时间少（）

A.$\dfrac{2as}{a^{2}-b^{2}}\ \mathrm{h}$
B.$\dfrac{2bs}{a^{2}-b^{2}}\ \mathrm{h}$
C.$\dfrac{2bs}{b^{2}-a^{2}}\ \mathrm{h}$
D.$\dfrac{2s}{a-b}\ \mathrm{h}$

12.B 【解析】轮船逆水航行时间$-$轮船顺水航行时间$=\dfrac{s}{a-b}-\dfrac{s}{a+b}=\dfrac{s(a+b)}{a^2-b^2}-\dfrac{s(a-b)}{a^2-b^2}=\dfrac{2bs}{a^2-b^2}(\mathrm{h}).$

【分析】
要解决该问题，需先明确轮船顺水、逆水的航行速度，再根据“时间=路程÷速度”分别计算两种航行方式的时间，最后求出时间差。首先，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；接着分别算出顺水、逆水航行$s\ \mathrm{km}$的时间，再用逆水时间减去顺水时间（即顺水比逆水少用的时间），最后对分式通分化简，对比选项即可得出答案。
【解析】
1. 确定航行速度：
轮船顺水航行速度：$v_{顺}=(a+b)\ \mathrm{km/h}$
轮船逆水航行速度：$v_{逆}=(a-b)\ \mathrm{km/h}$（$a＞b$，保证速度为正）
2. 计算航行时间：
顺水航行$s\ \mathrm{km}$的时间：$t_{顺}=\dfrac{s}{a+b}\ \mathrm{h}$
逆水航行$s\ \mathrm{km}$的时间：$t_{逆}=\dfrac{s}{a-b}\ \mathrm{h}$
3. 求时间差：
顺水比逆水少用的时间 = $t_{逆}-t_{顺}$，代入计算：
$ \begin{aligned} \dfrac{s}{a-b}-\dfrac{s}{a+b}&=\dfrac{s(a+b)}{(a-b)(a+b)}-\dfrac{s(a-b)}{(a-b)(a+b)}\\ &=\dfrac{sa+sb-sa+sb}{a^2-b^2}\\ &=\dfrac{2bs}{a^2-b^2}\ \mathrm{h} \end{aligned} $
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；行程问题
【点评】
本题是分式运算在行程问题中的基础应用，核心是掌握顺水、逆水速度的计算公式，以及分式通分、化简的方法，属于常见代数应用题，难度适中，理清时间差的计算逻辑即可正确解答。
【难度系数】
0.7

13 [2025 海门段测]已知$M=\dfrac{x+1}{2},N=\dfrac{2x}{x+1}.$
(1) 当$x＞0$时,判断$M-N$与0的关系,并说明理由.
(2) 设$y=\dfrac{2}{M}+N$.若$x$是整数,求$y$的正整数值.

13. (1) 当$x＞0$时，$M-N≥0$ 理由:$M-N=\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{(x-1)^2}{2(x+1)}.\because x＞0,\therefore (x-1)^2≥0,2(x+1)＞0.\therefore \dfrac{(x-1)^2}{2(x+1)}≥0,$即$M-N≥0.$
(2) 依题意,得$y=\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{2x+4}{x+1}=\dfrac{2x+2+2}{x+1}=2+\dfrac{2}{x+1}.\because x,y$是整数,$\therefore \dfrac{2}{x+1}$是整数.$\therefore x+1=\pm1$或$\pm2.$ 当$x+1=1$,即$x=0$时,$y=2+\dfrac{2}{1}=4＞0;$当$x+1=-1$,即$x=-2$时,$y=2+\dfrac{2}{-1}=0$(舍去);当$x+1=2$,即$x=1$时,$y=2+\dfrac{2}{2}=3＞0;$当$x+1=-2$,即$x=-3$时,$y=2+\dfrac{2}{-2}=1＞0.$综上所述,当$x$是整数时,$y$的正整数值是4或3或1

【分析】
要判断M-N与0的关系，需先计算M-N并化简，再结合x＞0的条件分析符号；求y的正整数值时，需先将y用x表示并化简，再根据x、y为整数的条件，分析分式的整除性，进而确定x的可能值，最后筛选出符合要求的y值。
【解析】
(1) 计算M-N并化简：
$\begin{aligned}M-N&=\frac{x+1}{2}-\frac{2x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2 - 4x}{2(x+1)}\\&=\frac{x^2 + 2x +1 -4x}{2(x+1)}\\&=\frac{x^2 -2x +1}{2(x+1)}\\&=\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}\end{aligned}$
因为x＞0，所以分母2(x+1)＞0，又平方数非负，即$(x-1)^2≥0$，因此$\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}≥0$，故当x＞0时，$M-N≥0$。
(2) 先化简y：
已知$M=\frac{x+1}{2}$，则$\frac{2}{M}=\frac{2}{\frac{x+1}{2}}=\frac{4}{x+1}$，结合$N=\frac{2x}{x+1}$，得：
$\begin{aligned}y&=\frac{2}{M}+N\\&=\frac{4}{x+1}+\frac{2x}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\\&=\frac{2(x+1)+2}{x+1}\\&=2+\frac{2}{x+1}\end{aligned}$
因为x、y为整数，所以$\frac{2}{x+1}$必为整数，即x+1是2的约数，故$x+1=\pm1$或$\pm2$：
当$x+1=1$时，$x=0$，$y=2+\frac{2}{1}=4$（正整数，符合）；
当$x+1=-1$时，$x=-2$，$y=2+\frac{2}{-1}=0$（非正整数，舍去）；
当$x+1=2$时，$x=1$，$y=2+\frac{2}{2}=3$（正整数，符合）；
当$x+1=-2$时，$x=-3$，$y=2+\frac{2}{-2}=1$（正整数，符合）；
综上，y的正整数值为4、3、1。
【答案】
(1) $M-N≥0$；(2) 4或3或1
【知识点】
分式的加减运算、代数式的化简、整数的整除性
【点评】
本题综合考查分式运算与代数式性质，核心是分式通分化简及利用整数整除性确定参数，需注意舍去不符合条件的结果，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6